2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第五課時 等差數(shù)列的前n項和教案(一) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第五課時 等差數(shù)列的前n項和教案(一) 蘇教版必修5教學目標:掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路,會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題;提高學生的推理能力,增強學生的應用意識.教學重點:等差數(shù)列前n項和公式的推導、理解及應用.教學難點:靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題.教學過程:.復習回顧經(jīng)過前面的學習,我們知道,在等差數(shù)列中:(1)anan1d(n1),d為常數(shù).(2)若a,A,b為等差數(shù)列,則A.(3)若mnpq,則amanapaq.(其中m,n,p,q均為正整數(shù)).講授新課隨著學習數(shù)列的深入,我們經(jīng)常會遇到這樣的問題.例:如圖,一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個V形架上共放著多少支鉛筆?這是一堆放鉛筆的V形架,這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖,看到此圖,大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關系,而且可以用一個式子來表示這種關系,利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么,這個V形架上共放著多少支鉛筆呢?這個問題又該如何解決呢?經(jīng)過分析,我們不難看出,這是一個等差數(shù)求和問題?首先,我們來看這樣一個問題:123100?對于這個問題,著名數(shù)學家高斯10歲時曾很快求出它的結果,你知道他是怎么算的嗎?高斯的算法是:首項與末項的和:1100101,第2項與倒數(shù)第2項的和:299101,第3項與倒數(shù)第3項的和:398101,第50項與倒數(shù)第50項的和:5051101,于是所求的和是1015050.這個問題,它也類似于剛才我們所遇到的問題,它可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,n,的前100項的和.在上面的求解中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示,且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和,這就啟發(fā)我們如何去求一般等差數(shù)列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式,那么上述問題便可迎刃而解.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,即Sna1a2an把項的次序反過來,Sn又可寫成Snanan1a1 2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)又a2an1a3an2a4an3ana12Snn(a1an)即:Sn若根據(jù)等差數(shù)列an的通項公式,Sn可寫為:Sn=a1+(a1+d)+a1+(n1)d,把項的次序反過來,Sn又可寫為:Sn=an+(and)+an(n1)d ,把、兩邊分別相加,得2Snn(a1an)即:Sn.由此可得等差數(shù)列an的前n項和的公式Sn.也就是說,等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半.用這個公式來計算123100?我們有S1005050.又ana1+(n1)d,Snna1dSn或Snna1d有了此公式,我們就不難解決最開始我們遇到的問題,下面我們看具體該如何解決?分析題意可知,這個V形架上共放著120層鉛筆,且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列,可記為an,其中a11,a120120,n120.解:設自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列an,其中n120,a11,a120120.則:S1207260答案:這個V形架上共放著7260支鉛筆.下面我們再來看一例題:等差數(shù)列10,6,2,2,前多少項的和是54?分析:先根據(jù)等差數(shù)列所給出項求出此數(shù)列的首項,公差,然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解.解:設題中的等差數(shù)列為an,前n項為的Sn,由題意可知:a110,d(6)(10)4,Sn54由等差數(shù)列前n項求和公式可得: 10n454解之得:n19,n23(舍去)答案:等差數(shù)列10,6,2,2,前9項的和是54.例1在等差數(shù)列an中,(1)已知a2a5a12a1536,求S16(2)已知a620,求S11.分析:(1)由于本題只給了一個等式,不能直接利用條件求出a1,a16,d,但由等差數(shù)列的性質,可以直接利用條件求出a1a16的和,于是問題得以解決.(2)要求S11只需知道a1a11即可,而a1與a11的等差中項恰好是a6,從而問題獲解.解:(1)a2a15a5a12a1a1618S16818144.(2)a1a112a6S1111a61120220.例2有一項數(shù)為2n1的等差數(shù)列,求它的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比.分析一:利用Snna1d解題.解法一:設該數(shù)列的首項為a1,公差為d,奇數(shù)項為a1,a12d,其和為S1,共n1項;偶數(shù)項為a1d,a13d,a15d,其和為S2,共n項.分析二:利用Sn解題. 解法二:由解法一知:S1,S2a1a2n+1a2a2n 例3若兩個等差數(shù)列的前n項和之比是(7n1)(4n27),試求它們的第11項之比.分析一:利用性質mnpqamanapaq解題.解法一:設數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列bn的前n項和為Tn.則:a11,b11,分析二:利用等差數(shù)列前n項和SnAn2+Bn解題.解法二:由題設,令Sn(7n1)nk,Tn(4n27)nk由anSnSn1k(14n6),得a11148k,n2bnTnTn1k(8n23),得b11111k,n2,.評述:對本例,一般性的結論有:已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn,則:(1);(2) .例4等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為A.30 B.170 C.210 D.260 答案:C分析一:把問題特殊化,即命m1來解. 解法一:取m1,則a1S130,a2S2S170da2a140,a3a2d7040110,S3a1a2a3210分析二:利用等差數(shù)列的前n項和公式Snna1d進行求解.解法二:由已知,得解得a1,dS2m3ma1d210. 分析三:借助等差數(shù)列的前n項和公式Sn及性質mnpqamanapaq求解.解法三:由已知得由及結合,得S3m210.分析四:根據(jù)性質:“已知an成等差數(shù)列,則Sn,S2nSn,S3nS2n,SknS(k1)n,(k2)成等差數(shù)列”解題.解法四:根據(jù)上述性質,知Sm,S2mSm,S3mS2m成等差數(shù)列.故Sm(S3mS2m)2(S2mSm),S3m3(S2mSm)210.分析五:根據(jù)Snan2bn求解.解法五:an為等差數(shù)列,設Snan2bn,Smam2bm30,S2m4m2a2mb100得a,bS3m9m2a3mb210.分析六:運用等差數(shù)列求和公式,Snna1d的變形式解題.解法六:由Snna1d,即a1d由此可知數(shù)列也成等差數(shù)列,也即,成等差數(shù)列.由,Sm30,S2m100S3m210.評述:一般地,對于等差數(shù)列am中,有 (pq).例5在a,b之間插入10個數(shù),使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列,求這10個數(shù)的和.分析:求解的關鍵有二:其一是求和公式的選擇;其二是用好等差數(shù)列的性質.解法一:設插入的10個數(shù)依次為x1,x2,x3,x10,則a,x1,x2,x10,b成等差數(shù)列.令Sx1x2x3x10,需求出首項x1和公差d.ba12a111dd,x1aS10x1d105(ab)解法二:設法同上,但不求d.依x1x10abS5(ab)解法三:設法同上,正難則反SS12(ab)(ab)5(ab)評述:求和問題靈活多變,要注意理解和運用.例6在凸多邊形中,已知它的內角度數(shù)組成公差為5的等差數(shù)列,且最小角是120,試問它是幾邊形?解:設這是一個n邊形,則n9所以這是一個九邊形.課堂練習課本P42練習1,2,3,4.課時小結通過本節(jié)學習,要熟練掌握等差數(shù)列前n項和公式:Snna1d及其獲取思路. .課后作業(yè)課本P45習題 1,2,3- 配套講稿:
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