高考數(shù)學大一輪復習 第二章 第11節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課件 理 新人教A版.ppt

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第11節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,.了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次) .了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)不超過三次),整合主干知識,1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) (1)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導 若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)_； 若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)_； 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)為_ (2)單調(diào)性的應用 若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，則yf(x)在該區(qū)間上不變號,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常函數(shù),質(zhì)疑探究1：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f(x)0嗎？f(x)0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？ 提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0， f(x)0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件,2函數(shù)的極值與導數(shù) (1)函數(shù)極小值的概念滿足 函數(shù)yf(x)在點xa處的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都_； f(a)_； 在點xa附近的左側(cè)_，右側(cè)_； 則點xa叫做函數(shù)yf(x)的_，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的_,小,0,f(x)0,f(x)0,極小值點,極小值,(2)函數(shù)極大值的概念滿足 函數(shù)yf(x)在點xb處的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都_； f(b) _0； 在點xb附近的左側(cè)_，右側(cè)_； 則點xb叫做函數(shù)yf(x)的_，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的_；極小值點與極大值點統(tǒng)稱為_，極小值與極大值統(tǒng)稱為_,大,f(x)0,f(x)0,極大值點,極大值,極值點,極值,(3)求可導函數(shù)極值的步驟 求導數(shù)f(x)，寫出導數(shù)的定義域； 求方程f(x)0的根； 列表，檢驗f(x)在方程f(x)0的根左右兩側(cè)的符號(判斷yf(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性)，如果左正右負(左增右減)，那么f(x)在這個根處取得_如果左負右正(左減右增)，那么f(x)在這個根處取得_如果左右兩側(cè)符號一樣，那么這個根不是極值點,極大值,極小值,質(zhì)疑探究2：f(x0)0是可導函數(shù)f(x)在xx0處取極值的什么條件？ 提示：必要不充分條件，因為當f(x0)0且x0左右兩端的導數(shù)符號變化時，才能說f(x)在xx0處取得極值反過來，如果可導函數(shù)f(x)在xx0處取極值，則一定有f(x0)0.,3函數(shù)的最值與導數(shù) 求函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟： (1)求yf(x)在(a，b)內(nèi)的_； (2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中_的一個為最大值， _的一個為最小值,極值,最大,最小,4利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 (1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，建立實際問題的數(shù)學模型，寫出相應的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)并確定定義域； (2)求導數(shù)f(x)，解方程f(x)0； (3)判斷使f(x)0的點是極大值點還是極小值點； (4)確定函數(shù)的最大值或最小值，還原到實際問題中作答,答案：B,答案：C,3從邊長為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為( ) A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3,答案：C,答案：3,5給出下列命題： f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件； 函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的； 函數(shù)的極大值不一定比極小值大； 對可導函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0點為極值點的充要條件； 函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值 其中真命題的是_(寫出所有真命題的序號),解析：錯誤f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，反之不一定如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.所以f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分條件，但不是必要條件錯誤一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值可以不止一個正確一個函數(shù)的極大值與極小值沒有確定的大小關(guān)系，極大值可能比極小值大，也可能比極小值小錯誤對可導函數(shù)f(x)，f(x0)0只是x0點為極值點的必要條件，如yx3在x0時f(0)0，而函數(shù)在R上為增函數(shù)，所以0不是極值點正確當函數(shù)在區(qū)間端點處取得最值時，這時的最值不是極值 答案：,聚集熱點題型,典例賞析1 設函數(shù)f(x)(xa)eax(aR) (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(4,4)內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,名師講壇由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的題型及求解策略：,提醒：含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性需要根據(jù)參數(shù)的取值范圍進行討論,變式訓練 1(2015長春模擬)已知函數(shù)f(x)x2aln x. (1)當a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若g(x)f(x)在1，)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,名師講壇 運用導數(shù)求可導函數(shù)yf(x)的極值的步驟： (1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)； (2)求方程f(x)0的根；,(3)檢查f(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值如果左右符號相同，則此根處不是極值點 提醒：若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值,(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號，結(jié)合與條件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0，知0a1.所以a的取值范圍為a|0a1,利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,名師講壇求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時，首先可判斷函數(shù)在a，b上的單調(diào)性，若函數(shù)在a，b上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則f(a)，f(b)一個為最大值，一個為最小值若函數(shù)在a，b上不單調(diào)，一般先求a，b上f(x)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值 提醒：求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小,變式訓練 3(2015鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)(xk)ex， (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值 解：(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex， 令f(x)0，得xk1. f(x)與f(x)的變化情況如下：,所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，) (2)當k10，即k1時，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增， 所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k， 當0k11，即1k2時，由(1)知f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1. 當k11，即k2時，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減， 所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e. 綜上可知，當k1時，f(x)mink；當1k2時，f(x)minf(k1)ek1； 當k2時，f(x)minf(1)(1k)e.,典例賞析4 (2013重慶高考)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率) (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大,利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題,名師講壇 利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟,(1)設自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并確定其定義域；(2)求函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0得出定義域內(nèi)的實根，確定極值點；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到實際問題中作答,變式訓練 4(2015吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黃瓜進入市場銷售，通過市場調(diào)查，預測黃瓜的價格f(x)(單位：元/kg)與時間x(單位：天，x(0,8且xN*)的數(shù)據(jù)如下表： (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關(guān)系：f(x)axb，f(x)ax2bxc，f(x)abx，其中a0，并求出此函數(shù)；,解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，表述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關(guān)系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，這與函數(shù)f(x)axb，f(x)abx，均具有單調(diào)性不符，所以，在a0的前提下，可選取二次函數(shù)f(x)ax2bxc進行描述,備課札記 _,提升學科素養(yǎng),利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題,當x(0,2)時，g(x)exk0，yg(x)單調(diào)遞增 故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點； (9分) 當k1時， 得x(0，ln k)時，g(x)0，函數(shù)yg(x)單調(diào)遞增 所以函數(shù)yg(x)的最小值為g(ln k)k(1ln k)(10分) 函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點當且僅當,答題模板 用導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般可用以下幾步答題： 第一步：求函數(shù)f(x)的定義域； 第二步：求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)，令f(x)0，求出x； 第三步：由f(x)0(f(x)0)解出相應的x的范圍； 第四步：寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 第五步：反思回顧：查看關(guān)鍵點，易錯點和解題規(guī)范,1一個區(qū)別 極值與最值的區(qū)別 極值是指某一點附近函數(shù)值的比較，因此，同一函數(shù)在某一點的極大(小)值，可以比另一點的極小(大)值小(大)；最大、最小值是指閉區(qū)間a，b上所有函數(shù)值的比較因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，但如果連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值,2兩個注意 (1)注意實際問題中函數(shù)定義域的確定 (2)在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較 3三個防范 (1)求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念,(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取極值的既不充分也不必要條件如y|x|在x0處取得極小值，但在x0處不可導；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的極值點 (3)若yf(x)可導，則f(x0)0是f(x)在xx0處取極值的必要條件,