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第7章 排序,排序（sorting）是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的一個(gè)特別重要的技術(shù)，計(jì)算機(jī)的各個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域都有它的身影。如在處理學(xué)生考試成績和元素的查找等都涉及到了對數(shù)據(jù)的排序。排列有序的折半查找要比順序查找的效率要高許多。本章主要給大家介紹幾種常用的排序技術(shù)：插入排序、選擇排序、交換排序、歸并排序和基數(shù)排序。
本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：
1、希爾排序
2、快速排序
3、堆排序
4、歸并排序
5、基數(shù)排序,7.1 基本概念,排序：把一個(gè)無序的元素序列按照元素的關(guān)鍵字遞增或遞減排列為有序的序列。
假設(shè)包含n個(gè)元素（記錄）的序列
(E1,E2,…,En)
其對應(yīng)的關(guān)鍵字為
(k1,k2,…,kn)
需確定1,2,…,n的一種排列p1,p2,…,pn，使關(guān)鍵字滿足以下非遞減（或非遞增）關(guān)系：
kp1≤kp2≤…≤kpn
從而使元素構(gòu)成一個(gè)非遞減（或非遞增）的序列：
(Ep1,Ep2,…,Epn)
這樣的一種操作被稱為排序。,,7.1 基本概念,穩(wěn)定排序和不穩(wěn)定排序：在待排序的記錄序列中，若存在兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)鍵字想到呢個(gè)的記錄。假設(shè)ki=kj(1≤i≤n,1≤j≤n,i≠j)，且排序前的對應(yīng)的記錄Ei領(lǐng)先于Ej（即i
6，所以需要先將22向后移動(dòng)一個(gè)位置，然后將6插入到第一個(gè)位置，如圖7.2所示。其中，陰影部分表示無序集，白色部分表示有序集。
第2趟排序：將無序集的元素17從右到左依次與有序集中的元素比較，即先與22比較，因?yàn)?76，所以將17放在第2個(gè)元素的位置，如圖7.3所示。,,,,7.2 插入排序,第3趟排序：將待排序集合中的元素8與已經(jīng)有序的元素集合從右到左依次比較，先與22比較。因?yàn)?6，所以將8放在第2個(gè)位置，如圖7.4所示。,,7.2 插入排序,假設(shè)待排序元素有8個(gè)，分別是17、46、32、87、58、9、50、38。使用直接插入排序?qū)υ撛匦蛄械呐判蜻^程如圖7.5所示。,,7.2 插入排序,直接插入排序算法描述如下。
void InsertSort(SqList *L)
/*直接插入排序*/
{
int i,j;
DataType t;
for(i=1;ilength;i++) /*前i個(gè)元素已經(jīng)有序，從第i+1個(gè)元素開始與前i個(gè)有序的關(guān)鍵字比較*/
{
t=L->data[i+1]; /*取出第i+1個(gè)元素，即待排序的元素*/
j=i;
while(j>0 /*將當(dāng)前元素插入合適的位置*/
}
},,7.2 插入排序,7.2.2 折半插入排序
折半插入排序算法是直接插入排序的改進(jìn)。它的主要改進(jìn)在于，在已經(jīng)有序的集合中使用折半查找法確定待排序元素的插入位置。在找到要插入的位置后，將待排序元素插入到相應(yīng)的位置。
假設(shè)待排序元素有7個(gè)：67、53、73、21、34、98、12。使用折半插入排序?qū)υ撛匦蛄械谝惶伺判蜻^程如圖7.6所示。,,,7.2 插入排序,第2趟折半插入排序過程如圖7.7所示。,,,7.2 插入排序,void BinInsertSort(SqList *L)
/*折半插入排序*/
{
int i,j,mid,low,high;
DataType t;
for(i=1;ilength;i++)
{
t=L->data[i+1]; /*取出第i+1個(gè)元素，即待排序的元素*/
low=1,high=i;
while(lowdata[mid].key>t.key)
high=mid-1;
else
low=mid+1;
}
for(j=i;j>=low;j--) /*移動(dòng)元素，空出要插入的位置*/
L->data[j+1]=L->data[j];
L->data[low]=t; /*將當(dāng)前元素插入合適的位置*/
}
},,,7.2 插入排序,7.2.3 希爾排序
希爾排序（shell’s sort）也稱為縮小增量排序（diminishing increment sort），它也屬于插入排序類的算法，但時(shí)間效率比前幾種排序有較大改進(jìn)。
設(shè)待排序元素為：48、26、66、57、32、85、55、19，使用希爾排序算法對該元素序列的排序過程如圖7.8所示。,,,,,7.2 插入排序,相應(yīng)地，希爾排序的算法可描述如下。
void ShellInsert(SqList *L,int c)
/*對順序表L進(jìn)行一次希爾排序，c是增量*/
{
int i,j;
DataType t;
for(i=c+1;ilength;i++) /*將距離為c的元素作為一個(gè)子序列進(jìn)行排序*/
{
if(L->data[i].keydata[i-c].key) /*如果后者小于前者，則需要移動(dòng)元素*/
{
t=L->data[i];
for(j=i-c;j>0/*依次將元素插入到正確的位置*/
}
}
},,,7.2 插入排序,void ShellInsertSort(SqList *L,int delta[],int m)
/*希爾排序，每次調(diào)用算法ShellInsert,delta是存放增量的數(shù)組*/
{
int i;
for(i=0;inext=NULL。指針p指向待排序的鏈表，若有序序列為空，將p指向的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)插入到空鏈表L中。然后將有序鏈表即L指向的鏈表的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)與p指向的結(jié)點(diǎn)比較，并將結(jié)點(diǎn)*p插入到L指向的鏈表的恰當(dāng)位置。重復(fù)執(zhí)行上述操作，直到待排序鏈表為空。此時(shí)，L就是一個(gè)有序鏈表。,7.3 交換排序,7.3.1 冒泡排序
冒泡排序(bubble sort)是一種簡單的交換類排序算法，它是通過交換相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)元素，逐步將待排序序列變成有序序列。它的基本算法思想描述如下：
假設(shè)待排序元素有n個(gè)，從第1個(gè)元素開始，依次交換相鄰的兩個(gè)逆序元素，直到最后一個(gè)元素為止。當(dāng)?shù)?趟排序結(jié)束，就會(huì)將最大的元素移動(dòng)到序列的末尾。然后按照以上方法進(jìn)行第2趟排序，次大的元素將會(huì)被移動(dòng)到序列的倒數(shù)第2個(gè)位置。依次類推，經(jīng)過n-1趟排序后，整個(gè)元素序列就成了一個(gè)有序的序列。每趟排序過程中，值小的元素向前移動(dòng)，值大的元素向后移動(dòng)，就像氣泡一樣向上升，因此將這種排序方法稱為冒泡排序。,,7.3 交換排序,例如，有5個(gè)待排序元素55、26、48、63和37。
第1趟排序：,,7.3 交換排序,第2趟排序：從第1個(gè)元素開始，依次比較第1個(gè)元素與第2個(gè)元素、第2個(gè)元素與第3個(gè)元素、第3個(gè)元素與第4個(gè)元素，如果前者大于后者，則交換之；否則不進(jìn)行交換。第2趟排序過程如圖7.12所示。,,7.3 交換排序,第3趟排序：按照以上方法，依次比較兩個(gè)相鄰元素，交換逆序的元素。第3趟排序過程如圖7.13所示。
第4趟排序：此時(shí)，待排序元素只剩下26和37，只需要進(jìn)行一次比較即可。因?yàn)?6<37，所以不需要交換。第4趟排序過程如圖7.14所示。,,,,,7.3 交換排序,設(shè)待排序元素為56、72、44、31、99、21、69、80，使用冒泡排序?qū)υ撛匦蛄械呐判蜻^程如圖7.15所示。,,7.3 交換排序,冒泡排序的算法描述如下。
void BubbleSort(SqList *L,int n)
/*冒泡排序*/
{
int i,j,flag;
DataType t;
for(i=1;idata[j].key>L->data[j+1].key)
{
t=L->data[j];
L->data[j]=L->data[j+1];
L->data[j+1]=t;
flag=1;
}
}
},7.3 交換排序,快速排序的算法思想是：從待排序記錄序列中選取一個(gè)記錄（通常是第一個(gè)記錄）作為樞軸，其關(guān)鍵字設(shè)為key，然后將其余關(guān)鍵字小于key的記錄移至前面，而將關(guān)鍵字大于key的記錄移至后面，結(jié)果將待排序記錄序列分為兩個(gè)子表，最后將關(guān)鍵字key的記錄插入到其分界線的位置。我們將這個(gè)過程稱為一趟快速排序。通過這一趟劃分后，就以關(guān)鍵字為key的記錄為界，將待排序序列分為兩個(gè)子表，前面的子表所有記錄的關(guān)鍵字均不大于key，而后面子表的所有記錄的關(guān)鍵字均不小于key。繼續(xù)對分割后的子表進(jìn)行上述劃分，直至所有子表的表長不超過1為止，此時(shí)的待排序記錄就成了一個(gè)有序序列。,,7.3 交換排序,【算法步驟】設(shè)待排序序列存放在數(shù)組a[1…n]中，n為元素個(gè)數(shù)，設(shè)置兩個(gè)指針i和j，初值分別為1和n，令a[1]作為樞軸元素賦給pivot，a[1]相當(dāng)于空單元，然后執(zhí)行以下操作：
（1）j從右往左掃描，若a[j].keypivot.key，將a[i]移至a[j]中，并執(zhí)行一次j--操作；
（3）重復(fù)執(zhí)行（1）和（2），直到出現(xiàn)i≥j，則將元素pivot移動(dòng)到a[i]中。此時(shí)整個(gè)元素序列在位置i被劃分成兩個(gè)部分，前一部分的元素關(guān)鍵字都小于a[i].key，后一部分元素的關(guān)鍵字都大于等于a[i].key。即完成了一趟快速排序。,,,,,7.3 交換排序,例如，一組待排序元素序列為55,22,44,67,35,77,18,69，依據(jù)快速排序的算法思想，得到第1趟排序的過程如圖7.16所示。,,,7.3 交換排序,設(shè)待排序元素為55、22、44、67、35、77、18、69，用快速排序算法對該元素序列的排序過程如圖7.17所示。,,,,7.3 交換排序,進(jìn)行一趟快速排序，即將元素序列進(jìn)行一次劃分的算法描述如下所示。
int Partition(SqList *L,int low,int high)
/*對順序表L.r[low..high]的元素進(jìn)行一趟排序，使樞軸前面的元素關(guān)鍵字小于
樞軸元素的關(guān)鍵字，樞軸后面的元素關(guān)鍵字大于等于樞軸元素的關(guān)鍵字，并返回樞軸位置*/
{
DataType t;
KeyType pivotkey;
pivotkey=(*L).data[low].key;/*將表的第一個(gè)元素作為樞軸元素*/
t=(*L).data[low];
while(low=pivotkey)/*從表的末端向前掃描*/
high--;
if(lowdata[i];
L->data[i]=L->data[j];
L->data[j]=t;
}
}
},7.4 選擇排序,,,7.4 選擇排序,一組元素的關(guān)鍵字序列為(76,31,19,20,6,83,60,52)，簡單選擇排序的過程如圖7.19所示。,,7.4.2 堆排序
1．什么是堆和堆排序
堆排序(heap sort) 主要是利用了二叉樹的樹形結(jié)構(gòu)，按照完全二叉樹的編號次序，將元素序列的關(guān)鍵字依次存放在相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)。然后從葉子結(jié)點(diǎn)開始，從互為兄弟的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)中（沒有兄弟結(jié)點(diǎn)除外），選擇一個(gè)較大（或較小）者與其雙親結(jié)點(diǎn)比較，如果該結(jié)點(diǎn)大于（或小于）雙親結(jié)點(diǎn)，則將兩者進(jìn)行交換，使較大（或較小）者成為雙親結(jié)點(diǎn)。將所有的結(jié)點(diǎn)都做類似操作，直到根結(jié)點(diǎn)為止。這時(shí)，根結(jié)點(diǎn)的元素值的關(guān)鍵字最大（或最?。?。,7.4 選擇排序,,這樣就構(gòu)成了堆，堆中的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都大于（或小于）其孩子結(jié)點(diǎn)。堆的數(shù)學(xué)形式定義為：假設(shè)存在n個(gè)元素，其關(guān)鍵字序列為(k1,k2,…,ki,…,kn)，如果有：
則稱此元素序列構(gòu)成了一個(gè)堆。如果將這些元素的關(guān)鍵字存放在一維數(shù)組中，將此一維數(shù)組中的元素與完全二叉樹一一對應(yīng)起來，則完全二叉樹中的每個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的值都不小于（或不大于）孩子結(jié)點(diǎn)的值。,7.4 選擇排序,,,,在堆中，堆的根結(jié)點(diǎn)元素值一定是所有結(jié)點(diǎn)元素值的最大值或最小值。例如，序列（89,77,65,62,32,55,60,48）和（18,37,29,48,50,43,33,69,77,60）都是堆，相應(yīng)的完全二叉樹表示如圖7.20所示。,7.4 選擇排序,,,,如果將堆中的根結(jié)點(diǎn)（堆頂）輸出之后，然后將剩余的n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)的元素值重新建立一個(gè)堆，則新堆的堆頂元素值是次大（或次?。┲?，將該堆頂元素輸出。然后將剩余的n-2個(gè)結(jié)點(diǎn)的元素值重新建立一個(gè)堆，反復(fù)執(zhí)行以上操作，直到堆中沒有結(jié)點(diǎn)，就構(gòu)成了一個(gè)有序序列，這樣的重復(fù)建堆并輸出堆頂元素的過程稱為堆排序。,7.4 選擇排序,2．建堆
堆排序的過程就是建立堆和不斷調(diào)整使剩余結(jié)點(diǎn)構(gòu)成新堆的過程。假設(shè)將待排序的元素的關(guān)鍵字存放在數(shù)組a中，第1個(gè)元素的關(guān)鍵字a[1]表示二叉樹的根結(jié)點(diǎn)，剩下的元素的關(guān)鍵字a a[2…n]分別與二叉樹中的結(jié)點(diǎn)按照層次從左到右一一對應(yīng)。例如，a[1]的左孩子結(jié)點(diǎn)存放在a[2]中，右孩子結(jié)點(diǎn)存放在a[3]中，a[i]的左孩子結(jié)點(diǎn)存放在a[2*i]中，右孩子結(jié)點(diǎn)存放在a[2*i+1]中。,7.4 選擇排序,,,例如，給定一組元素序列(27,58,42,53,42,69,50,62)，建立大頂堆的過程如圖7.21所示。,7.4 選擇排序,,,,相應(yīng)地，建立大頂堆的算法描述如下所示。
void CreateHeap(SqList *H,int n)
/*建立大頂堆*/
{
int i;
for(i=n/2;i>=1;i--) /*從序號n/2開始建立大頂堆*/
AdjustHeap(H,i,n);
},7.4 選擇排序,,void AdjustHeap(SqList *H,int s,int m)
/*調(diào)整H.data[s...m]的關(guān)鍵字，使其成為一個(gè)大頂堆*/
{
DataType t;
int j;
t=(*H).data[s]; /*將根結(jié)點(diǎn)暫時(shí)保存在t中*/
for(j=2*s;j(*H).data[j].key) /*如果孩子結(jié)點(diǎn)的值小于根結(jié)點(diǎn)的值，則不進(jìn)行交換*/
break;
(*H).data[s]=(*H).data[j];
s=j;
}
(*H).data[s]=t; /*將根結(jié)點(diǎn)插入到正確位置*/
},7.4 選擇排序,,,,3．調(diào)整堆
具體實(shí)現(xiàn)：當(dāng)堆頂元素輸出后，可以將堆頂元素放在堆的最后，即將第1個(gè)元素與最后一個(gè)元素交換a[1]a[n]，則需要調(diào)整的元素序列就是a[1…n-1]。從根結(jié)點(diǎn)開始，如果其左、右子樹結(jié)點(diǎn)元素值大于根結(jié)點(diǎn)元素值，選擇較大的一個(gè)進(jìn)行交換。即如果a[2]>a[3]，則將a[1]與a[2]比較，如果a[1]>a[2]，則將a[1]與a[2]交換，否則不交換。如果a[2]a[3]，則將a[1]與a[3]交換，否則不交換。重復(fù)執(zhí)行此操作，直到葉子結(jié)點(diǎn)不存在，就完成了堆的調(diào)整，構(gòu)成了一個(gè)新堆。,7.4 選擇排序,,7.4 選擇排序,例如，一個(gè)大頂堆的關(guān)鍵字序列為(69,62,50,58,42,42,27,53)，當(dāng)輸出69后，調(diào)整剩余的元素序列為大頂堆的過程如圖7.22所示。,,,,7.4 選擇排序,調(diào)整堆的算法實(shí)現(xiàn)如下。
void HeapSort(SqList *H)
/*對順序表H進(jìn)行堆排序*/
{
DataType t;
int i;
CreateHeap(H,H->length); /*創(chuàng)建堆*/
for(i=(*H).length;i>1;i--) /*將堆頂元素與最后一個(gè)元素交換，重新調(diào)整堆*/
{
t=(*H).data[1];
(*H).data[1]=(*H).data[i];
(*H).data[i]=t;
AdjustHeap(H,1,i-1); /*將(*H).data[1..i-1]調(diào)整為大頂堆*/
}
},,,7.4 選擇排序,例如，一個(gè)大頂堆的元素的關(guān)鍵字序列為(69,62,50,58,42,42,27,53)，其相應(yīng)的完整的堆排序過程如圖7.23所示。,,,7.4 選擇排序,7.4.3 選擇排序應(yīng)用舉例
【例7_4】編寫算法，利用簡單選擇排序和堆排序算法對一組關(guān)鍵字序列 (69,62,50,58,42,42,27,53)進(jìn)行排序，要求輸出每趟排序的結(jié)果。
【分析】簡單選擇排序和堆排序都是一種不穩(wěn)定的排序方法。它們的主要思想：每次從待排序元素中選擇關(guān)鍵字最?。ɑ蜃畲螅┑脑兀?jīng)過不斷交換，重復(fù)執(zhí)行以上操作，最后形成一個(gè)有序的序列。,7.4 選擇排序,【例7_5】編寫算法，對關(guān)鍵字序列(76,20,99,32,60,53,11,8,42)進(jìn)行選擇排序，要求使用鏈表實(shí)現(xiàn)。
【分析】主要考察選擇排序的算法思想和鏈表的操作。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，設(shè)置兩個(gè)指針p和q，分別指向已排序鏈表和未排序鏈表。初始時(shí)，先創(chuàng)建一個(gè)鏈表，q指向該鏈表，p指向的鏈表為空。然后從q指向的鏈表中找到一個(gè)元素值最小的結(jié)點(diǎn)，將其取出并插入到p指向的鏈表中。重復(fù)執(zhí)行以上操作直到q指向的鏈表為空，此時(shí)p指向的鏈表就是一個(gè)有序鏈表。,,,7.5 歸并排序,7.5.1 2路歸并排序算法
主要思想是：假設(shè)元素的個(gè)數(shù)是n，將每個(gè)元素作為一個(gè)有序的子序列，然后將相鄰的兩個(gè)子序列兩兩歸并，得到個(gè)長度為2的有序子序列。然后將相鄰的兩個(gè)有序子序列兩兩歸并，得到個(gè)長度為4的有序子序列。如此重復(fù)，直至得到一個(gè)長度為n的有序序列為止。
關(guān)鍵字序列(50,22,61,35,87,12,19,75)的2路歸并排序的過程如圖7.26所示。,,,7.5 歸并排序,void Merge(DataType s[],DataType t[],int low,int mid,int high)
/*將有序的s[low...mid]和s[mid+1..high]歸并為有序的t[low..high]*/
{
int i,j,k;
i=low,j=mid+1,k=low;
while(i<=mid
},,,,,7.5 歸并排序,void MergeSort(DataType s[],DataType t[],int low, int high)
/*2路歸并排序，將s[low...high]歸并排序并存儲(chǔ)到t[low...high]中*/
{
int mid;
DataType t2[MaxSize];
if(low==high)
t[low]=s[low];
else
{
mid=(low+high)/2; /*將s[low...high]分為s[low...mid]和s[mid+1...high]*/
MergeSort(s,t2,low,mid); /*將s[low...mid]歸并為有序的t2[low...mid]*/
MergeSort(s,t2,mid+1,high); /*將s[mid+1...high]歸并為有序的t2[mid+1...high]*/
Merge(t2,t,low,mid,high); /*將t2[low...mid]和t2[mid+1..high]歸并到t[low...high]*/
}
},,7.5 歸并排序,7.5.2 歸并排序應(yīng)用舉例
【例7_6】編寫算法，請使用2路歸并排序?qū)σ唤M關(guān)鍵字 (50,22,61,35,87,12,19,75)進(jìn)行排序。,7.6 基數(shù)排序,7.6.1 基數(shù)排序算法
基數(shù)排序正是借助這種思想，對不同類的元素進(jìn)行分類，然后對同一類中的元素進(jìn)行排序，通過這樣的一種過程，完成對元素序列的排序。在基數(shù)排序中，通常將對不同元素的分類稱為分配，排序的過程稱為收集。
具體算法思想：假設(shè)第i個(gè)元素ai的關(guān)鍵字keyi，keyi是由d位十進(jìn)制組成，即keyi=kidkid-1…ki1，其中ki1為最低位，kid為最高位。關(guān)鍵字的每一位數(shù)字都可作為一個(gè)子關(guān)鍵字。首先將元素序列按照最低的關(guān)鍵字進(jìn)行排序，然后從低位到高位直到最高位依次進(jìn)行排序，這樣就完成了排序過程。,,7.6 基數(shù)排序,例如，一組元素的關(guān)鍵字序列為(236,128,34,567,321,793,317,106)。
對最低位進(jìn)行分配和收集的過程如圖7.28所示。其中，數(shù)組f[i]保存第i個(gè)鏈表的頭指針，數(shù)組r[i]保存第i個(gè)鏈表的尾指針。,,,,,7.6 基數(shù)排序,對十位數(shù)字分配和收集的過程如圖7.29所示。
對百位數(shù)字分配和收集的過程如圖7.30所示。,,,,,,,,7.6 基數(shù)排序,基數(shù)排序的算法主要包括分配和收集。靜態(tài)鏈表類型定義描述如下：
#define MaxNumKey 6 /*關(guān)鍵字項(xiàng)數(shù)的最大值*/
#define Radix 10 /*關(guān)鍵字基數(shù)，此時(shí)是十進(jìn)制整數(shù)的基數(shù)*/
#define MaxSize 1000
typedef int KeyType;
typedef struct
{
KeyType key[MaxNumKey]; /*關(guān)鍵字*/
int next;
}SListCell; /*靜態(tài)鏈表的結(jié)點(diǎn)類型*/
typedef struct
{
SListCell data[MaxSize]; /*存儲(chǔ)元素，data[0]為頭結(jié)點(diǎn)*/
int keynum; /*每個(gè)元素的當(dāng)前關(guān)鍵字個(gè)數(shù)*/
int length; /*靜態(tài)鏈表的當(dāng)前長度*/
}SList; /*靜態(tài)鏈表類型*/
typedef int addr[Radix]; /*指針數(shù)組類型*/,,,,7.6 基數(shù)排序,基數(shù)排序的分配算法實(shí)現(xiàn)如下所示。
void Distribute(SListCell data[],int i,addr f,addr r)
/*為data中的第i個(gè)關(guān)鍵字key[i]建立Radix個(gè)子表，使同一子表中元素的key[i]相同*/
/*f[0..Radix-1]和r[0..Radix-1]分別指向各個(gè)子表中第一個(gè)和最后一個(gè)元素*/
{
int j,p;
for(j=0;j
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