2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《平面幾何證明》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《平面幾何證明》 1． 線段或角相等的證明 （1）利用全等△或相似多邊形； （2）利用等腰△； （3）利用平行四邊形； （4）利用等量代換； （5）利用平行線的性質或利用比例關系 （6）利用圓中的等量關系等。 2． 線段或角的和差倍分的證明 （1）轉化為相等問題。如要證明a=bc，可以先作出線段p=bc，再去證明a=p，即所謂“截長補短”，角的問題仿此進行。 （2）直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。 3． 兩線平行與垂直的證明 （1）利用兩線平行與垂直的判定定理。 （2）利用平行四邊形的性質可證明平行；利用等腰△的“三線合一”可證明垂直。 （3）利用比例關系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。 例題講解 1．從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，連結BE交CD于F。求證：BE平分CD。 2．△ABC內接于⊙O，P是弧 AB上的一點，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。 3．已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個交點，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點。求證：∠O1AO2=∠M1AM2。 4．在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE=。. 5．∠ABC的頂點B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過BA與圓的交點K引∠ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。 求證：線段PM為圓心到∠ABC平分線距離的2倍。 6．在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH⊥AP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB。 7．菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。 求證：MQ∥NP。 8．ABCD是圓內接四邊形，其對角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KP⊥AB。 9．以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點M。求證：AM⊥BC。 例題答案： 1. 分析1：構造兩個全等△。 連結ED、AC、AF。 CF=DF←△ACF≌△EDF← ← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 分析2：利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB。 ←∠PFB=∠POB← ← 注：連結OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點共圓亦可。 2. 分析：只需證， PMPN=MSNT。 （∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN →→PMPN=AMBN （∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA →→MSNT=AMBN 3. 分析：設B為兩圓的另一交點，連結并延長BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2的中垂線。 在O1M上截取MO3=MO2，則∠M1AO3=∠M2AO2。 故只需證∠O1AM1=∠O3AM1，即證。 由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。 4. 分析：方法1、2AE=AB-AC ← 在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA ← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。 方法2、延長CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG ← 連結DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG ← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。 5.分析：若角平分線過O，則P、M重合，PM=0，結論顯然成立。 若角平分線不過O，則延長DO至D‘，使OD’=OD，則只需證DD‘=PM。連結D’P、DM，則只需證DMPD‘為平行四邊形。 過O作m⊥PK，則DD’,KP，∴∠D‘PK=∠DKP BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL為MK的中垂線→∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM， ∴DMPD‘為平行四邊形。 6.分析：方法1、結合中線和角平分線的性質，考慮用比例證明平行。 倍長中線：延長AM至M’，使AM=MA‘，連結BA’，如圖6-1。 PQ∥AB←←← ← ∠A‘BQ=180-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180-90-∠CAP=90-∠BAP=∠ABQ 方法2、結合角平分線和BH⊥AH聯(lián)想對稱知識。 延長BH交AC的延長線于B’，如圖6-2。則H為BB‘的中點，因為M為BC的中點，連結HM，則HM∥B/C。延長HM交AB于O，則O為AB的中點。延長MO至M’，使OM‘=OM，連結M’A、M‘B，則AM’BM是平行四邊形， ∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，，所以PQ∥AB。 7.分析：由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN， 結合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN←，AMCN=AQCP。 連結AC、BD，其交點為內切圓心O。設MN與⊙O切于K，連結OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則 ∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180-2φ。 ∴∠BON=90-∠NOF-∠COF=90-β-φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是， ∴AMCN=AOCO 同理，AQCP=AOCO。 8. 分析：延長KP交AB于L，則只需證∠PAL+∠APL=90， 即只需證∠PDC+∠KPC=90，只需證∠PDC=∠PKF， 因為P、F、K、E四點共圓，故只需證∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。 ←←←△DME∽△CNF 9. 分析：連結BE、CD交于H，則H為垂心，故AH⊥BC。（同一法） 設AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。 OM1∥DF→→OM1=。 OM2∥EG→→OM2=。 只需證OGDF=EGOF，即 ←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。