高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.2-2.1.3 演繹推理、推理案例賞析課件 蘇教版選修2-2.ppt

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2.1.2 演繹推理 2.1.3 推理案例賞析,第 2章 2.1 合情推理與演繹推理,1.了解演繹推理的重要性. 2.掌握演繹推理的基本模式，并能進行一些簡單的推理. 3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.,,學(xué)習(xí)目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 演繹推理及其一般模式——“三段論” 1.演繹推理,,答案,2.三段論,一般到特殊,已知的一般原理,所研究的特殊情況,,思考 (1)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？ 答案 演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確. (2)如何分清大前提、小前提和結(jié)論？ 答案 在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義.例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有的一般意義.,答案,,知識點二 演繹推理與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系,答案,由一般到特殊的,推理,三段論,,在前提和推理形式都正確的前,提下，得到的結(jié)論一定正確,按照嚴格的邏輯法則推理，利,于培養(yǎng)和提高邏輯證明的能力,答案,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 用三段論的形式表示演繹推理 例1 把下列演繹推理寫成三段論的形式. (1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ℃，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100 ℃時，水會沸騰；,解 在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ℃， (大前提) 在一個標準大氣壓下把水加熱到100 ℃， (小前提) 水會沸騰. (結(jié)論),,解析答案,(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除； 解 一切奇數(shù)都不能被2整除， (大前提) 2100＋1是奇數(shù)， (小前提) 2100＋1不能被2整除. (結(jié)論) (3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tan α是三角函數(shù)，因此y＝tan α是周期函數(shù). 解 三角函數(shù)都是周期函數(shù)， (大前提) y＝tan α是三角函數(shù)， (小前提) y＝tan α是周期函數(shù). (結(jié)論),反思與感悟,,反思與感悟,三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時，關(guān)鍵是明確命題的大、小前提，而大、小前提在書寫過程中是可以省略的.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 將下列演繹推理寫成三段論的形式. (1)0.332是有理數(shù)； 解 有限小數(shù)是有理數(shù)， (大前提) 0.332是有限小數(shù)， (小前提) 0.332是有理數(shù). (結(jié)論) (2)y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)； 解 三角函數(shù)是周期函數(shù)， (大前提) 函數(shù)y＝cos x(x∈R)是三角函數(shù)， (小前提) 函數(shù)y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù). (結(jié)論),,解析答案,(3)Rt△ABC的內(nèi)角和為180. 解 三角形內(nèi)角和是180， (大前提) Rt△ABC是三角形， (小前提) Rt△ABC的內(nèi)角和為180. (結(jié)論),,解析答案,題型二 演繹推理在證明數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 例2 在銳角三角形中，求證sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.,同理sin B＞cos C， ② sin C＞cos A. ③ 以上①②③兩端分別相加，有： sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.,即sin A＞cos B， ①,反思與感悟,,反思與感悟,(1)應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略. (2)數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)——大前提、小前提，注意前一個推理的結(jié)論會作為下一個三段論的前提.,,解析答案,證明 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，,,解析答案,證明 函數(shù)定義域為R. 任取x1，x2∈R且x1＜x2.,∴f(x1)－f(x2)＜0. ∴f(x1)＜f(x2).故f(x)為R上的增函數(shù).,,,解析答案,題型三 合情推理、演繹推理的綜合應(yīng)用 例3 如圖所示，三棱錐ABCD的三條側(cè)棱AB，AC， AD兩兩互相垂直，O為點A在底面BCD上的射影. (1)求證：O為△BCD的垂心； 證明 ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A， ∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC. ∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，BC?平面BCD， ∴AO⊥BC，∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD， ∵DO?平面AOD，∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO， ∴O為△BCD的垂心.,,解析答案,(2)類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個關(guān)系，并給出證明.,反思與感悟,證明如下：連接DO并延長交BC于E，連接AE， 由(1)知AD⊥平面ABC，AE?平面ABC， ∴AD⊥AE，又AO⊥ED，,∴AE2＝EOED，,,反思與感悟,合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列bn＝ (n∈N*)也是等比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.,解 類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是： 若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，,證明如下： 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，,,易錯易混,三段論中因忽視大(小)前提致誤,解析答案,返回,防范措施,,解析答案,防范措施,由三式相加得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. ①,三式相加得a2b2＋b2c2＋c2a2≥a2bc＋ab2c＋abc2. ② 由①②得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，又a，b，c∈R＋，,錯因分析 以上過程忽視了小前提“a，b，c不全相等”，因此①②兩式中均為“＞”.,同理b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，,,防范措施,又a，b，c不全相等，故三式相加，得a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. ③ 又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc， 且a，b，c不全相等，三式相加得 a2b2＋b2c2＋c2a2＞a2bc＋ab2c＋abc2， ④ 由③④得a4＋b4＋c4＞a2bc＋ab2c＋abc2，,,利用三段論推理時，正確使用大(小)前提，尤其注意數(shù)學(xué)中有關(guān)公式、定理、性質(zhì)、法則的使用情形.,,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.下列推理中是演繹推理的是______. ①全等三角形的對應(yīng)角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，則∠A＝∠A′； ②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人數(shù)均超過50人； ③由平面內(nèi)三角形的性質(zhì)，推測空間中四面體的性質(zhì)；,解析 ②是歸納推理，③是類比推理，④是歸納推理.,①,,解析答案,1,2,3,4,5,2.指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)， (大前提) 函數(shù)y＝ 是指數(shù)函數(shù)， (小前提) 所以函數(shù)y＝ 是增函數(shù). (結(jié)論) 上述推理錯誤的原因是_____________.,解析 大前提錯誤. 因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0， 且a≠1)在a＞1時是增函數(shù)， 而在0＜a＜1時為減函數(shù).,大前提不正確,,1,2,3,4,5,3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的周期是_____.,解析 f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(2－2－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴f(x＋8)＝f[4＋(4＋x)]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x). ∴T＝8是它的周期.,8,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，兩式相減， 得2an＋1－2an＋an＝0，化簡得2an＋1＝an(n≥2)，,解得n＝3或4，所以所有n的和為7.,答案 7,,解析答案,1,2,3,4,5,當且僅當a＝b＝c時取等號.,,課堂小結(jié),,返回,數(shù)學(xué)中的演繹推理一般是以三段論的格式進行的，三段論是由三個判斷組成的，其中的兩個為前提，另一個為結(jié)論.第一個判斷是提供性質(zhì)的一般判斷，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定義等，第二個判斷是和大前提有聯(lián)系的特殊判斷，叫做小前提，從而產(chǎn)生了第三個判斷——結(jié)論.在推理論證的過程中，一個稍復(fù)雜一點的證明題經(jīng)常要由幾個三段論才能完成，而大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省去，而采取某種簡明的推理格式.,