高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標準方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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第三章 1 橢圓,1.1 橢圓及其標準方程,1.掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決實際問題. 2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程. 3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 橢圓的定義 平面內到兩個定點F1，F(xiàn)2的 的點的集合叫做 .這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 . 知識點二 橢圓的標準方程,,答案,c2＝a2－b2,焦距,距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|),橢圓,焦點,(－c，0)，(c，0),(0，－c)，(0，c),c2＝a2－b2,,返回,思考 (1)橢圓定義中，將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？ 答案 當距離之和等于|F1F2|時，動點的軌跡就是線段F1F2；當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在. (2)確定橢圓的方程需要知道哪些量？ 答案 a，b的值及焦點所在的位置.,答案,題型探究 重點突破,題型一 用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)兩個焦點的坐標分別是(－4,0)，(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離的和是10； 解 因為橢圓的焦點在x軸上，,,解析答案,因為2a＝10，所以a＝5. 又因為c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.,(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0). 解 因為橢圓的焦點在y軸上，,,解析答案,反思與感悟,因為橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，,反思與感悟,,求橢圓的標準方程時，要“先定型，再定量”，即要先判斷焦點位置，再用待定系數(shù)法設出適合題意的橢圓的標準方程，最后由條件確定待定系數(shù)即可.當所求橢圓的焦點位置不能確定時，應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論，但要注意ab0這一條件.當已知橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的標準方程時，把橢圓的方程設成Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)的形式有兩個優(yōu)點：①列出的方程組中分母不含字母；②不用討論焦點所在的坐標軸，從而簡化求解過程.,,解析答案,,解析答案,解 方法一 (1)當焦點在x軸上時，,(2)當焦點在y軸上時，,此時不符合ab0，所以方程組無解.,方法二 設所求橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，,,解析答案,題型二 橢圓定義的應用 例2 已知兩定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)求點P的軌跡方程； 解 依題意知|F1F2|＝2， |PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝42＝|F1F2|， ∴點P的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓，,,解析答案,反思與感悟,(2)若∠F1PF2＝120，求△PF1F2的面積. 解 設m＝|PF1|，n＝|PF2|，則m＋n＝2a＝4. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2， ∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 120)，解得mn＝12.,△PF1F2,反思與感悟,,在橢圓中，由橢圓上的點與兩個焦點組成的焦點三角形引出的問題很多.要解決這些題目，我們經(jīng)常利用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，這就需要我們在解題時，要充分理解題意，分析條件，利用橢圓定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式之間的聯(lián)系建立三角形中的邊角之間的關系.在解題中，經(jīng)常把|PF1||PF2|看作一個整體來處理.,,解析答案,所以a＝5， 故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|， 所以△AF1B的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB| ＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝2a＋2a＝20.,,題型三 與橢圓有關的軌跡問題 例3 已知B、C是兩個定點，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程.,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,解 以過B、C兩點的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，如圖所示. 由|BC|＝8可知點B(－4,0)，C(4,0). 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝108＝|BC|， 因此，點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，這個橢圓上 的點與兩焦點的距離之和2a＝10，但點A不在x軸上. 由a＝5，c＝4， 得b2＝a2－c2＝25－16＝9.,反思與感悟,,利用橢圓的定義求軌跡方程，是先由題意找到動點所滿足的條件，看其是否符合橢圓的定義，再確定橢圓的方程.,,解析答案,返回,跟蹤訓練3 已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內一定點B(3,0)，圓P過點B且與圓A內切，求圓心P的軌跡方程.,,解 如圖，設圓P的半徑為r，又圓P過點B， ∴|PB|＝r. 又∵圓P與圓A內切，圓A的半徑為10， ∴兩圓的圓心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6). ∴圓心P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓. ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.設F1，F(xiàn)2為定點，|F1F2|＝6，動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動點M的軌跡是( ) A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴動點M的軌跡是線段.,D,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,2.已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個焦點坐標是(0,1)，則實數(shù)k的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,B,,解析答案,B,解析 根據(jù)橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3. 而|F1F2|＝4， 所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2， 所以△PF1F2是直角三角形，故選B.,A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,,解析答案,4.“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,C,,解析答案,1,2,3,4,5,由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝100. 又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝100， 即196－2|PF1||PF2|＝100. 解得|PF1||PF2|＝48.,48,,課堂小結,1.平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 當2a|F1F2|時，軌跡是橢圓； 當2a＝|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2； 當2a0，B0，A≠B)求解，避免分類討論，達到了簡化運算的目的.,,返回,