高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列課件 湘教版.ppt

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第五章 數(shù) 列,5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示 5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 5.4 數(shù)列求和 5.5 數(shù)列模型的應(yīng)用 5.6 數(shù)列綜合性問(wèn)題,,,,5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示,1.數(shù)列的概念 按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，一般用 表示.,一定順序,,2.數(shù)列的分類,有限,無(wú)限,,,=,正整數(shù)集N*(或N*的有限子集{1,2,3,…，n}),函數(shù)值,解析法,圖象法,列表法,序號(hào)n,,,由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng),1.由所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征： （1）分式中分子、分母的特征； （2）相鄰項(xiàng)的變化特征； （3）拆項(xiàng)后的特征； （4）各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.,2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用（-1）n或（-1）n+1來(lái)調(diào)整. 3.觀察、分析問(wèn)題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列（如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等）轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決.,,由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式,【變式訓(xùn)練】2.已知下面數(shù)列{an}的遞推關(guān)系和前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式： (1)Sn＝3n＋b； （2）a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.,【解析】(1) a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1. 當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式.當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式. ∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝23n－1； 當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝ 3＋b，n＝1， 23n－1，n≥2.,,,數(shù)列的性質(zhì)研究,,,,1.數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示 數(shù)列中的數(shù)是有序的,要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同;數(shù)列的簡(jiǎn)單表示要類比函數(shù)的表示方法來(lái)理解.數(shù)列{an}可以看成是以正整數(shù)集N*（或N*的有限子集{1,2,3，…，n}）為定義域的函數(shù)an=f（n），當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.,2.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出其通項(xiàng)公式 據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征:（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項(xiàng)的變化特征；（3）拆項(xiàng)后的特征；（4）各項(xiàng)符號(hào)特征和絕對(duì)值特征，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.,通過(guò)對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出,本節(jié)主要考查數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、求通項(xiàng)公式、an與Sn的關(guān)系.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，通常將其變形成等差數(shù)列、等比數(shù)列或與函數(shù)的周期性等有關(guān)的問(wèn)題.,(2013全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為 .,,【規(guī)范解答】由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)， 知a1＋a10＝0，a1＋a15＝ . 兩式相減，得a15－a10＝ ＝5d，所以d＝ ，a1＝－3. 所以nSn＝n[na1＋ d]＝ . 令f(x)＝ ，x＞0， 則f′(x)＝ x(3x－20)，由函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(x)在x＝ 時(shí)取得最小值，檢驗(yàn)n＝6時(shí)，6S6＝－48，而n＝7時(shí)，7S7＝－49，故nSn的最小值為－49.,【閱后報(bào)告】本題求出的nSn的表達(dá)式可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的三次函數(shù)，因此可以采用導(dǎo)數(shù)法求解.,3.(2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)數(shù)列{an}滿足an＋1＝ ，a8＝2，則a1＝ . 【解析】由題易知a8＝ ＝2，得a7＝ ； a7＝ ＝ ，得a6＝－1； a6＝ ＝－1，得a5＝2， 于是可知數(shù)列{an}具有周期性，且周期為3，所以a1＝a7＝ . 【答案】,,課 時(shí) 作 業(yè),5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,2,同一個(gè)常數(shù),公差,,A,,,,2.在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝7，a3＋a6＝16，an＝31，則n為( ) A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】由已知可得a4＋a5＝7＋a5＝a3＋a6＝16，得a5＝16－7＝9，故公差d＝a5－a4＝9－7＝2，同時(shí)解得a1＝1，由1＋(n－1)2＝31，解得n＝16. 【答案】D,3.(2014荊州高三調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，且S10＝60，則S20＝( ) A.80 B.160 C.320 D.640,4.(2014武漢高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n是 . 【解析】a1＋a3＋a5＝105a3＝35，a2＋a4＋a6＝99a4＝33，則{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n＝20. 【答案】20,,等差數(shù)列的判斷與證明,,,,,等差數(shù)列的基本運(yùn)算,,等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,【變式訓(xùn)練】3.在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2). (1)證明數(shù)列 是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (3)若λan＋ ≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.,【解析】(1)證明:將3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得 － ＝3(n≥2). 所以數(shù)列 為以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)可得 ＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝13n－2. (3)若λan＋ ≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立， 即λ3n－2＋3n＋1≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立, 整理得λ≤[(3n＋1)(3n－2)]/3(n－1).,【規(guī)范解答】(1)由題意得，a15a3＝(2a2＋2)2， 由a1＝10，{an}為公差為d的等差數(shù)列得， d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*). (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，,所以當(dāng)n≤11時(shí)， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－ n2＋ n； 當(dāng)n≥12時(shí)， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝ n2－ n＋110. 綜上所述， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ － n2＋ n，n≤11， n2－ n＋110，n≥12.,,【閱后報(bào)告】(1)不能盲目認(rèn)為|a1|，|a2|，…|an|是等差數(shù)列，要分段研究. (2)當(dāng)n≤11時(shí)，是求Sn，而不是求S11. (3)討論n≤11和n≥12后，要有總結(jié)結(jié)論.,1.(2014遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{ }為遞減數(shù)列，則( ) A.d＞0 B.d＜0 C.a1d＞0 D.a1d＜0 【解析】令 bn=2a1an，因?yàn)閿?shù)列{ }為遞減數(shù)列， 所以 1，所以a1d0. 【答案】D,2.(2014北京卷)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a90，a7＋a100，a7＋a10＝a8＋a90，a90，∴n＝8時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大. 【答案】8,3.(2014湖北卷)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.,【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 依題意得，2，2＋d，2＋4d成等比數(shù)列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化簡(jiǎn)得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 當(dāng)d＝0時(shí)，an＝2； 當(dāng)d＝4時(shí)，an＝2＋(n－1)4＝4n－2. 從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2或an＝4n－2.,,,,,課 時(shí) 作 業(yè),5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,第2項(xiàng),前一項(xiàng),同一個(gè),公比,q,,等比數(shù)列,ab,,,,,等比,3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3=( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，將S6＝1/2S3代入得S9/S3＝3/4. 【答案】C,,等比數(shù)列的判定與證明,(3)假設(shè)存在，則m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2， 因?yàn)閍n＝ ，所以 化簡(jiǎn)，得3m＋3n＝23s. 因?yàn)?m＋3n≥ ＝23s，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)等號(hào)成立.又m，s，n互不相等，所以3m＋3n＝23s不成立，所以不存在滿足條件的m，n，s.,,等比數(shù)列的基本運(yùn)算,等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題,數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）所求問(wèn)題可迎刃而解.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式,并靈活運(yùn)用.在運(yùn)算過(guò)程中,還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.,【變式訓(xùn)練】2.已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn＝Sn－ (n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝ . 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝ ，所以q＝－ . 故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝ n－1＝(－1)n－1 . (2)由(1)得Sn＝1－ ＝ 1＋ ，n為奇數(shù)， 1－ ，n為偶數(shù).,,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1Sn－ ≥S2－ ＝ － ＝－ . 綜上，對(duì)于n∈N*，總有－ ≤Sn－ ≤ . 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為 ，最小項(xiàng)的值為－ .,,,,(2013湖北卷)已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得 ＋ ＋…＋ ≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由已知可得 a31q3＝125，解得 a1＝ ， |a1q－a1q2|＝10， q＝3 或 a1＝－5， q＝－1. 故an＝ 3n－1或an＝－5(－1)n－1. (2)若an＝ 3n－1，則 ＝ ，則 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.,,,,從而 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ 1. 若an＝－5(－1)n－1，則 ＝－ (－1)n－1， 故1an是首項(xiàng)為－15，公比為－1的等比數(shù)列， 從而 ＋ ＋…＋ ＝ － ，n＝2k－1(k∈N*)， 0，n＝2k(k∈N*)， 故 ＋ ＋…＋ 1. 綜上，對(duì)任何正整數(shù)m，總有 ＋ ＋…＋ 1. 故不存在正整數(shù)m，使得 ＋ ＋…＋ ≥1成立.,,【閱后報(bào)告】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.,3.(2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷) 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1， an＋1＝3an＋1. (1)證明 是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明 ＋ ＋…＋ ＜ .,【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋ ＝3(an＋ ). 又a1＋ ＝ ，所以an＋ 是首項(xiàng)為 ，公比為3的等比數(shù)列，所以an＋ ＝ ，因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ . (2)證明：由(1)知 ＝ . 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥23n－1， 所以 ≤ ，即 ＝ ≤ . 于是 ＋ ＋…＋ ≤1＋ ＋…＋ ＝ －13n32. 所以 ＋ ＋…＋ .,,課 時(shí) 作 業(yè),5.4 數(shù)列求和,,,【解析】∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1， ∴m＝2，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n. ∴ ∴Sn＝ ＝ 【答案】,,分組轉(zhuǎn)化求和,(2014湖州質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記cn＝(－1)nbn＋an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d. 由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d， 故 3q＝3＋3d， q＝1＋d， 3q2＝3＋12d q2＝1＋4d q＝3或1(舍去). 所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.,,,(2)由題意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， Sn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝n＋ ； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋ . 所以Sn＝ ，n為偶數(shù)， ，n為奇數(shù).,,,錯(cuò)位相減法求和,(2014武漢高三調(diào)研)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn＝a2n＋3an＋2，且a1，a2，a6是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，n∈N*，證明：3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*).,,,,,裂項(xiàng)相消法求和,【閱后報(bào)告】(1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.,1.(2013全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則( ) A.Sn＝2an－1 B.Sn＝3an－2 C.Sn＝4－3an D.Sn＝3－2an,2.(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝ . 【解析】因?yàn)閍1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，且數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝（1－26）/(1－2)＝63. 【答案】63,【解析】(1)因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋ 2＝2a1＋2， S4＝4a1＋ 2＝4a1＋12， 由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)由題意可知， bn＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1 .,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn＝(1＋ )－( ＋ )＋…＋( ＋ )－( ＋ )＝1－ = . 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Tn＝(1＋ )－( ＋ )＋…－( ＋ )+( ＋ )＝1＋ = . 所以Tn＝ ，n為奇數(shù)， ，n為偶數(shù).(或Tn＝ ),,,課 時(shí) 作 業(yè),5.5 數(shù)列模型的應(yīng)用,1.數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,其解題的基本步驟,可用圖表示如下:,2.氣象學(xué)院用3.2萬(wàn)元買了一臺(tái)天文觀測(cè)儀，已知這臺(tái)觀測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元(n∈N*)，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天,【解析】由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元（n∈N*），可知每天的維修保養(yǎng)費(fèi)構(gòu)成以 =5為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列. 設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最小值，此時(shí)n＝800. 【答案】B,,,,4.(2014成都一模)現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長(zhǎng)度依次構(gòu)成等差數(shù)列，最上面一節(jié)長(zhǎng)為10 cm，最下面的三節(jié)長(zhǎng)度之和為114 cm，第6節(jié)的長(zhǎng)度是首節(jié)與末節(jié)長(zhǎng)度的等比中項(xiàng)，則n＝ .,【解析】設(shè)每節(jié)竹竿的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的數(shù)列為{an}，公差為d(d＞0). 由題意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a26＝a1an. 由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38， ∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)， 解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38， 即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16. 【答案】16,,等差數(shù)列模型的應(yīng)用,解等差數(shù)列應(yīng)用題,首先要認(rèn)真審題,深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景,理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系,把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問(wèn)題,使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化.然后用等差數(shù)列知識(shí)求解,這其中體現(xiàn)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力,也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力.,祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù).某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi) 12萬(wàn)美元，以后每年增加4萬(wàn)美元，每年銷售蔬菜收入50萬(wàn)美元，設(shè)f(n)表示前n年的純收入.(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額),(1)從第幾年開(kāi)始該臺(tái)商獲利？ (2)若干年后，該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目， 有兩種處理方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬(wàn)美元出售該廠；②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬(wàn)美元出售該廠，問(wèn)哪種方案最合算？,【解析】由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則f(n)＝50n－ －72＝－2n2＋40n－72. (1)獲取純利潤(rùn)就是要求f(n)0， 故有－2n2＋40n－720，解得2n18. 又n∈N*，可知從第三年開(kāi)始獲利. (2)①平均利潤(rùn)為 ＝40－ ≤16，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)取等號(hào).,故此方案獲利－262＋406－72＋48＝144(萬(wàn)美元)，此時(shí) n＝6. ②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128， 當(dāng)n＝10時(shí)，f(n)max＝128. 故此方案共獲利128＋16＝144(萬(wàn)美元). 比較兩種方案，第①種方案只需6年，第②種方案需要10年，故選擇第①種方案更合算.,,等比數(shù)列模型的應(yīng)用,某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬(wàn)元.該企業(yè)2011年年底分紅后的資金為1 000萬(wàn)元. （1）求該企業(yè)2015年年底分紅后的資金； (2)求該企業(yè)從哪一年開(kāi)始年底分紅后的資金超過(guò)32 500萬(wàn)元.,【解析】設(shè)an為(2011＋n)年年底分紅后的資金，其中n∈N*， 則a1＝21 000－500＝1 500， a2＝21 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2). ∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)， 即數(shù)列{an－500}是首項(xiàng)為a1－500＝1 000，公比為2的等比數(shù)列. ∴an－500＝1 0002n－1， ∴an＝1 0002n－1＋500.,(1)a4＝1 00024－1＋500＝8 500， ∴該企業(yè)2015年年底分紅后的資金為8 500萬(wàn)元. (2)由an32 500，即2n－132，得n6， ∴該企業(yè)從2018年開(kāi)始年底分紅后的資金超過(guò)32 500萬(wàn)元.,,遞推數(shù)列模型的應(yīng)用,某企業(yè)為加大對(duì)新產(chǎn)品的推銷力度，決定從今年起每年投入100萬(wàn)元進(jìn)行廣告宣傳，以增加新產(chǎn)品的銷售收入.已知今年的銷售收入為250萬(wàn)元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)測(cè)第n年與第n－1年銷售收入an與an－1(單位：萬(wàn)元)滿足關(guān)系式：an＝an－1＋ －100. (1)設(shè)今年為第1年，求第n年的銷售收入an； (2)依上述預(yù)測(cè)，該企業(yè)前幾年的銷售收入總和Sn最大.,【解析】(1)由題意可知an－an－1＝ －100(n≥2)， an－1－an－2＝ －100， … a3－a2＝ －100， a2－a1＝ －100， a1＝250＝ . 以上各式相加得，an＝500 －100(n－1) ＝500 －100(n－1)＝500－ －100(n－1).,(2)要求銷售收入總和Sn的最大值，即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和. ∵an＝500－ －100(n－1)， ∴要使an≥0，即500－ －100(n－1)≥0， 也就是 ＋ ≤1. 令bn＝ ＋ ， 則bn－bn－1＝ ＋ － － ＝ － ， 顯然，當(dāng)n≥3時(shí)，bnbn－1，而b51，∴a50，a60. ∴該企業(yè)前5年的銷售收入總和最大.,(2012湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元.,(1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為 4 000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).,【閱后報(bào)告】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論.,,,,,課 時(shí) 作 業(yè),5.6 數(shù)列綜合性問(wèn)題,1.(2014濟(jì)南模擬)數(shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于 ( ) A.76 B.78 C.80 D.82,【解析】由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1， 得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1， 得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1). 取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得 S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78. 【答案】B,2.在如圖所示的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為( ) A．1 B．2 C．3 D．4,,等差、等比數(shù)列的綜合,1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問(wèn)題是歷年命題的熱點(diǎn). 2.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值.同時(shí)對(duì)于兩種數(shù)列的性質(zhì),要熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程,利用好性質(zhì),可降低題目的難度,解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解.,,數(shù)列與解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用,【解析】(1)由題意得(1－a2)2＝a1(a3＋1)， 即(1－ a1)2＝a1( a1＋1)，解得a1＝ ，∴an＝ . 設(shè){bn}的公差為d， 又 T1＝λb2， 即 8＝λ(8＋d)， T2＝2λb3， 16＋d＝2λ(8＋2d)， 解得 λ＝ ，或 λ＝1， d＝8 d＝0(舍去)， ∴λ＝ .,,,,,(2)由(1)知Sn＝1－ ， ∴ Sn＝ － ≥ ， ① 又Tn＝4n2＋4n， ＝ ＝ ， ∴ ＋ ＋…＋ ＝ [(1－ )＋( － )＋…＋ ] ＝ (1－ ) ， ② 由①②可知 ＋ ＋…＋ Sn.,,遞推數(shù)列,已知數(shù)列{an}，{bn}滿足：a1＝0，b1＝2 013，且對(duì)任意的正整數(shù)n，an，an＋1，bn和an＋1，bn＋1，bn均成等差數(shù)列. (1)求a2，b2的值； (2)證明：{an－bn}和{an＋2bn}均成等比數(shù)列； (3)是否存在唯一的正整數(shù)c，使得ancbn恒成立？證明你的結(jié)論.,【解析】(1)a2＝ ＝ ，b2＝ ＝ . (2)證明：依題意，對(duì)任意的正整數(shù)n，有 an＋1＝ ， an＋1＝ an＋ bn， bn＋1＝ bn＋1＝ an＋ bn， 因?yàn)?，n∈N*， 又a1－b1＝－2 013≠0，所以{an－bn}是首項(xiàng)為－2 013，公比為1/4的等比數(shù)列；,因?yàn)? ，n∈N*， 又a1＋2b1＝4 026≠0， 所以{an＋2bn}是首項(xiàng)為4 026，公比為1的等比數(shù)列. (3)由(2)得 an＋2bn＝4 026， an－bn＝－ ， 解得 an＝1 342－ ， bn＝1 342＋ ，n∈N*. 顯然，{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，且an 1 342bn，n∈N*.,,,即存在正整數(shù)c＝1 342，使得對(duì)任意的n∈N*，有an1 342. 而210＝1 024，212＝4 096，所以2n－2≥12，n≥7. 所以對(duì)任意的n∈N*，當(dāng)n≥7時(shí)，1 341an1 342bn1 343， 所以正整數(shù)c＝1 342也是唯一的. 綜上所述，存在唯一的正整數(shù)c＝1 342，使得對(duì)任意的n∈N*，有ancbn恒成立.,,,1.數(shù)列綜合題的四種題型 （1）數(shù)列與其他章節(jié)的綜合題 數(shù)列綜合題,包括數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、不等式知識(shí)的綜合，另外，數(shù)列知識(shí)在復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何部分也有廣泛應(yīng)用. （2）數(shù)列的探索性問(wèn)題 探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),常在數(shù)列解答題中出現(xiàn),探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有較高的要求. （3）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 解決此類問(wèn)題須從整體著眼考查所研究的問(wèn)題中的數(shù)列特征、結(jié)構(gòu)特征，以探求解題思路，從而優(yōu)化、簡(jiǎn)化解題過(guò)程的思想方法，在數(shù)列中，倘若抓住等差、等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)，整體代換可簡(jiǎn)化解答過(guò)程.,2．遞推數(shù)列問(wèn)題的一般處理方法 （1）利用化歸思想，將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列問(wèn)題化歸為等差或等比數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解決； （2）借助歸納思想，通過(guò)不完全歸納形成猜想后用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題； （3）依托函數(shù)思想，設(shè)法求出所給數(shù)列的通項(xiàng)公式后一般性解決問(wèn)題. 3．由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法 累加法、累乘法、疊代法、歸納法、換元法、待定系數(shù)法、特征方程法、不動(dòng)點(diǎn)法等.,由于數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列與自然數(shù)n的對(duì)應(yīng)、數(shù)列求和與不等式放縮的聯(lián)系以及“能力立意”命題的需求，使得具有一定難度和一定綜合性要求的數(shù)列試題常常光顧解答題中的后三題的位置，很多情況下甚至就是高考?jí)狠S題.這一類綜合性問(wèn)題，往往會(huì)與數(shù)列的遞推公式相關(guān)，用于全面考查數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查邏輯運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，學(xué)會(huì)處理這類問(wèn)題往往成為高考中奪取數(shù)學(xué)高分的關(guān)鍵.求解時(shí)除了可以直接由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式來(lái)研究數(shù)列的性質(zhì)外，一般不需要求通項(xiàng)公式，也能直接利用遞推關(guān)系來(lái)研究數(shù)列的性質(zhì).,【閱后報(bào)告】 本題屬高難度試題，以解析幾何問(wèn)題為載體主要考查了數(shù)列的函數(shù)屬性，要求綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí)，對(duì)考生的思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力提出了較高的要求.,【證明】(1)對(duì)每個(gè)n∈N*，當(dāng)x0時(shí)，f′n(x)＝1＋ 0，故fn(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增． 由于f1(1)＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，fn(1)＝ 0.故fn(1)≥0.又fn( )＝－1＋ ＋ ≤ ＝ 所以存在唯一的xn∈[ ,1]滿足fn(xn)＝0.,(2)當(dāng)x0時(shí)，fn＋1(x)＝fn(x)＋ fn(x)， 故fn＋1(xn)fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0. 由fn＋1(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，xn＋1xn， 故{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列．從而對(duì)任意n，p∈N*，xn＋pxn. 對(duì)任意p∈N*，由于fn(xn)＝－1＋xn＋ ＝0，①,fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋ ＝0， ② ①式減去②式并移項(xiàng)，利用0xn＋pxn≤1，得 xn－xn＋p＝ 因此，對(duì)任意p∈N*，都有0xn－xn＋p .,