2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《圓錐曲線》學(xué)案 蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章圓錐曲線學(xué)案 蘇教版選修2-1圓錐曲線第 第一 二定 定義 義標準方程的關(guān)系橢圓性質(zhì)對稱性焦點頂點離心率準線焦半徑直線與橢圓的位置關(guān)系相交相切相離第 第一 二定 定義 義標準方程的關(guān)系雙曲線性質(zhì)對稱性焦點頂點離心率準線焦半徑直線與雙曲線的位置關(guān)系相交相切相離漸近線拋物線 定義 標準方程性質(zhì)對稱性焦點頂點離心率準線焦半徑直線與拋物線的位置關(guān)系相交相切相離【知識網(wǎng)絡(luò)】 31 橢圓【考點透視】一、考綱指要1熟練掌握橢圓的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)及參數(shù)方程2考查橢圓的離心率，直線的方程，平面向量的坐標表示，方程思想等數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力.二、命題落點圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題：考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；求曲線方程和軌跡；關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，主要考查直線方程,平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題以及推理能力.【典例精析】例1：已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值解析:（1）設(shè)橢圓方程為,則直線AB的方程代入,化簡得令,則由與共線,得,又，即,所以 ，故離心率（2）由（）知,所以橢圓可化為設(shè),由已知得， 在橢圓上,，即 由（1）知， 又代入，得故為定值,定值為1 例2：如圖，點、分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，（1）求點P的坐標；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值解析:（1）由已知可得點A（6，0），F(xiàn)（4，0）設(shè)點P的坐標是，由已知得由于（2）直線AP的方程是設(shè)點M的坐標是（m，0），則M到直線AP的距離是，于是橢圓上的點到點M的距離d，有由于例3：已知方向向量為的直線l過點（）和橢圓的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.（1）求橢圓C的方程；OE（2）是否存在過點E（2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cotMON0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由. 解析:（1）直線， 過原點垂直的直線方程為， 解得橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，直線過橢圓焦點，該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （2）設(shè)M（），N（）.當直線m不垂直軸時，直線代入，整理得OEMNOEMN點O到直線MN的距離即 即整理得當直線m垂直x軸時，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或【常見誤區(qū)】解析幾何問題，基本上都與方程思想相結(jié)合，因而要注意直線方程與曲線方程聯(lián)立起來，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有關(guān)方法的練習(xí)、歸納，要注意運算的優(yōu)化，要注意利用數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含性質(zhì),這也是考生思維的一個障礙點.【基礎(chǔ)演練】1若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則m=（ ）ABCD2設(shè)的最小值是（ ）ABC3D3設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A BC D4點在橢圓的左準線上，過點P且方向為的光線經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為（ ）A BC D5已知是圓為圓心）上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為 .6如圖所示, 底面直徑為的圓柱被與底面成的平面所截，其截口是一個橢圓，則這個橢圓的長軸長 ，短軸長 ，離心率為 7 yxOP已知橢圓的左、右焦點分別是、，是橢圓外的動點，滿足，點是線段與該橢圓的交點，點在線段上，并且滿足 （1）設(shè)為點的橫坐標，證明 ；（2）求點的軌跡的方程；（3）試問：在點的軌跡上，是否存在點，使的面積若存在，求的正切值；若不存在，請說明理由8已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè). （1）證明：1e2； （2）若，PF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程； （3）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形.9設(shè)A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （1）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（2）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.32 雙曲線【考點透視】一、考綱指要熟練掌握雙曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)二、命題落點1考查了圓錐曲線中雙曲線的漸近線方程與準線方程，以及標準方程中a,b,c之間的關(guān)系,兩漸近線間的夾角的求法，如例1. 2雙曲線的第一、第二定義在解題中的靈活運用,如例2;3考查等邊三角形的性質(zhì)，焦點三角形公式及離心率公式，靈活運用焦點三角形公式避免了繁瑣的運算，突出觀察研究能力的考查，如例3.【典例精析】例1：已知雙曲線1（a0，b0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角（ ）A30B45C60D90解析:雙曲線的右焦點F(c,0)，右準線方程為x=,一條漸近線方程為y=x，可得點A的坐標（，），OAF的面積SOAF=OFYA=c=ab,又題意已知SOAF=a2,所以a=b,兩條漸近線間的夾角為900 . 答案： D例2：已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（）AB C D解析: 設(shè)M到x軸的距離為h，又，由雙曲線定義得，再由，.答案： C 例3：已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是( )ABCD解析:令，邊MF1交雙曲線于點N，連結(jié)N易知答案： D 例4.設(shè)雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率.解析:如圖所示，且，,在中，將代入式化簡得： 答案: 【常見誤區(qū)】1對雙曲線離心率、雙曲線漸近線等基本知識考察時, 應(yīng)想法利用已知曲線構(gòu)造等式,從而解出的比值,即雙曲線的離心率.這一點考生常不能注意到,致使離心率求解出錯,如例3、例4.2解題過程中,特別是客觀題中,應(yīng)注意雙曲線第一第二定義的應(yīng)用,此問題考生常會忽視,如例1、例2.【基礎(chǔ)演練】1已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于（ ）AB C2D 42設(shè)雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為（ ）ABCD3平面內(nèi)有兩個定點和一動點，設(shè)命題甲，是定值，命題乙：點的軌跡是雙曲線，則命題甲是命題乙的（ ）A充分但不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為，則應(yīng)滿足的關(guān)系是（ ）AB C D5過雙曲線(a0，b0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_6以下幾個關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，則動點P的軌跡為雙曲線；設(shè)定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線與橢圓有相同的焦點.其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）7已知雙曲線的左右焦點分別為，左準線為，能否在雙曲線的左支上求一點，使是到的距離與的等比中項？若能，求出的坐標，若不能，說明理由8過雙曲線的右焦點作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線，垂足為， 與雙曲線的左、右支的交點分別為 （1）求證：在雙曲線的右準線上；（2）求雙曲線離心率的取值范圍9是否同時存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由 （1）漸近線方程為， （2）點到雙曲線上動點的距離最小值為33 拋物線【考點透視】一、考綱指要掌握拋物線的定義、標準方程和簡單的幾何性質(zhì)二、命題落點1考察拋物線過焦點的性質(zhì),如例1;2拋物線上張直角問題的探究, 考察拋物線上互相垂直的弦的應(yīng)用，如例2;3定值及定點問題是解幾問題研究的重點內(nèi)容,此類問題在各類考試中是一個熱點，如例3.【典例精析】例1：設(shè)兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線，（1）當且僅當取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；（2）當直線的斜率為2時，求在y軸上截距的取值范圍. 解析:（1）拋物線，即， 焦點為（i）直線的斜率不存在時，顯然有=0;（ii）直線的斜率存在時，設(shè)為k，截距為b, 即直線：y=kx+B由已知得：即的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點所以當且僅當=0時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F（2）設(shè)在y軸上截距為b， 即直線：y=2x+b，AB：由得，且，所以在y軸上截距的取值范圍為 例2： xyOAB在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足（如圖所示）（1）求得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（2）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由解析:（1）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，依題意得， ，即 ， 由得，設(shè)直線的方程為可化為 ， ， 設(shè)的重心G為，則 ， ，由得 ，即，這就是的重心的軌跡方程（2）由弦長公式得把代入上式，得 ，設(shè)點到直線的距離為，則， ， 當，有最小值，的面積存在最小值，最小值是 例3： M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB （1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動點，且EMF=90，求EMF的重心G的軌跡方程.解析：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(k0)，則直線MF的斜率為k，方程為由，消，解得，(定值)所以直線EF的斜率為定值（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x, y），則有消去參數(shù)得【常見誤區(qū)】1運算正確率太低, 這是考生在解解析幾何問題中常出現(xiàn)的問題, 即會而不對.2拋物線中的焦點坐標與準線方程求解過程中常誤求出二倍關(guān)系;3定點與定值問題總體思路不能定位,引入?yún)⒆兞窟^多,沒有求簡意識,使問題復(fù)雜化.【基礎(chǔ)演練】1雙曲線的離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為（）ABCD2已知雙曲線的中心在原點，離心率為若它的一條準線與拋物線 的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是（ ）ABCD213已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD4拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（ ）AB CD05過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 條.6連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是 （填寫所有正確選項的序號）.菱形有3條邊相等的四邊形梯形平行四邊形有一組對角相等的四邊形7拋物線以軸為準線，且過點，證明：不論點在坐標平面內(nèi)的位置如何變化，拋物線頂點的軌跡的離心率是定值8. 已知拋物線，過動點且斜率為的直線與該拋物線交于不同兩點，（1）求取值范圍； （2）若線段垂直平分線交軸于點，求面積的最大值9已知動圓過定點P(1,0),且與定直線相切,點C在l上. （1）求動圓圓心的軌跡M的方程； （2）設(shè)過點P,且斜率為的直線與曲線M相交于A,B兩點. (i)問：ABC能否為正三角形？若能,求點C的坐標；若不能,說明理由； (ii)當ABC為鈍角三角形時,求這種點C的縱坐標的取值范圍.34直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【考點透視】一、考綱指要1掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題；2會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個變量，將交點問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系及判別式解決問題;3能利用弦長公式解決直線與圓錐曲線相交所得的弦長的有關(guān)問題，會運用圓錐曲線的第二定義求焦點弦長；4體會“設(shè)而不求”、“方程思想”和“待定系數(shù)”等方法.二、命題落點1考查直線與橢圓相切、直線方程、直線到直線的距離等知識，如例1;2考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系.處理直線與曲線的位置關(guān)系的一般方法是方程思想:由直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組,通過判別式確定解的個數(shù)(交點個數(shù)),而直線與圓可以用圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系進行判定,如例2;3考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程，兩條直線的夾角、點的坐標等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，如例3.【典例精析】例1：設(shè)直線關(guān)于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數(shù)為（）A1 B2 C3 D4 解析:如右圖,根據(jù)題意易得與關(guān)系O對稱設(shè)過圓上一點且平行與的直線方程為聯(lián)立得：若與橢圓相切則可求得：即,到的最小距離為到的最大距離為，（為P到AB的距離），由式可知滿足條件的點有兩個.答案: B 例2：若直線mx+ ny-3=0與圓x2+y2=3沒有公共點,則m,n滿足的關(guān)系式為_;以(m,n)為點P的坐標,過點P的一條直線與橢圓的公共點有_個.解析: 直線mx+ny-3=0與圓x2+y2=3沒有公共點,解得0m2+n23.,即點P(m,n)在橢圓內(nèi)部,故過P的直線必與橢圓有兩個交點.答案: 0m2+n23,2.例3.已知動圓過定點，且與直線相切，其中.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且=時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標. 解析：（1）如圖，設(shè)為動圓圓心，記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線軌跡方程為；（2）如圖，設(shè)，由題意得又直線OA、OB的傾斜角、滿足+=，故0，0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B （1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍; （2）設(shè)直線l與y軸的交點為P,且求a的值.8已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為 （1）求雙曲線C的方程； （2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）. 求k的取值范圍.9設(shè)橢圓的兩個焦點是F1(-c,0)與F2(c,0)(c0),且橢圓上存在點P,使得直線PF1與直線PF2垂直. （1）求實數(shù)m的取值范圍； （2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點F2的準線,直線PF2與L相交于點Q.若,求直線PF2的方程.35 軌跡方程的求法【考點透視】一、考綱指要1掌握求軌跡方程的兩種基本方法直接法和定義法；2掌握直接法求軌跡方程的基本步驟;3掌握求軌跡方程的另幾種方法相關(guān)點法（代入法）、參數(shù)法（交軌法）；4學(xué)會用適當?shù)膮?shù)去表示動點的軌跡，掌握常見的消參法二、命題落點1運用向量坐標運算考察軌跡方程的求解，如例1;2考查橢圓與拋物線的基礎(chǔ)知識,即標準方程與圖形的基本關(guān)系,同時,考查代數(shù)式的恒等變形及簡單的邏輯推理能力,如例2;3考查圓錐曲線的概念、方程與性質(zhì),以及向量、定比分點坐標公式的應(yīng)用,考查考生的推理能力和運算能力.如例3求直線l的斜率,要充分利用條件“”實施幾何特征向數(shù)量 關(guān)系的轉(zhuǎn)化：首先向量特征可轉(zhuǎn)化為定比分點坐標問題,但要注意內(nèi)、外分點兩種情形的討論；其次設(shè)直線斜率為k,用k、m表示出Q點的坐標；最后由Q點在橢圓上,列方程即可求解.【典例精析】例1：已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足,則點P的軌跡是（ ）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析 =(x+2,y),=(x-3,y),=(x+2)(x-3)+y2=x2,化簡,得y2=x+6.答案：D例2：在同一坐標系中,方程與的曲線大致是（ ）ABCD 解析:將方程與轉(zhuǎn)化為標準方程：,因為,因此,所以有：橢圓的焦點在y軸,拋物線的開口向左,得D選項答案: D例3：已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是F(-m,0)(m是大于0的常數(shù)).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)Q是橢圓上的一點,且過點F、Q的直線與y軸交于點M.若,求直線的斜率.解析：(1)設(shè)所求橢圓方程為(ab0).由已知條件,得c=m, ,所以a=2m, b=m,故所求橢圓方程是. （2）設(shè)Q(x0,y0),直線l:y=k(x+m),則點M(0,km).當時,由于F(-m,0),M(0,km),由定比分點坐標公式,得x0=, y0=. 又點Q在橢圓上,解得 k=2.當時,x0=, y0=.于是 ,解得 k=0.故直線l的斜率是0或2.【常見誤區(qū)】1曲線的定義是定義法求軌跡方程的關(guān)鍵, 但考生在解題中常忽略定義法求軌跡,致使簡易的軌跡方程求法變得復(fù)雜;2軌跡與軌跡方程是不同的概念, 求軌跡時需要將軌跡的方程及具體形狀焦點等位置關(guān)系說清楚,軌跡方程則需要注明一些帶有限制條件的點,或方程求解過程中忽略的一些軌跡,這一點要切記.【基礎(chǔ)演練】1到兩個坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（ ）Ax-y=0Bx+y=0C|x|-y=0D|x|-|y|=02已知橢圓的中心在原點,離心率e=,且它的一個焦點與拋物線y2=-4x的焦點重合,則此橢圓方程為（ ）A B C D 3曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是（ ）Ay2=8-4x By2=4x-8 Cy2=16-4x Dy2=4x-164已知橢圓的焦點是F1,F2,P是橢圓上的一個動點,如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡是（ ）A圓B橢圓 C雙曲線的一支D拋物線5在直角坐標系中,到兩個坐標軸的距離之和為定值1的點的軌跡是 .6設(shè)雙曲線 (a,b0)兩焦點為F1、F2,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過焦點F1作F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則P點軌跡是 .7已知點A(2,8), B(x1,y1),C(x2,y2)在拋物線y2=2px上,ABC的重心與此拋物線的焦點F重合(如圖) （1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標; （2）求線段BC中點M的坐標; （3）求BC所在直線的方程.8設(shè)橢圓方程為,過點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B,O是坐標原點,點P滿足,點N的坐標為,當l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求： （1）動點P的軌跡方程； （2）的最小值與最大值.9設(shè)是一常數(shù),過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B,以線段AB為直徑作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程.36 圓錐曲線的應(yīng)用【考點透視】一、考綱指要1會按條件建立目標函數(shù)研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題，注意運用“數(shù)形結(jié)合”、“幾何法”求某些量的最值2進一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問題的方法二、命題落點1考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應(yīng)用,修建公路費用問題轉(zhuǎn)化為距離最值問題數(shù)學(xué)模型求解，如例1; 2考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，如例2;3考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力，如例3.BAQPCM東北【典例精析】例1：如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算,從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費用最低是（ ）A(2-2)a萬元B5a萬元 BAQPCM東北EGHDC (2+1)a萬元 D(2+3)a萬元解析:設(shè)總費用為y萬元,則y=aMB+2aMC河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.,曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點,且a=1,c=2.過M作雙曲線的焦點B對應(yīng)的準線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得=e,即MB=2MDy= a2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)2aCE.(其中CE是點C到準線l的垂線段).CE=GB+BH=(c-)+BCcos600=(2-)+2=. y5a(萬元).答案:B例2：如圖,過拋物線y2=2px(p0)上一定點P(x0,y0)(y00),作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1),B(x2，y2).（1）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離;（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解析:()當y=時,x=. 又拋物線y2=2px的準線方程為x=-,由拋物線定義得,所求距離為. （2）設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,故.同理可得,由PA、PB傾斜角互補知 , 即,所以, 故.設(shè)直線AB的斜率為kAB, 由,相減得, 所以.將代入得,所以kAB是非零常數(shù).例3：某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響,正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點均在同一平面上)xyOCPAABN解析：如圖,以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向,建立直角坐標系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點,則A(1020,0),B(1020,0),C(0,1020).設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點,由A、C同時聽到巨響聲,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲,故|PB|PA|=3404=1360.由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上,依題意得a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402,故雙曲線方程為.用y=x代入上式,得x=680,|PB|PA|,x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心680 m處.【常見誤區(qū)】1圓錐曲線實際應(yīng)用問題多帶有一定的實際生活背景, 考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難, 回到定義去, 將實際問題與之相互聯(lián)系,靈活轉(zhuǎn)化是解決此類難題的關(guān)鍵;2圓錐曲線的定點、定量、定值等問題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質(zhì), 考生往往只能浮于表面分析問題,而不能總結(jié)出其實質(zhì)性的結(jié)論,致使問題研究徘徊不前,此類問題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證.【基礎(chǔ)演練】1若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（ ）ABCD22設(shè),則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ）AB C D3一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它 的方程是x22y,y0,10 在杯內(nèi)放入一個清潔球,要求清潔球能擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為（ ）A B1CD24在橢圓上有一點P,F1、F2是橢圓的左右焦點,F1PF2為直角三角形,則這樣的點P有（ ）A2個B4個C6個D8個5設(shè)F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .6教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .7已知雙曲線的中心在原點, 右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上, 點M(m,0)到直線AP的距離為1, （1）若直線AP的斜率為k,且|k|, 求實數(shù)m的取值范圍； （2）當m=+1時,APQ的內(nèi)心恰好是點M,求此雙曲線的方程.8如圖, 直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點. （1）求點Q的坐標； （2）當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B) 的動點時, 求OPQ面積的最大值.9 2003年10月15日9時,“神舟”五號載人飛船發(fā)射升空,于9時9分50秒準確進入預(yù)定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓.選取坐標系如圖所示,橢圓中心在原點.近地點A距地面200km,遠地點B距地面350km.已知地球半徑R6371km. （1）求飛船飛行的橢圓軌道的方程; （2）飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時59分返回艙與推進艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問飛船巡天飛行的平均速度是多少km/s？(結(jié)果精確到1km/s)(注:km/s即千米/秒)本章測試題一、選擇題（每小題5分，共60分）1如果三點在同一條直線上，那么的值是（）A6B7C8D92有5輛6噸的汽車和4輛4噸的汽車，要運送最多貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標 函數(shù)是（）A BC D3曲線與曲線一定有（）A相等的長軸 B相等的焦距C相等的離心率D相同的準線4將直線繞著它與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)的角后，在軸上的截距是（）ABCD 5在同一坐標系中，方程的曲線大致是（ ）6雙曲線的漸近線為,且過點,則此雙曲線的共軛雙曲線的方程為（ ）A BCD7已知直線相切，則三條邊長分別為的三角形 （） A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D不存在8一動圓圓心在拋物線上,且動圓恒與直線相切,則動圓必過定點（ ）A B CD 9翰林匯已知,直線：，直線：，與的位置關(guān)系是（）A平行B垂直C重合D相交但不垂直 10橢圓的兩個焦點三等分它的兩條準線間的距離，那么它的離心率是（） A B C D11已知拋物線的焦點弦的兩端點為,則式子的值一定等于（）AB CD 12已知雙曲線中心在原點且一個焦點為直線與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為則此雙曲線的方程是（）A BCD二、填空題（每小題4分，共16分）13拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線 上，則此拋物線方程為_.14如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則的值是 .15若直線沿軸負方向平移3個單位，再沿軸正方向平移一個單位后，又回到原來的位置，那么直線的斜率為.16給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)._.三、解答題（本題共74分）17（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點為和，直線是橢圓的一條準線.（1）求橢圓的方程；（2）又設(shè)在此橢圓上，且，求的值.18（本小題滿分12分）已知圓，（1）若為圓上任一點，求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值.19（本小題滿分12分）已知點、，為坐標原點.（1）若點在線段上，且，求的面積；（2）若原點關(guān)于直線的對稱點為，延長到，且.已知直線：經(jīng)過點，求直線的傾斜角.20（本小題滿分12分）如圖，為拋物線的焦點，為拋物線內(nèi)一定點，為拋物線上一動點，且的最小值為8. （1）求該拋物線方程； P（2）如果過的直線交拋物線于、兩點， A且，求直線傾斜角的取值范圍. O F 21（本題滿分1分）如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀. （1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計的拱 寬是多少？ （2）若最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè) 計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最??？（半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.）22（本題滿分14分）在以為原點的直角坐標系中，點為的直角頂點.已知，且點的縱坐標大于零. （1）求向量的坐標；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程；（3）是否存在實數(shù)，使拋物線上總有關(guān)于直線對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求的取值范圍.參考答案31 橢圓1. B 2. C 3. D 4. A 5. 6. 7. yxOP（1）設(shè)點P的坐標為由P在橢圓上，得由，所以 （2）設(shè)點T的坐標為 當時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是 （3）C上存在點M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M.當時，記，由知 ，所以 8. （1）因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別. 所以點M的坐標是（）. 由即（2）當時，所以 由MF1F2的周長為6，得所以 橢圓方程為（3） 因為PF1l，所以PF1F2=90+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點F1到l的距離為d，由得 所以即當PF1F2為等腰三角形.9. （1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)的兩個不同的根， 是線段AB的中點，得解得k=-1，代入得，12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為（2）代入橢圓方程，整理得 的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程 同理可得 假設(shè)在12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上.32 雙曲線1.C 2. C 3. B 4. D 5. 2 6. 7. 雙曲線中，設(shè)滿足條件，則，得，與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾不存在滿足條件的點8. 雙曲線在第一、第三象限的漸近線方程為： 設(shè)方程為在上，方程為 ，聯(lián)立得，即在雙曲線的右準線上（2）由，得，與雙曲線的左、右支的交點分別為， ，9. 由雙曲線漸近線方程設(shè)雙曲線方程為，設(shè)，當時，有，當時，有，當時，當時，無解，當時，所求雙曲線方程為33 拋物線1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且僅有兩條 6. 7. 設(shè)拋物線的焦點的坐標為，根據(jù)拋物線的定義可知，點到點的距離等于點到軸的距離，則又設(shè)拋物線頂點的坐標為，為線段的中點，則,代入得，即拋物線的頂點的軌跡方程為：，拋物線頂點的軌跡是橢圓，其中長半軸長為，短半軸長為，則半焦距，所以它的離心率為定值.8. （1）由題知的方程為，設(shè)，由，得，得，得，取值范圍（2）的中點，線段垂直平分線方程：，當時面積的最大值9. (1)依題意,曲線M是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線,所以曲線M的方程為.(2)(i)由題意得,直線AB的方程為消y得所以A點坐標為,B點坐標為(3,),假設(shè)存在點C(1,y),使ABC為正三角形,則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即 由得 但不符合,所以由,組成的方程組無解.因此,直線l上不存在點C,使得ABC是正三角形.(ii)設(shè)C(1,y)使ABC成鈍角三角形,由,即當點C的坐標為(1,)時,A,B,C三點共線,故.又, , .當,即,即為鈍角. 當,即,即為鈍角.又 ,即 ,即 . 該不等式無解,所以ACB不可能為鈍角. 因此,當ABC為鈍角三角形時,點C的縱坐標y的取值范圍是.34 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1. C 2. C 3. B 4. A 5. (-,-) 6. -1,37. (1)由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 雙曲線的離心率（2）設(shè)由于x1，x2都是方程的根，且1-a20,8. （1）設(shè)雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（2）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即 設(shè)，則而于是 由、得 故k的取值范圍為9. (1)由題設(shè)有m0,c=.設(shè)點P的坐標為(x0,y0),由PF1PF2,得 化簡得 x02+y02=m. ; 將與聯(lián)立,解得由 所以m的取值范圍是m1.(2)準線L的方程為設(shè)點Q的坐標為(x1,y1),則 將 代入,化簡得由題設(shè),得 , 無解.將 代入，化簡得 由題設(shè),得 .解得m=2. 從而,得到PF2的方程35 軌跡方程的求法1. D 2. A 3. C 4. A 5. 正方形 6. 圓的一部分7. (1)由點A(2,8)在拋物線上,有 解得所以拋物線方程為,焦點F的坐標為(8,0)(2)如圖,由F(8,0)是的重心,M是BC的中點,所以F是線段AM的定比分點,且，設(shè)點M的坐標為,則 解得,所以點M的坐標為(3)由于線段BC的中點M不在x軸上,所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所成直線的方程為 由消x得 所以.由()的結(jié)論得,解得.因此BC所在直線的方程為 ,即.8. (1)直線l過點M(0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為記、由題設(shè)可得點A、B的坐標、是方程組 的解. 將代入并化簡得,所以于是設(shè)點P的坐標為則消去參數(shù)k得 當k不存在時,A、B中點為坐標原點(0,0),也滿足方程,所以點P的軌跡方程為 (2)由點P的軌跡方程知所以,故當,取得最小值,最小值為時,取得最大值,最大值為9. 由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程為：.又設(shè),則其坐標滿足 消去x得 ,由此得,因此.即OAOB故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H()是AB的中點,故,由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且.從而當k=0時,圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小.此時,直線AB的方程為：x=2p.86 圓錐曲線的應(yīng)用1. A 2. D 3. B 4. A 5. 6. 用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì) 7. (1)由條件得直線AP的方程即因為點M到直線AP的距離為1, 即.解得+1m3或-1m1-.m的取值范圍是(2)可設(shè)雙曲線方程為由得.又因為M是APQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以MAP=45,直線AM是PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此,(不妨設(shè)P在第一象限)直線PQ方程為.直線AP的方程y=x-1,解得P的坐標是(2+,1+),將P點坐標代入得,所以所求雙曲線方程為即8. 解方程組,得或,即A(4,2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).由kAB=,直線AB的垂直平分線方程y1=-2(x2).令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x24).點P到直線OQ的距離d=, ,SOPQ.P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上, 4x44或440,得v=8,故=（6，8）.（2）由=（10，5），得B（10，5），于是直線OB方程：由條件可知圓的標準方程為：(x3)2+(y+1)2=10, 得圓心（3，1），半徑為.設(shè)圓心（3，1）關(guān)于直線OB的對稱點為（x ,y）則故所求圓的方程為(x1)2+(y3)2=10.（3）設(shè)P (x1,y1), Q (x2,y2) 為拋物線上關(guān)于直線OB對稱兩點，則故當時，拋物線y=ax21上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點.