2019年高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十九 8.5.1 橢圓的概念及其性質(zhì) 文.doc

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2019年高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十九 8.5.1 橢圓的概念及其性質(zhì) 文 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.橢圓x2+4y2=1的離心率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.因為橢圓方程化為x2+=1, 所以c==,離心率e==. 2.設P是橢圓+=1上的點.若F1,F2是橢圓的兩個焦點,則|PF1|+|PF2|等于 (　　) A.4 B.5 C.8 D.10 【解析】選D.由橢圓的第一定義知|PF1|+|PF2|=2a=10. 3.已知動點P(x,y)與兩點A1(-2,0),A2(2,0)的連線斜率之積為=-,則點P(x,y)的軌跡方程為 (　　) A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0) C.+y2=1(y≠0) D.+=1(y≠0) 【解析】選B.因為==-,整理得+=1.又因為點P不能在x軸上,所以y≠0. 【變式備選】若過橢圓的一個焦點作長軸的垂線,交橢圓于兩點P,Q,線段PQ的長度為2,橢圓的一個焦點是(2,0),則橢圓的標準方程是_________. 【解析】由題意可知,=2,c=2,又因為a2=b2+c2,解得a2=80,b2=20, 所求橢圓的標準方程為+=1. 答案:+=1 4.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.設長軸為2a,短軸為2b,焦距為2c, 則2a+2c=22b, 即a+c=2b?(a+c)2=4b2=4(a2-c2), 整理得:5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0?e=或e=-1(舍). 5.已知圓C1:x2+2cx+y2=0,圓C2:x2-2cx+y2=0,橢圓C:+=1(a>b>0),若圓C1,C2都在橢圓內(nèi)或橢圓上,則橢圓離心率的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.由于橢圓上點到焦點的距離最小值為a-c,所以圓C1,C2都在橢圓內(nèi)等價于2c≤a,所以0<≤.即橢圓離心率的取值范圍是. 【變式備選】已知橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F和點A,在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是 (　　) A. B. C.[-1,1) D. 【解析】選D.由題意,橢圓上存在點P,使得線段AP的垂直平分線過點F,即F點到P點與A點的距離相等,而|FA|=-c=,|PF|∈[a-c,a+c]. 于是∈[a-c,a+c]. 即ac-c2≤b2≤ac+c2, 所以 又e∈(0,1),故e∈. 6.若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則的最大值為 (　　) A.2 B.3 C.6 D.8 【解析】選C.由題意,F(-1,0),設點P(x0,y0), 則有+=1,解得=3, 因為=(x0+1,y0),=(x0,y0), 所以=x0(x0+1)+?=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為x0=-2,因為-2≤x0≤2,所以當x0=2時,取得最大值+2+3=6. 7.已知橢圓+=1(a>b>0)上的動點到焦點的距離的最小值為-1.以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切,則橢圓C的方程為 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 【解析】選C.由題意知a-c=-1,又b==1,由得a2=2,b2=1, 故c2=1,橢圓C的方程為+y2=1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.若橢圓的方程為+=1,且此橢圓的焦距為4,則實數(shù)a=________. 【解析】由題可知c=2.①當焦點在x軸上時,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②當焦點在y軸上時,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故實數(shù)a=4或8. 答案:4或8 【變式備選】已知F1,F2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓C上一點,且⊥.若△PF1F2的面積為9,則b=________. 【解析】因為⊥,所以∠F1PF2=90, 所以△F1PF2為直角三角形. 所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2. 又因為|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|, 即(2c)2=(2a)2-4|PF1||PF2|, =|PF1||PF2|=9. 所以4c2=4a2-49=0, 所以4b2=49.所以b=3. 答案:3 9.橢圓的中心在坐標原點O,右頂點A2,上頂點B2,下頂點B1,左右焦點分別為F1, F2(直線B1F2與直線A2B2交于P點),若∠B1PA2為鈍角,則此橢圓的離心率的取值范圍為________. 【解析】設橢圓的方程為+=1(a>b>0),∠B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為,所夾的角為鈍角,則(a,-b)(-c,-b)<0,即b20,即e2+e-1>0,e>或e<,又0b>0)的右焦點,直線y=與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90,則該橢圓的離心率等于________. 【解析】將y=代入橢圓的標準方程,得+=1, 所以x=a,故B,C. 又因為F(c,0), 所以=, =. 因為∠BFC=90,所以=0, 所以+=0, 即c2-a2+b2=0,將b2=a2-c2代入并化簡,得a2=c2,所以e2==, 所以e=(負值舍去). 答案: 1.(5分)橢圓C:+=1的左、右頂點分別為A1,A2,點P在橢圓C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.利用直線PA2斜率的取值范圍確定點P變化范圍的邊界點,再利用斜率公式計算直線PA1斜率的邊界值.由題意可得A1(-2,0),A2(2,0),當PA2的斜率為-2時,直線PA2的方程為y=-2(x-2),代入橢圓方程,消去y化簡得19x2-64x +52=0,解得x=2或x=.由點P在橢圓上得點P,此時直線PA1的斜率k=.同理,當直線PA2的斜率為-1時,直線PA2方程為y=-(x-2),代入橢圓方程,消去y化簡得7x2-16x+4=0,解得x=2或x=.由點P在橢圓上得點P,此時直線PA1的斜率k=.數(shù)形結(jié)合可知,直線PA1斜率的取值范圍是. 【巧思妙解】選B.利用結(jié)論“橢圓上任意點P與長軸端點A1,A2的連線斜率的乘積為定值,即=-”因為=-,∈,所以∈. 2.(5分)設P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是 (　　) A.5 B.+ C.7+ D.6 【解析】選D.設圓心為M(0,6),Q(x,y), 則= ==,因為-1≤y≤1,所以≤5,當且僅當y=-時取等號.所以P,Q兩點間的最大距離是5+=6. 3.(5分)已知橢圓的焦點在x軸上,一個頂點為A(0,-1),其右焦點到直線x-y+2=0的距離為3,則橢圓的方程為____________. 【解析】據(jù)題意知b=1,故可設橢圓方程為+y2=1.設右焦點為(c,0)(c>0),它到已知直線的距離為=3,解得c=,所以a2=b2+c2=3,故橢圓的方程為+ y2=1. 答案:+y2=1 4.(12分)已知橢圓+=1內(nèi)有兩點A(1,3),B(3,0),P為橢圓上一點,求|PA|+|PB|的最大值和最小值. 【解析】如圖,橢圓的右焦點為B,設橢圓的左焦點為D,因為|PA|+|PB|=|PA|+2a-|PD|≤2a+|AD|=25+5=15,所以所求的最大值是15. 此時點P在F點處, 又-≥-, 所以+≥2a-=25-5=5, 此時點P在E點處. 綜上所述:所求最大值為15,最小值為5. 【變式備選】已知橢圓+=1的左右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,則||+||的最大值為________. 【解析】由橢圓的定義可知||+|| =4a-≤4a-=43-=8. 答案:8 5.(13分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F1,F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連接F1C. (1)若點C的坐標為,且BF2=,求橢圓的方程. (2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值. 【解析】(1)因為C,所以+=1. 因為B=b2+c2=a2,所以a2==2, 所以b2=1,所以橢圓方程為+y2=1. (2)設焦點F1(-c,0),F2(c,0),C(x,y), 因為A,C關(guān)于x軸對稱,所以A(x,-y), 因為B,F2,A三點共線, 所以=,即bx-cy-bc=0①, 因為F1C⊥AB,所以=-1, 即xc-by+c2=0②, ①②聯(lián)立方程組,解得 所以C 因為C在橢圓上,所以+=1, 化簡得5c2=a2,所以=,故離心率為.