2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖教案 新人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖教案 新人教版 一．課標要求： 1．常用邏輯用語 （1）命題及其關系 ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題；② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系； （2）簡單的邏輯聯(lián)結詞 通過數(shù)學實例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結詞的含義。 （3）全稱量詞與存在量詞 ① 通過生活和數(shù)學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義； ② 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。 2．推理與證明 （1）合情推理與演繹推理 ①結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用； ②結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理； ③通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 ①結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點； ②結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過程、特點； （3）數(shù)學歸納法 了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題； （4）數(shù)學文化 ①通過對實例的介紹（如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想； ②介紹計算機在自動推理領域和數(shù)學證明中的作用； 3．數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系； （2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件； （3）了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； （4）能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義。 4．框圖 （1）流程圖 ①通過具體實例，進一步認識程序框圖； ②通過具體實例，了解工序流程圖（即統(tǒng)籌圖）； ③能繪制簡單實際問題的流程圖，體會流程圖在解決實際問題中的作用； （2）結構圖 ①通過實例，了解結構圖；運用結構圖梳理已學過的知識、整理收集到的資料信息； ②結合作出的結構圖與他人進行交流，體會結構圖在揭示事物聯(lián)系中的作用。 二．命題走向 常用邏輯用語 本部分內容主要是常用的邏輯用語，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。 預測07年高考對本部分內容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點是條件和復合命題真值的判斷。 推理證明 本部分內容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法（理科）等內容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨出題的可能性較??； 預計xx年高考將會有較多題目用到推理證明的方法。 復數(shù) 復數(shù)部分考查的重點是復數(shù)的有關概念、復數(shù)的代數(shù)形式、運算及運算的幾何意義，一般是選擇題、填空題，難度不大，預計今后的高考還會保持這個趨勢。 預測xx年高考對本講的試題難度不會太大，重視對基本問題諸如：復數(shù)的四則運算的考查，題目多以選擇、填空為主。 框圖 本部分是新課標新增內容，歷年高考中涉及內容很少，估計xx年高考中可能在選擇題、填空題中以考察流程圖和結構圖的定義和特征的形式出現(xiàn)；也可能以畫某種知識的結構圖或解決某類問題的流程圖為形式的解答題出現(xiàn)，但不論哪種形式，所占份量都不會很大。 三．要點精講 1．常用邏輯用語 （1）命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結詞的命題。復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 （2）復合命題的真值 “非p”形式復合命題的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1像上面表示命題真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；3真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內容。 （3）四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的條件和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的結論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉化為判斷其逆否命題的真假。 （4）條件 一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類：（1）充分不必要條件，即pq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qp；(3)既充分又必要條件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pq，又有qp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pq且qp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 （5）全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。 短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 2．推理與證明 （1）合情推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理； 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 類比推理的一般步驟： （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那么它們在另一些性質上也可能相同或類似，類比的結論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。 （2）演繹推理 分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。 （3）證明 反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。 反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。 分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 用分析法證明不等式的邏輯關系是： 分析法的思維特點是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法， 用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。 3．數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 形如a+bi(a,b的數(shù)，我們把它們叫做復數(shù)，全體復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母C表示，其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部。 復數(shù)的加法法則：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；復數(shù)的加法法則：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；復數(shù)的乘法法則：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；復數(shù)的除法法則：(a+bi)(c+di)=== =+； 4．框圖 （1）結構圖 首先，你要對所畫結構圖的每一部分有一個深刻的理解和透徹的掌握，從頭止尾抓住主要脈絡進行分解，然后將每一步分解進行歸納與提煉，形成一個個知識點并將其逐一地寫在矩形框內。最后，按其內在的邏輯順序將它們排列起來并用線段相連，這樣就畫成了知識結構圖。 認識結構圖：由構成系統(tǒng)的若干要素和表達各要素之間關系的連線構成。 繪制結構圖的步驟：1）先確定組成系統(tǒng)的基本要素，以及這些要素之間的關系；2）處理好“上位”與“下位”的關系；“下位”要素比“上位”要素更為具體， “上位”要素比“下位”要素更為抽象。3）再逐步細化各層要素；4）畫出結構圖，表示整個系統(tǒng)。 （2）流程圖 繪制流程圖的一般過程：首先，用自然語言描述流程步驟；其次，分析每一步驟是否可以直接表達，或需要借助于邏輯結構來表達；再次，分析各步驟之間的關系；最后，畫出流程圖表示整個流程。 鑒于用自然語言描述算法所出現(xiàn)的種種弊端，人們開始用流程圖來表示算法，這種描述方法既避免了自然語言描述算法的拖沓冗長，又消除了起義性，且能清晰準確地表述該算法的每一步驟，因而深受歡迎。 設計算法解決問題的主要步驟： 第一步、用自然語言描述算法； 算法可以用自然語言來描述，但為了使算法的程序或步驟表達得更為直觀，我們更經(jīng)常地用圖形方式來表示它。 第二步、畫出程序框圖表達算法； 第三步、寫出計算機相應的程序并上機實現(xiàn)。 四．典例解析 題型1：判斷命題的真值 例1．寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構成的這些復合命題的真假。 （1）p：9是144的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)。 （2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）p：實數(shù)的平方是正數(shù)，q：實數(shù)的平方是0. 解析：由簡單命題構成復合命題，一定要檢驗是否符合“真值表”如果不符要作語言上的調整。 （1）p或q：9是144或225的約數(shù)； p且q：9是144與225的公約數(shù)，（或寫成：9是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù)）； 非p：9不是144的約數(shù). ∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假. （2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能寫成“方程x2－1=0的解是x=1”，這與真值表不符）； p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1； 非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應理解為“都是”的意思）； ∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真. （3）p或q：實數(shù)的平方都是正數(shù)或實數(shù)的平方都是0； p且q：實數(shù)的平方都是正數(shù)且實數(shù)的平方都是0； 非p：實數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實數(shù)，其平方不是正數(shù)）； ∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真. 點評：在命題p或命題q的語句中，由于中文表達的習慣常常會有些省略，這種情況下應作詞語上的調整。 題型2：條件 例2．（1）（xx北京2）“”是“直線相互垂直”的（ ） A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B； 解析：當時兩直線斜率乘積為從而可得兩直線垂直,當時兩直線一條斜率為0一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直.因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件。 點評：對于兩條直線垂直的充要條件①都存在時②中有一個不存在另一個為零對于②這種情況多數(shù)考生容易忽略。 （2）（xx湖南6）設集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的（ ?。? 　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分又不必要條件 答案：A； 解析：由題意得A：－1b>0，那么； （2）（06全國II）設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。 （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。 解析：（1）假設不大于，則或者<,或者=。 ∵a>0，b>0，∴<<，< ，ab>0矛盾，∴. 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即， ∴，∴。 （2）(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。 當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。 (Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　① 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。 由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 下面用數(shù)學歸納法證明這個結論 (i)n＝1時已知結論成立； (ii)假設n＝k時結論成立，即Sk＝， 當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1時結論也成立． 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立， 于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… 點評：要應用好反證法、數(shù)學歸納法證明一些涉及代數(shù)、不等式、幾何的結論。 題型8：復數(shù)的概念及性質 例8．（1）（福建卷）設a、b、c、d∈R，則復數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 （2）（北京卷）在復平面內，復數(shù)對應的點位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析：（1）復數(shù)=為實數(shù)，∴，選D； （2）解：故選D； 點評：復數(shù)的概念和性質是高考對復數(shù)部分的一個考點，屬于比較基本的題目，主要考察復數(shù)的的分類和幾何性質。 題型9：復數(shù)的運算 例9．（1）（06浙江卷）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i （2）（湖北卷）設為實數(shù)，且，則 。 解析：（1），由、是實數(shù)，得， ∴，故選擇C。 （2）， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 點評：本題考查復數(shù)的運算及性質，基礎題。 題型10：框圖 例10．（1）方案1：派出調研人員赴北京、上海、廣州調研，待調研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量； 方案2：商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調研，然后進行生產(chǎn)，調研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調研，以便提前結束調研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領市場。 （2）公司人事結構圖 解析：（1）方案1：派出調研人員赴北京、上海、廣州調研，待調研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量。 方案2： 商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調研，然后進行生產(chǎn)，調研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調研，以便提前結束調研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領市場。 于是： （2） 點評：建立合理的結構圖和流程圖解決實際問題，要形成良好的書寫習慣遵循從上到下、從左到右的規(guī)則。 五．思維總結 1．簡易邏輯的重點內容是有關“充要條件”、命題真?zhèn)蔚脑囶}。主要是對數(shù)學概念有準確的記憶和深層次的理解，試題以選擇題、填空題為主，難度不大，要求對基本知識、基本題型，求解準確熟練； 2．推理證明題主要和其它知識結合到一塊，屬于知識綜合題，解決此類題目時要建立合理的解題思路； 3．高考對于復數(shù)的考察主要以復數(shù)的四則運算為主，按新課標的要求高考將不再考察共軛復數(shù)、復數(shù)的模等知識點； 4．框圖屬于新增內容，將以考察考生的實際應用能力為主，考查考生的知識遷移能力。