2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 10.3二項式定理教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 10.3二項式定理教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.利用二項式定理求二項展開式的特定項或系數(shù)、二項式系數(shù)、系數(shù)和等；2.考查二項式定理的應用． 復習備考要這樣做　1.熟練掌握二項展開式的通項公式；2.注意二項式定理在解決有關組合數(shù)問題中的應用；3.理解二項式系數(shù)的性質． 1． 二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． 這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)C(k＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)．式中的Can－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項；Tk＋1＝Can－kbk. 2． 二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n＋1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C. 3． 二項式系數(shù)的性質 (1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C. (2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C，當k<時，二項式系數(shù)是遞增的；當k>時，二項式系數(shù)是遞減的． 當n是偶數(shù)時，中間的一項Cn取得最大值． 當n是奇數(shù)時，中間兩項Cn 和Cn 相等，且同時取得最大值． (3)各二項式系數(shù)的和 (a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [難點正本　疑點清源] 1． 二項式的項數(shù)與項 (1)二項式的展開式共有n＋1項，Can－kbk是第k＋1項．即k＋1是項數(shù)，Can－kbk是項． (2)通項是Tk＋1＝Can－kbk (k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素． 2． 二項式系數(shù)與展開式項的系數(shù)的異同 在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是該項的二項式系數(shù)，它與a，b的值無關；而Tk＋1項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù)． 3． 二項式定理的應用 (1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等． (2)展開式的應用：利用展開式①可證明與二項式系數(shù)有關的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計算等． 1． (xx廣東)x7的展開式中，x4的系數(shù)是______．(用數(shù)字作答) 答案　84 解析　x7的展開式的通項是Tr＋1＝xCx7－rr＝C(－2)rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系數(shù)是C4＝84. 2． (xx陜西)(a＋x)5展開式中x2的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為________． 答案　1 解析　(a＋x)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ca5－rxr. 當r＝2時，由題意知Ca3＝10，∴a3＝1，∴a＝1. 3． (xx安徽)(x2＋2)5的展開式的常數(shù)項是 (　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案　D 解析　二項式5展開式的通項為： Tr＋1＝C5－r(－1)r＝Cx2r－10(－1)r. 當2r－10＝－2，即r＝4時，有x2Cx－2(－1)4＝C(－1)4＝5； 當2r－10＝0，即r＝5時，有2Cx0(－1)5＝－2. ∴展開式中的常數(shù)項為5－2＝3，故選D. 4． 若n展開式中各項系數(shù)之和為32，則該展開式中含x3的項的系數(shù)為 (　　) A．－5 B．5 C．－405 D．405 答案　C 解析　根據(jù)已知，令x＝1，得2n＝32，即n＝5. 二項展開式的通項公式是Tr＋1＝C(3x)5－rr＝(－1)r35－rCx5－2r，令5－2r＝3，r＝1， 此時的系數(shù)是－345＝－405. 5． 若n的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為(　　) A. B. C．－ D. 答案　B 解析　由題意知C＝＝15，所以n＝6，故n＝6，令x＝1得所有項系數(shù)之和為6＝. 題型一　求二項展開式的指定項或指定項系數(shù) 例1　已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項． (1)求n； (2)求含x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． 思維啟迪：先根據(jù)第6項為常數(shù)項利用通項公式求出n，然后再求指定項． 解　(1)通項公式為 Tk＋1＝Cxkx－＝Ckx. 因為第6項為常數(shù)項， 所以k＝5時，＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝2， 故含x2的項的系數(shù)是C2＝. (3)根據(jù)通項公式，由題意， 令＝r (r∈Z)，則10－2k＝3r，k＝5－r， ∵k∈N，∴r應為偶數(shù)． ∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8， ∴第3項，第6項與第9項為有理項， 它們分別為C2x2，C5，C8x－2. 探究提高　求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可． (1)(xx重慶)8的展開式中常數(shù)項為 (　　) A. B. C. D．105 (2)(xx上海)在6的二項展開式中，常數(shù)項等于________． 答案　(1)B　(2)－160 解析　(1)Tr＋1＝C()8－rr＝Cx4－－＝Cx4－r.令4－r＝0，則r＝4， ∴常數(shù)項為T5＝C＝70＝. (2)方法一　利用計數(shù)原理及排列、組合知識求解． 常數(shù)項為Cx33＝20x3＝－160. 方法二　利用二項展開式的通項求解． Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r， 令6－2r＝0，得r＝3. 所以常數(shù)項為T4＝(－2)3C＝－160. 題型二　求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項 例2　已知(＋3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992. (1)求該展開式中的二項式系數(shù)最大的項； (2)求該展開式中的系數(shù)最大的項． 思維啟迪：可先根據(jù)條件列方程求n，然后根據(jù)二項式系數(shù)的性質及系數(shù)的大小關系求二項式系數(shù)最大的項、系數(shù)最大的項． 解　令x＝1，得各項的系數(shù)之和為(1＋3)n＝4n，而二項式系數(shù)之和為C＋C＋C＋…＋C＝2n.根據(jù)題意，4n＝2n＋992，得2n＝32或2n＝－31(舍去)，所以n＝5. (1)二項式系數(shù)最大的項為第3項和第4項， T3＝C()3(3x2)2＝90x6， T4＝C()2(3x2)3＝270x. (2)設第r＋1項系數(shù)最大，則 即解得≤r≤. 又r∈N，得r＝4，所以系數(shù)最大的項為T5＝405x. 探究提高　展開式的系數(shù)和與展開式的二項式系數(shù)和是不同的概念，二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項也是不同的概念，解題時要注意辨別．第(2)小題解不等式時可將組合數(shù)展開為階乘形式． 已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n (m，n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11. (1)求x2的系數(shù)取最小值時n的值； (2)當x2的系數(shù)取得最小值時，求f(x)展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和． 解　(1)由已知C＋2C＝11，∴m＋2n＝11， x2的系數(shù)為C＋22C＝＋2n(n－1) ＝＋(11－m)＝2＋. ∵m∈N*， ∴m＝5時，x2的系數(shù)取得最小值22，此時n＝3. (2)由(1)知，當x2的系數(shù)取得最小值時，m＝5，n＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3. 設這時f(x)的展開式為 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和為30. 題型三　二項式定理的應用 例3　(1)已知2n＋23n＋5n－a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值； (2)求1.028的近似值．(精確到小數(shù)點后三位) 思維啟迪：(1)將已知式子按二項式定理展開，注意轉化時和25的聯(lián)系；(2)近似值計算只要看展開式中的項的大小即可． 解　(1)原式＝46n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a， 顯然正整數(shù)a的最小值為4. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C0.02＋C0.022＋C0.023≈1.172. 探究提高　(1)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應用問題，整除問題中要關注展開式的最后幾項，而求近似值則應關注展開式的前幾項． (2)二項式定理的應用基本思路是正用或逆用二項式定理，注意選擇合適的形式． 求證：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)； (2)3n>(n＋2)2n－1 (n∈N*，n>2)． 證明　(1)∵32n＋2－8n－9＝3232n－8n－9 ＝99n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9 ＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C8＋C1)－8n－9 ＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋98n＋9－8n－9 ＝982(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋64n ＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]， 顯然括號內(nèi)是正整數(shù)，∴原式能被64整除． (2)因為n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展開后至少有4項． (2＋1)n＝2n＋C2n－1＋…＋C2＋1≥2n＋n2n－1＋2n＋1>2n＋n2n－1＝(n＋2)2n－1， 故3n>(n＋2)2n－1 (n∈N*，n>2)． 混淆二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)致誤 典例：(12分)已知(＋x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992.求在2n的展開式中， (1)二項式系數(shù)最大的項； (2)系數(shù)的絕對值最大的項． 易錯分析　本題易將二項式系數(shù)和系數(shù)混淆，利用賦值來求二項式系數(shù)的和導致錯誤；另外，也要注意項與項的系數(shù)，系數(shù)的絕對值與系數(shù)的區(qū)別． 規(guī)范解答 解　由題意知，22n－2n＝992， 即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.[2分] (1)由二項式系數(shù)的性質知， 10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大， 即C＝252.∴二項式系數(shù)最大的項為 T6＝C(2x)55＝－8 064.[6分] (2)設第r＋1項的系數(shù)的絕對值最大， ∴Tr＋1＝C(2x)10－rr ＝(－1)rC210－rx10－2r， ∴， 得，即， 解得≤r≤，[10分] ∵r∈Z，∴r＝3.故系數(shù)的絕對值最大的項是第4項， T4＝－C27x4＝－15 360x4.[12分] 溫馨提醒　(1)本題重點考查了二項式的通項公式，二項式系數(shù)、項的系數(shù)以及項數(shù)和項的有關概念． (2)解題時要注意區(qū)別二項式系數(shù)和項的系數(shù)的不同；項數(shù)和項的不同． (3)本題的易錯點是混淆項與項數(shù)，二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別. 方法與技巧 1． 二項展開式的通項Tk＋1＝Can－kbk是展開式的第k＋1項，這是解決二項式定理有關問題的基礎． 2． 求指定項或指定項的系數(shù)要根據(jù)通項公式討論對k的限制． 3． 性質1是組合數(shù)公式C＝C的再現(xiàn)，性質2是從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的單調(diào)性，性質3是利用賦值法得出的二項展開式中所有二項式系數(shù)的和． 4． 因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法． 5． 二項式定理的應用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系． 失誤與防范 1． 要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項系數(shù)和”嚴格地區(qū)別開來． 2． 求通項公式時常用到根式與冪指數(shù)的互化，易出錯． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx天津)在5的二項展開式中，x的系數(shù)為 (　　) A．10 B．－10 C．40 D．－40 答案　D 解析　因為Tr＋1＝C(2x2)5－rr ＝C25－rx10－2r(－1)rx－r＝C25－r(－1)rx10－3r， 所以10－3r＝1，所以r＝3， 所以x的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40. 2． (xx重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　(1＋3x)n的展開式中含x5的項為C(3x)5＝C35x5，展開式中含x6的項為C36x6，由兩項的系數(shù)相等得C35＝C36，解得n＝7. 3． 在n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是 (　　) A．－7 B．7 C．－28 D．28 答案　B 解析　只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式共9項，即n＝8， Tk＋1＝C8－kk＝C(－1)k8－kx8－k，當k＝6時為常數(shù)項，T7＝7. 4． (xx陜西)(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是 (　　) A．－20 B．－15 C．15 D．20 答案　C 解析　設展開式的常數(shù)項是第r＋1項，則Tr＋1＝C(4x)6－r(－2－x)r＝C(－1)r212x－2rx2－rx＝C(－1)r212x－3rx，∴12x－3rx＝0恒成立．∴r＝4， ∴T5＝C(－1)4＝15. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (xx浙江)若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________. 答案　10 解析　將f(x)＝x5進行轉化，利用二項式定理求解． f(x)＝x5＝(1＋x－1)5， 它的通項為Tr＋1＝C(1＋x)5－r(－1)r， T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10. 6． (xx大綱全國)(1－)20的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為________． 答案　0 解析　∵Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCx， ∴x與x9的系數(shù)分別為C與C. 又∵C＝C，∴C－C＝0. 7． (xx大綱全國)若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為________． 答案　56 解析　利用二項展開式的通項公式求解． 由題意知，C＝C，∴n＝8. ∴Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r， 當8－2r＝－2時，r＝5， ∴的系數(shù)為C＝C＝56. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)2， 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(①＋②)2， 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)方法一　∵(1－2x)7展開式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|， 即(1＋2x)7展開式中各項的系數(shù)和，令x＝1， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 9． (12分)已知n， (1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)； (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14， 當n＝7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423＝， T5的系數(shù)為C324＝70， 當n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8. ∴T8的系數(shù)為C727＝3 432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．設Tk＋1項的系數(shù)最大， ∵12＝12(1＋4x)12， ∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10. ∴展開式中系數(shù)最大的項為T11， T11＝C2210x10＝16 896x10. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx天津)在6的二項展開式中，x2的系數(shù)為 (　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　該二項展開式的通項為Tr＋1＝C6－rr＝(－1)rCx3－r.令3－r＝2，得r＝1. ∴T2＝－6x2＝－x2，∴應選C. 2． (xx湖北)設a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a的值為 (　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　D 解析　化51為52－1，用二項式定理展開． 512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011＋C(－1)2 012＋a. 因為52能被13整除， 所以只需C(－1)2 012＋a能被13整除， 即a＋1能被13整除，因為0≤a<13，所以a＝12. 3． (xx課標全國)(x＋)(2x－)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為 (　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案　D 解析　令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1. 因此(x＋)(2x－)5展開式中的常數(shù)項即為(2x－)5展開式中的系數(shù)與x的系數(shù)的和．(2x－)5展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)5－r(－1)rx－r＝C25－rx5－2r(－1)r. 令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此(2x－)5展開式中x的系數(shù)為C25－2(－1)2＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此(2x－)5展開式中的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40. 所以(x＋)(2x－)5展開式中的常數(shù)項為80－40＝40. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中，含x3的項的系數(shù)是________． 答案?。?21 解析　展開式中含x3項的系數(shù)為C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121. 5． 已知(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N*，且2≤n≤8，則n＝________. 答案　5 解析　n展開式中的通項為 Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r (r＝0,1,2，…，n)， 將n＝2,3,4,5,6,7,8逐個檢驗可知n＝5. 6． 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是________． 答案　1 解析　原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，因為前10項均能被88整除，故余數(shù)為1. 三、解答題 7． (13分)已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)為實常數(shù)． 求：(1)an的值；(2)nan的值． 解　(1)∵(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10， ∴令x＝0，則a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32； 令 x＝－1，則a0＝1，即an＝31. (2)∵(x2＋2x＋2)5＝[1＋(x＋1)2]5 ＝C15＋C(x＋1)2＋C(x＋1)4＋C(x＋1)6＋C(x＋1)8＋C(x＋1)10 ＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10， ∴a0＝C，a1＝a3＝a5＝a7＝a9＝0，a2＝C，a4＝C， a6＝C，a8＝C，a10＝C. ∴nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10 ＝2C＋4C＋6C＋8C＋10C ＝10C＋10C＋10C ＝50＋100＋10＝160.