2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 四十九 8.5.1 橢圓的概念及其性質(zhì) 文.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 四十九 8.5.1 橢圓的概念及其性質(zhì) 文一、選擇題(每小題5分,共35分)1.橢圓x2+4y2=1的離心率為()A.B.C.D.【解析】選A.因?yàn)闄E圓方程化為x2+=1,所以c=,離心率e=.2.設(shè)P是橢圓+=1上的點(diǎn).若F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10【解析】選D.由橢圓的第一定義知|PF1|+|PF2|=2a=10.3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)與兩點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0)的連線斜率之積為=-,則點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為()A.+=1(y0)B.+=1(y0)C.+y2=1(y0)D.+=1(y0)【解析】選B.因?yàn)?-,整理得+=1.又因?yàn)辄c(diǎn)P不能在x軸上,所以y0.【變式備選】若過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作長軸的垂線,交橢圓于兩點(diǎn)P,Q,線段PQ的長度為2,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.【解析】由題意可知,=2,c=2,又因?yàn)閍2=b2+c2,解得a2=80,b2=20,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.答案:+=14.若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是()A.B.C.D.【解析】選B.設(shè)長軸為2a,短軸為2b,焦距為2c,則2a+2c=22b,即a+c=2b(a+c)2=4b2=4(a2-c2),整理得:5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0e=或e=-1(舍).5.已知圓C1:x2+2cx+y2=0,圓C2:x2-2cx+y2=0,橢圓C:+=1(ab0),若圓C1,C2都在橢圓內(nèi)或橢圓上,則橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選B.由于橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值為a-c,所以圓C1,C2都在橢圓內(nèi)等價(jià)于2ca,所以0b0)的右焦點(diǎn)F和點(diǎn)A,在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F,則橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.-1,1)D.【解析】選D.由題意,橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F,即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等,而|FA|=-c=,|PF|a-c,a+c.于是a-c,a+c.即ac-c2b2ac+c2,所以又e(0,1),故e.6.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為 ()A.2B.3C.6D.8【解析】選C.由題意,F(-1,0),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則有+=1,解得=3,因?yàn)?(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0=-2,因?yàn)?2x02,所以當(dāng)x0=2時(shí),取得最大值+2+3=6.7.已知橢圓+=1(ab0)上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為-1.以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切,則橢圓C的方程為()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1【解析】選C.由題意知a-c=-1,又b=1,由得a2=2,b2=1,故c2=1,橢圓C的方程為+y2=1.二、填空題(每小題5分,共15分)8.若橢圓的方程為+=1,且此橢圓的焦距為4,則實(shí)數(shù)a=_.【解析】由題可知c=2.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),10-a-(a-2)=22,解得a=4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),a-2-(10-a)=22,解得a=8.故實(shí)數(shù)a=4或8.答案:4或8【變式備選】已知F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且.若PF1F2的面積為9,則b=_.【解析】因?yàn)?所以F1PF2=90,所以F1PF2為直角三角形.所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4|PF1|PF2|,=|PF1|PF2|=9.所以4c2=4a2-49=0,所以4b2=49.所以b=3.答案:39.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,右頂點(diǎn)A2,上頂點(diǎn)B2,下頂點(diǎn)B1,左右焦點(diǎn)分別為F1, F2(直線B1F2與直線A2B2交于P點(diǎn)),若B1PA2為鈍角,則此橢圓的離心率的取值范圍為_.【解析】設(shè)橢圓的方程為+=1(ab0),B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為,所夾的角為鈍角,則(a,-b)(-c,-b)0,即b2ac,則a2-c20,即e2+e-10,e或e,又0e1,所以eb0)的右焦點(diǎn),直線y=與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且BFC=90,則該橢圓的離心率等于_.【解析】將y=代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,得+=1,所以x=a,故B,C.又因?yàn)镕(c,0),所以=,=.因?yàn)锽FC=90,所以=0,所以+=0,即c2-a2+b2=0,將b2=a2-c2代入并化簡,得a2=c2,所以e2=,所以e=(負(fù)值舍去).答案:1.(5分)橢圓C:+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P在橢圓C上且直線PA2斜率的取值范圍是-2,-1,那么直線PA1斜率的取值范圍是 ()A.B.C.D.【解析】選B.利用直線PA2斜率的取值范圍確定點(diǎn)P變化范圍的邊界點(diǎn),再利用斜率公式計(jì)算直線PA1斜率的邊界值.由題意可得A1(-2,0),A2(2,0),當(dāng)PA2的斜率為-2時(shí),直線PA2的方程為y=-2(x-2),代入橢圓方程,消去y化簡得19x2-64x +52=0,解得x=2或x=.由點(diǎn)P在橢圓上得點(diǎn)P,此時(shí)直線PA1的斜率k=.同理,當(dāng)直線PA2的斜率為-1時(shí),直線PA2方程為y=-(x-2),代入橢圓方程,消去y化簡得7x2-16x+4=0,解得x=2或x=.由點(diǎn)P在橢圓上得點(diǎn)P,此時(shí)直線PA1的斜率k=.數(shù)形結(jié)合可知,直線PA1斜率的取值范圍是.【巧思妙解】選B.利用結(jié)論“橢圓上任意點(diǎn)P與長軸端點(diǎn)A1,A2的連線斜率的乘積為定值,即=-”因?yàn)?-,所以.2.(5分)設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A.5B.+C.7+D.6【解析】選D.設(shè)圓心為M(0,6),Q(x,y),則=,因?yàn)?1y1,所以5,當(dāng)且僅當(dāng)y=-時(shí)取等號(hào).所以P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是5+=6.3.(5分)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),其右焦點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離為3,則橢圓的方程為_.【解析】據(jù)題意知b=1,故可設(shè)橢圓方程為+y2=1.設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)(c0),它到已知直線的距離為=3,解得c=,所以a2=b2+c2=3,故橢圓的方程為+ y2=1.答案:+y2=14.(12分)已知橢圓+=1內(nèi)有兩點(diǎn)A(1,3),B(3,0),P為橢圓上一點(diǎn),求|PA|+|PB|的最大值和最小值.【解析】如圖,橢圓的右焦點(diǎn)為B,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為D,因?yàn)閨PA|+|PB|=|PA|+2a-|PD|2a+|AD|=25+5=15,所以所求的最大值是15.此時(shí)點(diǎn)P在F點(diǎn)處,又-,所以+2a-=25-5=5,此時(shí)點(diǎn)P在E點(diǎn)處.綜上所述:所求最大值為15,最小值為5.【變式備選】已知橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),則|+|的最大值為_.【解析】由橢圓的定義可知|+|=4a-4a-=43-=8.答案:85.(13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F1,F2分別是橢圓+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連接F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且BF2=,求橢圓的方程.(2)若F1CAB,求橢圓離心率e的值.【解析】(1)因?yàn)镃,所以+=1.因?yàn)锽=b2+c2=a2,所以a2=2,所以b2=1,所以橢圓方程為+y2=1.(2)設(shè)焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0),C(x,y),因?yàn)锳,C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以A(x,-y),因?yàn)锽,F2,A三點(diǎn)共線,所以=,即bx-cy-bc=0,因?yàn)镕1CAB,所以=-1,即xc-by+c2=0,聯(lián)立方程組,解得所以C因?yàn)镃在橢圓上,所以+=1,化簡得5c2=a2,所以=,故離心率為.