2019-2020年高一數(shù)學(xué)上 第二章 函數(shù)：函數(shù)2.1.2優(yōu)秀教案.doc

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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上 第二章 函數(shù)：函數(shù)2.1.2優(yōu)秀教案 [教學(xué)目的] ⒈以集合、映射的觀點(diǎn)加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，明確決定函數(shù)的三個(gè)要素（定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則）； ⒉掌握函數(shù)的三種主要表示方法(解析法、列表法、圖象法)； ⒊能夠正確使用“區(qū)間”、“無(wú)窮大”等記號(hào)； ⒋會(huì)求某些函數(shù)的定義域和值域，會(huì)畫(huà)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象. [重點(diǎn)難點(diǎn)] 重點(diǎn)：在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念； 難點(diǎn)：函數(shù)的概念. [教學(xué)設(shè)想] 1.教法 2.學(xué)法 3.課時(shí) [教學(xué)過(guò)程] 2.2.1 函 數(shù)(一) --函數(shù)的概念和表示方法 [教學(xué)目的] ⒈以集合、映射的觀點(diǎn)加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，明確決定函數(shù)的三個(gè)要素（定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則）； ⒉掌握函數(shù)的三種主要表示方法(解析法、列表法、圖象法). [重點(diǎn)難點(diǎn)] 重點(diǎn)：在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念； 難點(diǎn)：函數(shù)的概念. [教學(xué)過(guò)程] 一、復(fù)習(xí)引入 ⒈復(fù)習(xí)提問(wèn)：在從集合A到集合B的映射中， ⑴對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素a，在集合B中是不是一定有象？是不是只有一個(gè)象？ 答：必定有象，且只有一個(gè)象. ⑵對(duì)于集合B中的任意一個(gè)元素b，在集合A中是不是一定有原象？是不是只有一個(gè)原象？ 答：對(duì)于集合B中任意一個(gè)元素b，在集合A中不一定有原象，在有原象時(shí)，也不一定只有一個(gè). ⒉復(fù)習(xí)引入：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)，例如，正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等.那么函數(shù)的概念是什么？在初中我們是怎樣定義它呢？ 那時(shí)的定義可敘述為：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).并將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域. 這種用變量敘述的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的傳統(tǒng)定義. 我們回想映射的定義，不難知道，上面所說(shuō)的函數(shù)實(shí)際上就是集合Ａ到集合Ｂ的一個(gè)特殊映射f：A→B，構(gòu)成這種映射的集合Ａ，Ｂ是非空的數(shù)集，而且對(duì)于自變量在定義域A內(nèi)的任何一個(gè)值x，在集合B中都有唯一的函數(shù)值和它對(duì)應(yīng)；自變量的值是原象，和它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是象；原象的集合A就是函數(shù)的定義域，象的集合C就是函數(shù)的值域，顯然CB. 這種用映射刻劃的函數(shù)定義是我們高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)定義. 二、學(xué)習(xí)、講解新課 ⒈用映射刻劃的函數(shù)定義 如果A，B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域，象的集合C（CB）叫做函數(shù)y=f(x)的值域.函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù)f(x). 這種用映射刻劃的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的近代定義. 例如，一次函數(shù)是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射f：A→B，它使集合B中的元素y=ax+b(a0)與集合A中是元素x對(duì)應(yīng)，記為f(x)= ax+b(a0)，集合A為定義域，集合C（C=R）為值域（這里C=B）. 反比例函數(shù)是集合A={x|x0}到集合B（B=R）的映射f：A→B，它使集合B中的元素y=k/x(k0)與集合A中是元素x對(duì)應(yīng)，記為f(x)= k/x(k0)，集合A為定義域，集合C={y|y0}為值域（這里CB）. 二次函數(shù)是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射f：A→B，它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)與集合A中是元素x對(duì)應(yīng)，記為f(x)= ax2+bx+c (a0)，集合A為定義域，當(dāng)a>0時(shí)，集合C={y|y(4ac-b2)/4a}為值域；當(dāng)a<0時(shí)，集合C={y|y(4ac-b2)/4a}為值域（這里CB）. ⒉ 函數(shù)的三要素 ⑴函數(shù)符號(hào)y=f(x)的含義：它表示y是x的函數(shù)，而不是f和x的乘積.其中f表示對(duì)應(yīng)法則，小括號(hào)表示把對(duì)應(yīng)法則f施加于x這個(gè)變量之上，而等號(hào)表示施加之后對(duì)應(yīng)于y. 例如，f(x)=2x2+3,這里是用一個(gè)代數(shù)式把f所表示的對(duì)應(yīng)法則具體化了，就是說(shuō)“把自變量x先平方再二倍再加3”即得x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，而f就表示了這一套運(yùn)算手續(xù). 另外，f還可能是由圖表表示的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則(后面再舉例). ⑵符號(hào)f(a)的含義：f(a)表示自變量x取a時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.f如果由解析式表達(dá)，則可算出f(a). 例如，f(x)=x2+2x-1在x=0,x=1,x=2時(shí)的函數(shù)值分別為f(0)=-1， f(1)=2，f(2)=7；若f由圖表給出，那么就可以通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)或查表找出f(a). 要注意f(a)與f(x)的聯(lián)系與區(qū)別：f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，它是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值. ⑶函數(shù)的三要素：由函數(shù)的定義可知，函數(shù)由定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則三部分組成，這三部分就叫做函數(shù)的三要素,而確定函數(shù)的要素是定義域和對(duì)應(yīng)法則.當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨著確定了,至于用什么字母表示自變量和函數(shù)則是無(wú)關(guān)緊要的，因此y=f(x)=x2與z=f(t)=t2表示的是同一函數(shù). 另外，在同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，要用不同的符號(hào)來(lái)表示它們.除了f(x)外還常用g(x),F(x),G(x)等符號(hào). ⒊函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種. ⑴解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱解析式. 例如，s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函數(shù)關(guān)系的. 用解析式表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.中學(xué)階段研究的函數(shù)主要是用解析法表示的函數(shù). ⑵列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系. 例如，數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表、三角函數(shù)表，銀行里的利息表，列車時(shí)刻表等等都是用列表法來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的. 用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. ⑶圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系. 例如，氣象臺(tái)應(yīng)用自動(dòng)記錄器描繪溫度隨時(shí)間變化的曲線，課本中我國(guó)人口出生率變化的曲線，工廠的生產(chǎn)圖象，股市走向圖等都是用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的. 用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)：能直觀形象地表示出自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì)，這樣使得我們可以通過(guò)圖象來(lái)研究函數(shù)的某些性質(zhì). ⒋例題評(píng)價(jià) 例1(P54) 已知函數(shù)f(x)=3x2-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1). 解：f(3)=332-53+2=14； f(-)=3(-)2-5(-)+2=8+5； f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a. 例2(補(bǔ)) 已知函數(shù)f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]， g[f(x)]，g[g(x)]. 解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15； f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3； g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9； g[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4. ⒌目標(biāo)檢測(cè) ⑴課本P56練習(xí)：1，2. ⑵(補(bǔ)充題) 已知f(x)=3x+1，求f(x2+1)與f(x2)+1相差多少. 答案：⑴課本練習(xí)：1.⑴定義域是{-3,-2,-1,0,1,2,3}，值域是{0,1,4,9} ；⑵和x=-2對(duì)應(yīng)的象是4；⑶y=9和原象-3，3對(duì)應(yīng). 2.f(0)=-3，f(2)=1，f(5)=7；函數(shù)的值域是{-3,-1,1,3,7}. ⑵(補(bǔ)充題)：解：∵f(x2+1)=3(x2+1)+1=3x2+4，f(x2)+1=3x2+1+1 =3x2+2，而f(x2+1)-f(x2)+1=3x2+4-(3x2+2)=2，∴f(x2+1)與f(x2)+1相差2. 三、小 結(jié) ⒈函數(shù)是一種特殊的映射f：A→B，其中集合A，B必須是非空的數(shù)集；y=f(x)表示y是x的函數(shù)； ⒉定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的三要素，定義域和對(duì)應(yīng)法則一經(jīng)確定，值域隨之確定. ⒊f(x)與f(a)既有區(qū)別也有聯(lián)系：f(a)表示f(x)在x=a時(shí)的函數(shù)值，是常量；而f(x)是x的函數(shù)，通常是變量. 4.表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種. 四、布置作業(yè) (一)復(fù)習(xí)：課本內(nèi)容，熟悉鞏固有關(guān)概念. (二)書(shū)面：課本P57習(xí)題2.2：1，3.