2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題10.1 橢圓試題（含解析）.doc

《2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題10.1 橢圓試題（含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題10.1 橢圓試題（含解析）.doc（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題10.1 橢圓試題（含解析） 【三年高考】 1．【xx江蘇】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，兩準線之間的距離為8．點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線． （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線，的交點在橢圓上，求點的坐標． 【答案】（1）；（2）． 試題解析：（1）設橢圓的半焦距為c． 因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，， 解得，于是，因此橢圓E的標準方程是． 因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為， 從而直線的方程：， ① 直線的方程：． ② 由①②，解得，所以． 因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或． 又在橢圓E上，故． 由，解得；，無解． 因此點P的坐標為． 【考點】橢圓方程、直線與橢圓的位置關系 【名師點睛】直線與圓錐曲線的位置關系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用根與系數(shù)關系或求根公式進行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點在曲線上（點的坐標滿足曲線方程）等． 2. 【xx江蘇，理17】如圖在平面直角坐標系中，分別是橢圓的左右焦點，頂點的坐標是，連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點，連接. （1）若點的坐標為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求橢圓標準方程，一般要找到關系的兩個等量關系，本題中橢圓過點，可把點的坐標代入標準方程，得到一個關于的方程，另外，這樣兩個等量關系找到了；（2）要求離心率，就是要列出關于的一個等式，題設條件是，即，，要求，必須求得的坐標，由已知寫出方程，與橢圓方程聯(lián)立可解得點坐標，則，由此可得，代入可得關于的等式，再由可得的方程，可求得. 試題解析：（1）由題意，，，，又，∴，解得．∴橢圓方程為． （2）直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得點坐標為，則點坐標為，，又，由得，即，∴，化簡得． 3．【xx江蘇，理12】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為(a＞0，b＞0)，右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B.設原點到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若，則橢圓C的離心率為__________． 【答案】 【解析】設橢圓C的半焦距為c，由題意可設直線BF的方程為，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，. ∵，∴，即. ∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝. ∴. 4．【xx浙江，2】橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：，選B． 【考點】 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等． 5.【xx課標3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2 為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【考點】 橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關系 【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式e＝ ； ②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 6．【xx課標1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點. 【解析】 試題解析：（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經(jīng)過，兩點. 又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上. 因此，解得. 故C的方程為. 【考點】橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系. 【名師點睛】橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì)，判斷點是否在橢圓上，可以通過這一方法進行判斷；證明直線過定點的關鍵是設出直線方程，通過一定關系轉(zhuǎn)化，找出兩個參數(shù)之間的關系式，從而可以判斷過定點情況.另外，在設直線方程之前，若題設中為告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在情況，接著通法是聯(lián)立方程組，求判別式、韋達定理，根據(jù)題設關系進行化簡. 7．【xx高考新課標1文數(shù)改編】直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為　　　?。? 【答案】 【解析】 試題分析：如圖,由題意得在橢圓中, 在中,,且,代入解得 ,所以橢圓得離心率得． y x O B F D 考點：橢圓的幾何性質(zhì) 【名師點睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考?？紗栴},求解此類問題的一般步驟是先列出等式,再轉(zhuǎn)化為關于a,c的齊次方程,方程兩邊同時除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關于e的方程,解方程求e . 8．【xx高考新課標Ⅲ文數(shù)改編】已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左，右頂點.為上一點，且軸.過點的直線與線段交于點，與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為　　?。? 【答案】 【解析】 試題分析：由題意設直線的方程為，分別令與得點，，由，得，即，整理，得，所以橢圓離心率為． 考點：橢圓方程與幾何性質(zhì)． 【思路點撥】求解橢圓的離心率問題主要有三種方法：（1）直接求得的值，進而求得的值；（2）建立的齊次等式，求得或轉(zhuǎn)化為關于的等式求解；(3)通過特殊值或特殊位置，求出． 9．【xx高考北京文數(shù)】（本小題14分） 已知橢圓C：過點A（2,0），B（0,1）兩點. （I）求橢圓C的方程及離心率； （Ⅱ）設P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點坐標可知a,b的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線的值求乘積為定值即可. 試題解析：（I）由題意得，，． 所以橢圓的方程為． 又， 所以離心率． （II）設（，），則． 又，，所以， 直線的方程為． 令，得，從而． 直線的方程為． 令，得，從而． 所以四邊形的面積 ． 從而四邊形的面積為定值． 考點：橢圓方程，直線和橢圓的關系，運算求解能力. 【名師點睛】解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算. 10．【xx高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分) 已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B. (i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 . 【解析】 試題分析：(Ⅰ)分別計算即得. (Ⅱ)(i)設， 利用對稱點可得 得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得. (ii)設，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程 聯(lián)立， 應用一元二次方程根與系數(shù)的關系得到、及用表示的式子，進一步應用基本不等式即得. 試題解析：(Ⅰ)設橢圓的半焦距為c， 由題意知， 所以， 所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設， 由，可得 所以 直線PM的斜率 ， 直線QM的斜率. 此時，所以為定值. (ii)設， 直線PA的方程為， 直線QB的方程為. 聯(lián)立 ， 整理得. 由可得 ， 所以， 同理. 所以， ， 所以 由，可知， 所以 ，等號當且僅當時取得. 此時，即，符號題意. 所以直線AB 的斜率的最小值為 . 考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關系；3.基本不等式. 【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到參數(shù)的解析式或方程是關鍵，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分析問題解決問題的能力等. 11．【xx高考新課標1，理14】一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為 . 【答案】 【解析】設圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為. 12．【xx高考安徽，理20】設橢圓E的方程為，點O為坐標原點，點A的坐標為，點B的坐標為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為. （I）求E的離心率e； （II）設點C的坐標為，N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程. 【解析】（I）由題設條件知，點的坐標為，又，從而，進而得，故. （II）由題設條件和（I）的計算結(jié)果可得，直線的方程為，點的坐標為，設點關于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為.又點在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為. 13.【xx高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且 （1）若，求橢圓的標準方程 （2）若求橢圓的離心率 【解析】 (1)由橢圓的定義，設橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而，故所求橢圓的標準方程為. (2)解法一：如圖(21)圖，設點P在橢圓上，且，則，求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此，于是解得. 解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此,,從而 由,知，因此 14.【xx高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內(nèi)作往復運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由． x D O M N y 【解析】（Ⅰ）設點，，依題意，，且，所以，且，即且 由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為 （Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有. 當直線的斜率存在時，設直線， 由 消去，可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點， 所以，即. ① 又由 可得；同理可得.由原點到直線的距離為和，可得. ② 將①代入②得，. 當時，； 當時，.因，則，，所以，當且僅當時取等號.所以當時，的最小值為8. 15.【xx高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點， 的直線的距離為． （I）求橢圓的離心率； （II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程． 【解析】（I）過點，的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率. (II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1) 依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設其直線方程為，代入(1)得，設則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為. 解法二：由（I）知，橢圓的方程為. (2) 依題意，點，關于圓心對稱，且.設則，，兩式相減并結(jié)合得.易知，不與軸垂直，則，所以的斜率因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為. 【xx年高考命題預測】 縱觀xx各地高考試題，對橢圓的考查，重點考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關系，高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標準方程及橢圓的幾何性質(zhì)，為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關系，一般是難題，分值一般為5-12分. 展望xx年高考，對橢圓的考查，仍重點考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關系，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標準方程及橢圓的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關系，難度仍難題，分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)xx年高考中，要熟記橢圓的定義，會利用定義解決橢圓上一點與橢圓的焦點構(gòu)成的三角形問題，會根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標準方程，會根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì)，會用舍而不求思想處理直線與橢圓的位置關系，重點掌握與橢圓有關的最值問題、定點與定值問題、范圍問題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應用. 【xx年高考考點定位】 高考對橢圓的考查有三種主要形式：一是直接考查橢圓的定義與標準方程；二是考查橢圓的幾何性質(zhì)；三是考查直線與橢圓的位置關系，從涉及的知識上講，常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識相聯(lián)系，字母運算能力和邏輯推理能力是考查是的重點. 【考點1】橢圓的定義與標準方程 【備考知識梳理】 1.橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫焦距，符號表述為：(). 注意：（1）當時，軌跡是線段.(2)當時，軌跡不存在. 2.橢圓的標準方程：（1） 焦點在軸上的橢圓的標準方程為；焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.給定橢圓，要根據(jù)的大小判定焦點在那個坐標軸上，焦點在分母大的那個坐標軸上.(2)橢圓中關系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點到兩焦點的距離進行轉(zhuǎn)化，對橢圓上一點與其兩焦點構(gòu)成的三角形問題，常用橢圓的定義與正余弦定理去處理. 2.求橢圓的標準方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點到兩定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于兩點之間的距離），符合橢圓的定義，該曲線是以這兩定點為焦點，定值為長軸長的橢圓，從而求出橢圓方程中的參數(shù)，寫出橢圓的標準方程. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求橢圓標準方程，一般分三步完成，①定性-確定它是橢圓；②定位判定中心在原點，焦點在哪條坐標軸上；③定量-建立關于基本量的關系式，解出參數(shù)即可求出橢圓的標準方程. 3.若若橢圓的焦點位置不定，應分焦點在x軸上和焦點在y軸上，也可設橢圓方程為，可避免分類討論和繁瑣的計算. 【考點針對訓練】 1. 已知橢圓 的焦距為2,過M（1,1）斜率為-直線交曲線C于且M是線段AB的中點，則橢圓的標準方程為_____________. 【答案】 【解析】由題知，2c=2，c=1，即，① 設A，，則=2，=2，③，④， ③-④得===0， ∴===-⑤，由①⑤解得，，故橢圓C的標準方程為，. 2.在直角坐標系中，O為坐標原點，設直線經(jīng)過點，且與軸交于點F（2，0）. （Ⅰ）求直線的方程； （Ⅱ）如果一個橢圓經(jīng)過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程. 【解析】（Ⅰ）由于直線經(jīng)過點和F（2，0）， 則根據(jù)兩點式得，所求直線的方程為 即從而直線的方程是 （Ⅱ）設所求橢圓的標準方程為，由于一個焦點為F（2，0）， 則①， 又點在橢圓上， 則② 由①②解得所以所求橢圓的標準方程為 【考點2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準方程 焦點 (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) 范圍 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a 頂點 長軸頂點(a,0)，短軸頂點(0，b) 長軸頂點(0，a)，短軸頂點(b,0) 對稱性 曲線關于x軸、y軸、原點對稱 曲線關于x軸、y軸、原點對稱 離心率 e＝∈(0，1)，其中c＝ 2.點與橢圓關系（1）點在橢圓內(nèi)；（2）點在橢圓上；（3）點在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關的問題時要結(jié)合圖像進行分析，即使不畫圖形，思考時也要聯(lián)想到圖像.當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是橢圓上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應用. 3.求離心率問題，關鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關于的式子，再利用，化成關于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關系為：=. 4.橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑（過焦點垂直于焦點所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 【考點針對訓練】 1.橢圓上橫坐標為2的點到右焦點的距離為________ 【答案】 【解析】橫坐標為2的點到右焦點的距離為 2.橢圓的左焦點為，若關于直線的對稱點是橢圓上的點，則橢圓的離心率為___________． 【答案】 【解析】設關于直線的對稱點的坐標為，則，所以，，將其代入橢圓方程可得，化簡可得，解得． 【考點3】直線與橢圓的位置關系 【備考知識梳理】 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若判別式Δ＞0，則直線與橢圓交；若△=0，則直線與橢圓相切；若△＜0，則直線與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，常設出交點坐標，用根與系數(shù)關系將橫坐標之和與之積表示出來，這是進一步解題的基礎． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓練】 1.已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為． （Ⅰ）若為等邊三角形,求橢圓的方程; （Ⅱ）若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程． 【解析】（Ⅰ）設橢圓的方程為．根據(jù)題意知, 解得, 故橢圓的方程為． （Ⅱ）容易求得橢圓的方程為．當直線的斜率不存在時,其方程為,不符合題意; 當直線的斜率存在時,設直線的方程為．由 得．設,則 對任意都成立， ，因為,所以,即 , 解得,即． 故直線的方程為或． 2.在平面直角坐標系中，設點，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點． （Ⅰ）求動點的軌跡的方程； （Ⅱ）過點的直線與軌跡交于兩點，點關于軸的對稱點為，試判斷直線是否恒過一定點，并證明你的結(jié)論． 【解析】（Ⅰ）由題意可得，所以，即，即，即動點的軌跡的方程為； （Ⅱ）設直線的方程為,，則．由消整理得， 則，即． ． 直線，，，，即 所以，直線恒過定點． 【兩年模擬詳解析】 1. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】已知橢圓的左、右焦點分別為，是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點，則 ． 【答案】 【解析】 2. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為 ． 【答案】 【解析】設橢圓的左、右焦點分別為， 將代入橢圓方程可得，故可設，由, 可得，即有，即， 可得，代入橢圓方程可得，， 由，即有，解得，故. 3. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級第三次調(diào)研考試】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左、右頂點分別為，，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點（點在軸上方）. （1）若，求直線的方程； （2）設直線，的斜率分別為，，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）（2） 【解析】 解:(1) 因為，，所以，所以的坐標為（1,0）， 設，，直線的方程為， 代入橢圓方程，得， 則，． 若，則， 解得，故直線的方程為． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， 故存在常數(shù)，使得． 4.【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）】已知橢圓：（）的左焦點為，左準線方程為. （1）求橢圓的標準方程； （2）已知直線交橢圓于，兩點. ①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交軸于點，且滿足，.求證：為定值； ②若（為原點），求面積的取值范圍. 【答案】（1）（2）①② 【解析】 解：（1）由題設知，，， ，， ：. （2）①由題設知直線的斜率存在，設直線的方程為，則. 設，，直線代入橢圓得，整理得， ，，. 由，知，， （定值）. ②當直線，分別與坐標軸重合時，易知的面積， 當直線，的斜率均存在且不為零時，設：，：， 設，，將代入橢圓得到， ，，同理，， 的面積 . 令 ， ， 令，則 . 綜上所述，. 5. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分14分) 在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過橢圓的焦點. （1）求橢圓的標準方程； （2）設直線交橢圓于兩點，為弦的中點，，記直線的斜率分別為，當時，求的值. l T P O y x Q 第17題圖 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 解：（1）因，所以橢圓的焦點在軸上， 又圓經(jīng)過橢圓的焦點，所以橢圓的半焦距， ……………3分 所以，即，所以橢圓的方程為. ……………6分 （2）方法一：設，，， 聯(lián)立，消去，得， 所以，又，所以， 所以，， ……………10分 則. …………14分 方法二：設，，， 則， 兩式作差，得， 又，，∴，∴， 又，在直線上，∴，∴，① 又在直線上，∴，② 由①②可得，. ……………10分 以下同方法一. 6.【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上． （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線交橢圓于兩點，線段的中點為，為坐標原點，且， 求面積的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】 解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分 橢圓的方程是. ……4分 （2）設l與x軸的交點為，直線，與橢圓交點為，， 聯(lián)立，，得， ， ∴ ，， ∴ ，即， ……6分 由，得， ……10分 則S△POQ， 令， ……12分 設，則， ……14分 當且僅當，即，S△POQ， ……15分 所以△面積的最大值為1. ……16分 7.【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，焦點到相應準線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）若為橢圓上兩不同點,線段的中點為.當三角形面積等于時，求的取值范圍. 【解析】解：（1）設橢圓的焦距為. 則 ， 因此橢圓方程為.………………………4分 （2）①若直線垂直軸，則由 ，即………………………6分 ②若直線不垂直軸，設直線 由 得 所以 ，………………………8分 因此 ，當且僅當時取等號. …………12分 此時 ， 因此 ，. 綜合①②得的取值范圍為.………………………16分 8.【xx年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知橢圓的離心率為，上、下頂點分別為．為直線上一個動點(與軸交點除外)，直線交橢圓于另一個點 （1）求橢圓方程； （2）若直線的斜率分別為求證：為定值； （3）求的取值范圍． 【解析】（1）由題意得，因此橢圓方程為．……………………2分 （2）設，則， 因此， 因為，所以為定值．………………………8分 （3）由（2）得 ， 因為，且，所以……………16分 9.【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，設橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為，上頂點為，離心率為.橢圓上一點滿足：在軸上方，且軸. （1）若∥，求的值； （2）連結(jié)并延長交橢圓于另一點.若，求的取值范圍. 【解析】（1）設橢圓的焦距為. 因為軸，則可設. 因為在橢圓上，所以，解得，即.……………2分 因為∥，所以，即.……………4分 所以.……………6分 （2）設，. 由（1）知，又,故，， 由得，，且. 解得，所以，……………9分 因為點在橢圓上，所以，變形得， 因為，所以，……………13分 因為，所以， 解不等式得， 所以的取值范圍為.……………16分 10. 【江蘇省揚州中學xx學年第二學期質(zhì)量檢測】已知是橢圓：與雙曲線的一個公共焦點，A，B分別是，在第二、四象限的公共點．若，則的離心率是 ． 【答案】 【解析】設雙曲線的實軸長為，為橢圓：與雙曲線的另一個公共焦點，則由對稱性知,因此由得． 11．【江蘇省蘇中三市xx屆高三第二次調(diào)研測試】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點的一點，點滿足． （1）若點的坐標為，求橢圓的方程；（2）設過點的一條直線交橢圓于兩點，且，直線的斜率之積，求實數(shù)的值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因為，而， 所以． 代入橢圓方程，得，① 又橢圓的離心率為，所以，② 由①②，得， 故橢圓的方程為．　 （2）設， 因為，所以． 因為，所以， 即 于是， 代入橢圓方程，得， 即，③ 因為在橢圓上，所以． ④ 因為直線的斜率之積為，即，結(jié)合②知．　　⑤ 將④⑤代入③，得， 解得． 12．【淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市xx屆高三第二次調(diào)研】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點. （1）求橢圓的方程; （2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由; （3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）因為左頂點為，所以，又，所以. 又因為， 所以橢圓C的標準方程為. （2）直線的方程為，由消元得，. 化簡得，， 所以，. 當時，， 所以.因為點為的中點，所以的坐標為， 則. 直線的方程為，令，得點坐標為， 假設存在定點，使得， 則，即恒成立， 所以恒成立，所以即 因此定點的坐標為. （3）因為，所以的方程可設為， 由得點的橫坐標為， 由，得 ， 當且僅當即時取等號， 所以當時，的最小值為． 13．【江蘇省南京市xx屆高三年級第三次學情調(diào)研適應性測試數(shù)學】(本小題滿分16分) 已知點P是橢圓C上的任一點，P到直線l1：x＝－2的距離為d1，到點F(－1，0)的距離為d2，且． （1）求橢圓C的方程； （2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B(A，B都在x軸上方)，且 ∠OFA＋∠OFB＝180． （?。┊擜為橢圓C與y軸正半軸的交點時，求直線l的方程； （ⅱ）是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總過該定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由． （第18題） 【答案】（1）＋y2＝1（2）（ⅰ）y＝x＋1（ⅱ）(－2，0) 【解析】（1）設P(x，y)，則d1＝|x＋2|，d2＝， 化簡得：＋y2＝1， ∴橢圓C的方程為：＋y2＝1 （2）（?。┯桑?）知A(0，1)，又F(－1，0)，∴kAF＝1， ∵∠OFA＋∠OFB＝180，∴kBF＝－1， ∴直線BF方程為：y＝－1(x＋1)＝－x－1 代入＋y2＝1得：3x2＋4x＝0， 解得x＝0或x＝－， ∴B(－，).，kAB＝ ∴直線AB的方程為：y＝x＋1 （ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180，所以kAF＋kBF＝0 設直線AB方程為：y＝kx＋b，代入＋y2＝1 得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2) 則x1＋x2＝－，x1x2＝ 所以，kAF＋kBF＝＝0 所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b ＝2k－(k＋b)＋2b＝0 ∴b－2k＝0， 所以直線AB方程為：y＝k(x＋2) 所以直線l總經(jīng)過定點M(－2，0) 【一年原創(chuàng)真預測】 1. 橢圓，橢圓的左、右焦點分別為,橢圓上的點到中心的最短距離為，且橢圓上的點到左焦點的最長距離為. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線交于A，B兩點．若AB的中點坐標的縱坐標為，求的面積. 【解析】（Ⅰ）由題意可得：，所以橢圓的標準方程為. （Ⅱ）直線與橢圓交點坐標分別為聯(lián)立可得，所以，，又因為的中點的縱坐標為，所以，所以直線方程為：，所以點到直線的距離為，，所以的面積為. 【入選理由】本題考橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，三角形面積公式等基礎知識，意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力，直線與橢圓的位置關系，面積問題，是高考考查的熱點，故選此題. 2. 橢圓C:的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為. （1）求橢圓C的方程； （2）設過點的直線與橢圓C交于E,F兩點，O為坐標原點，若為直角三角形，求直線的斜率． 【解析】（1）．由橢圓的離心率為得，.設 ， ， ，.所以.橢圓C的方程為. （2）由為直角三角形，若，設，則. ① 依題意直線斜率存在， ，聯(lián)立 得.根據(jù)根與系數(shù)關系可以知道代入①整理得，得 ， 若,設直角頂點為， ，，，滿足，所以可以得到或. 【入選理由】本題考查橢圓標準方程，直線和橢圓位置關系，求直線方程等基礎知識，意在考查綜合分析問題解決問題的能力和基本運算能力，此題是一個常規(guī)題，也是是高考考查的重點，故選此題. 3. 已知直角坐標系中，以為中心，點為焦點的橢圓經(jīng)過第一象限的點,的面積為，且. (1)當取最小值時，求橢圓的標準方程； (2)在(1)的條件下，設點分別為橢圓的左、右頂點，點是橢圓的下頂點，點在橢圓上（與點均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程． 【解析】(1)設()，，得,，．，，則 ,，易得 在上遞增,當時，有最小值，此時，，.由點在橢圓上，且，得，則橢圓E方程為：． (2)由(1)知：，，,直線：經(jīng)過點，求得，設,則, ,，又,所以， , , ,又直線過點，故所求方程為：. 【入選理由】本題考橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力，此題第一問出題比較新，構(gòu)思比較巧，故選此題.