2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 3.1 變化的快慢與變化率學(xué)業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 3.1 變化的快慢與變化率學(xué)業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．已知函數(shù)y＝f(x)＝sin x，當(dāng)x從變到時(shí)，函數(shù)值的改變量Δy＝(　　) A．－　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　Δy＝f－f＝sin－sin ＝1－＝. 【答案】　B 2．在曲線y＝x2＋1上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，2＋Δy)，則＝(　　) A．Δx＋ B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 【解析】　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2. 【答案】　C 3．函數(shù)f(x)＝－，在2到2＋Δx之間的平均變化率為(　　) A．－ B．－ C. D． 【解析】　＝＝. 【答案】　C 4．一塊木頭沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝t2，則t＝2時(shí)，此木頭在水平方向的瞬時(shí)速度為(　　) A．2 B．1 C. D． 【解析】　因?yàn)棣＝(2＋Δt)2－22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，當(dāng)Δt趨于0時(shí)，＋Δt趨于，因此t＝2時(shí)，木塊在水平方向瞬時(shí)速度為. 【答案】　C 5．水以恒速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，按順序與各容器對應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖像相對應(yīng)的一項(xiàng)是(　　) A．①②③④ B．②①③④ C．②①④③ D．②④①③ 【解析】　以第二個(gè)容器為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以恒速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快，反映在圖像上，①符合上述變化情況．而第三個(gè)容器在開始時(shí)高度增加快，后來時(shí)高度增加慢，圖像④適合上述變化情況．故應(yīng)選C. 【答案】　C 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝ln x＋1從e到e2的平均變化率為________． 【解析】　Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1， Δx＝e2－e， ∴＝. 【答案】　 7．質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝at＋1運(yùn)動(dòng)，若在t＝2時(shí)刻的瞬時(shí)速度為，則a的值為________． 【解析】　由＝a，得a＝. 【答案】　 8．質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2時(shí)的速度為________. 【解析】　＝＝ ＝－，當(dāng)Δt趨于0時(shí)，＝－. 【答案】?。? 三、解答題 9．如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t的位移函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3，當(dāng)t1＝4，且Δt＝0.01時(shí)，求： (1)Δy；(2). 【解】　(1)∵Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝(t1＋Δt)3＋3－(t＋3) ＝3tΔt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3. ∴當(dāng)t1＝4，Δt＝0.01時(shí)， Δy＝3420.01＋340.012＋0.013＝0.481 201. (2)∵＝ ＝3t＋3t1Δt＋(Δt)2. ∴當(dāng)t1＝4，Δt＝0.01時(shí)， ＝342＋340.01＋0.012＝48.120 1. 10．設(shè)某跳水運(yùn)動(dòng)員跳水時(shí)，相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為h(t)＝－5t2＋6t＋10. (1)求該運(yùn)動(dòng)員從時(shí)間t＝1到時(shí)間t＝3的平均速度； (2)求該運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間t＝1處的瞬時(shí)速度． 【解】　(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得該運(yùn)動(dòng)員從時(shí)間t＝1到時(shí)間t＝3的平均速度； ＝＝－14. 故該運(yùn)動(dòng)員從時(shí)間t＝1到時(shí)間t＝3的平均速度為－14 m/s； (2)∵＝ ＝ ＝ ＝－5Δt－4， ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于－4， 即該運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間t＝1處的瞬時(shí)速度為－4 m/s. [能力提升] 1．一物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s＝3t－t2，其中位移s單位為米，時(shí)間t的單位為秒，那么該物體的初速度為(　　) A．0米/秒 B．－2米/秒 C．3米/秒 D．3－2t米/秒 【解析】　物體的初速度就是t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度． ＝＝＝3－Δx. 當(dāng)Δx→0時(shí)，3－Δx→3，∴物體初速度為3米/秒． 【答案】　C 2．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，若函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率為0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 【解析】　Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x－6x0－1＝6x0Δx＋3(Δx)2＋6Δx， ∴＝6x0＋3Δx＋6，由題意，當(dāng)Δx→0時(shí)，→6x0＋6＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2. 【答案】　B 3．經(jīng)過研究，某個(gè)嬰兒從出生到第24個(gè)月的體重變化如圖311所示，那么該嬰兒體重的平均變化率哪一年較大？________.(填“第一年”或“第二年”) 圖311 【解析】　由題圖知，第一年該嬰兒體重的平均變化率是＝0.625；第二年該嬰兒體重的平均變 化率是＝0.25.因?yàn)?.625>0.25，所以第一年該嬰兒體重的平均變化率較大． 【答案】　第一年 4．路燈距地面8 m，一個(gè)身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上射影點(diǎn)C沿某直線離開路燈． (1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式； (2)求人離開路燈的第一個(gè)10 s內(nèi)身影的平均變化率． 【解】　(1)如圖所示，設(shè)人從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的路程為x m，AB為身影長度，AB的長度為y m， 由于CD∥BE，則＝， 即＝，所以y＝f(x)＝x. (2)84 m/min＝1.4 m/s，在[0,10]內(nèi)自變量的增量為 x2－x1＝1.410－1.40＝14， f(x2)－f(x1)＝14－0＝. 所以＝＝. 即人離開路燈的第一個(gè)10 s內(nèi)身影的平均變化率為.