2019-2020年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識精講 文 蘇教版選修1-1.doc

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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識精講 文 蘇教版選修 1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 雙曲線 二. 重點、難點： 重點：雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)掌握雙曲線的標準方程的推導(dǎo)及標準方程 難點：理解參數(shù) a、b、c、e 的關(guān)系及漸近線方程 三. 主要知識點 1、雙曲線的定義： 平面內(nèi)到兩定點 F1、F 2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于|F 1F2|）的點的軌跡叫做 雙曲線. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距 說明：雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF 1|MF 2|2a，其中 2a|F 1F2|，這里要注意 兩點： （1）距離之差的絕對值. （2）2a|F 1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同 當|MF 1|MF 2|2a 時，雙曲線僅表示焦點 F2所對應(yīng)的一支； 當|MF 1|MF 2|2a 時，雙曲線僅表示焦點 F1所對應(yīng)的一支； 當 2a|F 1F2|時，軌跡是一直線上以 F1、F 2為端點向外的兩條射線； 當 2a|F 1F2|時，動點軌跡不存在. 2、標準方程的推導(dǎo) （1）建系設(shè)點 建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量（距離、直線 斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認識到下列選取方法是恰 當?shù)? 以兩定點 F1、F 2的直線為 x 軸，線段 F1F2的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標系（如 圖） 設(shè)|F 1F2|2c（c0） ，M（x，y）為雙曲線上任意一點，則有 F1（c，0） ， F2（c，0） （2）點的集合 由定義得出橢圓雙曲線集合為：PM|MF 1MF 2|2a. （3）代數(shù)方程 2()()xcyxcya （4）化簡方程（其中 c2a 2+b2） 3、兩種雙曲線性質(zhì)的比較 焦點在 x 軸上的雙曲線 焦點在 y 軸上的雙曲線 幾何 條件 與兩個定點的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于這兩個定點之間的距離） 標準 方程 1（a0，b0） 1（a0，b0） 圖形 o x y 范圍 |x|a |y|a 對稱性 x 軸，y 軸，原點 頂點 坐標 （a，0） （0，a） 實軸 虛軸 x 軸，實軸長 2a y 軸，虛軸長 2b y 軸，實軸長 2a x 軸，虛軸長 2b 焦點 坐標 （c，0）c （0，c）c 離心率 e， e 1 漸近線 yx yx 4、方法小結(jié) （1）由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點位置設(shè)出方程的 形式（含有參數(shù)） ，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意： 當焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏； 已知漸近線的方程 bxay0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為 b2x2a 2y2（0） ，根據(jù)其他條件確定 的值.若求得 0，則焦點在 x 軸上，若 求得 0，則焦點在 y 軸上 （2）由已知雙曲線的方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標準形式，再計算，并要 特別注意焦點位置，防止將焦點坐標和準線方程寫錯 （3）雙曲線中有一個重要的 RtOAB（如下圖） ，它的三邊長分別是 a、b、c易見 c2a 2+b2，若記AOB，則 e x y O FF a b cq B A21 （4）參數(shù) a、b 是雙曲線的定形條件，兩種標準方程中，總有 a0，b0；雙曲線焦 點位置決定標準方程的類型；a、b、c 的關(guān)系是 c2a 2+b2；在方程 Ax2+By2C 中，只要 AB0 且 C0，就是雙曲線的方程 （5）給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線但已知漸近線方程，只是限制 了雙曲線張口的大小，不能直接寫出雙曲線方程但若已知漸近線方程是0，則可把雙 曲線方程表示為（0） ，再根據(jù)已知條件確定 的值，求出雙曲線的方程 【典型例題】 例 1. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： （1）與雙曲線1 有共同的漸近線，且過點（3，2） ； （2）與雙曲線1 有公共焦點，且過點（3，2）. （3）求中心在原點，兩對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過 P（3， ）Q（，5） 剖析：設(shè)雙曲線方程為1，求雙曲線方程，即求 a、b，為此需要關(guān)于 a、b 的兩個 方程，由題意易得關(guān)于 a、b 的兩個方程. 解法一：（1）設(shè)雙曲線的方程為1， 由題意得 22 43() - =1 ab 解得 a2，b 24 所以雙曲線的方程為1 （2）設(shè)雙曲線方程為1. 由題意易求 c2 又雙曲線過點（3，2） ， 1. 又a 2+b2（2） 2， a 212，b 28 故所求雙曲線的方程為1 解法二：（1）設(shè)所求雙曲線方程為（0） ， 將點（3，2）代入得 ， 所以雙曲線方程為 （2）設(shè)雙曲線方程為1， 將點（3，2）代入得 k4，所以雙曲線方程為1 評述：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求 a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e） 之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程 axby0，可設(shè)雙曲線 方程為 a2x2b 2y2（0） 與1 同焦點的可設(shè)為1 （3）設(shè)雙曲線方程為（mn0） 將 PQ 兩點坐標代入求得 m16，n9. 故所求方程為 說明：若設(shè)1 或1 兩種情況求解，比較繁瑣 例 2. ABC 中，A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，B（1，0） ，C（1，0） ，求滿足 sinCsinBsinA 時，頂點 A 的軌跡方程，并畫出圖形 y O x 解：根據(jù)正弦定理得 cba1 即 ABAC1，所以點 A 的軌跡為雙曲線 又 c1，a，bc 2a 2 故雙曲線方程為 34xy（x） 例 3. （xx 年全國，19）設(shè)點 P 到點 M（1，0） 、N（1，0）距離之差為 2m，到 x 軸、 y 軸距離之比為 2，求 m 的取值范圍 剖析：由|PM|PN|2m，得|PM|PN|2|m|知點 P 的軌跡是雙曲線，由點 P 到 x 軸、y 軸距離之比為 2，知點 P 的軌跡是直線，由交軌法求得點 P 的坐標，進而可求得 m 的取值范圍. 解：設(shè)點 P 的坐標為（x，y） ，依題意得2，即 y2x（x0） 因此，點 P（x，y） 、M（1，0） 、N（1，0）三點不共線，得 |PM|PN|0， 00 解得 0|m|，即 m 的取值范圍為（，0）（0， ） 評述：本題考查了雙曲線的定義、標準方程等基本知識，考查了邏輯思維能力及分析 問題、解決問題的能力解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義 例 4. （xx 年春季上海）已知橢圓具有的性質(zhì)：若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點對稱的兩個 點，點 P 是橢圓上任意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為 kPM、k PN時，那么 kPM 與 kPN之積是與點 P 位置無關(guān)的定值試對雙曲線 C：1 寫出具有類似特性的性質(zhì)， 并加以證明 解：類似的性質(zhì)為若 MN 是雙曲線1 上關(guān)于原點對稱的兩個點，點 P 是雙曲線上任 意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為 kPM、k PN時，那么 kPM與 kPN之積是與點 P 位 置無關(guān)的定值 設(shè)點 M 的坐標為（m，n） ，則點 N 的坐標為（m，n） ，其中1 又設(shè)點 P 的坐標為（x，y） ， 由 kPM，k PN，得 kPMkPN， 將 y2x 2b 2，n 2m 2b 2，代入得 kPMkPN 評注：本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì)，考查類比、歸納、探索問題的能力.它 是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識的綜合性題目，對思維能力有較高的要求 【模擬試題】 （完成時間 60 分鐘，滿分 100 分） 一、選擇題（每小題 4 分，共 40 分） 1. 到兩定點、的距離之差的絕對值等于 6 的點的軌跡是 （ ） A. 橢圓 B. 線段 C. 雙曲線 D. 兩條射線 2. 方程表示雙曲線，則的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 或 3. 雙曲線的焦距是 （ ） A. 4 B. C. 8 D. 與有關(guān) 4.（xx 年天津，4）設(shè) P 是雙曲線1 上一點，雙曲線的一條漸近線方程為 3x2y0，F(xiàn) 1、F 2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF 1|3，則|PF 2|等于 A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. （xx 年春季北京，5） “ab|PA|， 1PO),568,(P故即 ，11 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北 45距中心處. 12