高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1-1.5.2 曲邊梯形的面積、定積分課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分,第 1章 1.5 定積分,1.了解定積分的概念. 2.理解定積分的幾何意義. 3.通過(guò)求曲邊梯形面積的過(guò)程和解決有關(guān)汽車行駛路程問(wèn)題的過(guò)程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想.4.能用定積分的定義求簡(jiǎn)單的定積分.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 1.曲邊梯形的面積 (1)曲邊梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示).,,答案,y＝f(x),(2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 ，對(duì)每個(gè) “以直代曲”，即用矩形的面積近似 代替 的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的 ，對(duì)這些近似值 ，就得到曲邊梯形面積的 (如圖②所示). (3)求曲邊梯形面積的步驟：① ，② ，③ ，④ . 2.求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程 如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用 ，____ ， ， 的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s.,,答案,小曲邊梯形,小曲邊梯形,小曲邊梯形,近似值,求和,近似值,分割,以直代曲,作和,逼近,分割,以直,代曲,作和,逼近,,思考 (1)如何計(jì)算下列兩圖形的面積？,答案,答案 ①直接利用梯形面積公式求解. ②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.,,(2)求曲邊梯形面積時(shí)，對(duì)曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？ 答案 為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越小.,答案,,知識(shí)點(diǎn)二 定積分的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Δx(Δx＝ )，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx，如果當(dāng)Δx→0(亦即n→＋∞)時(shí)，Sn→S(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作S＝ .其中a與b分別叫做 與 ，區(qū)間[a，b]叫做 ，函數(shù)f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .,答案,積分下限,積分上限,積分區(qū)間,被積函數(shù),積分變量,被積式,,思考 (1)如何理解定積分？ 答案 定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，,答案,,答案,答案 ①分割：將區(qū)間[a，b]n等分，記第i個(gè)小區(qū)間為[xi－1，xi]，區(qū)間長(zhǎng)度Δx＝xi－xi－1；,③逼近.,,知識(shí)點(diǎn)三 定積分的幾何意義與性質(zhì) 1.定積分的幾何意義 由直線x＝a，x＝b(ab)，x軸及一條曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有： (1)在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≥0， 則S＝ ，如圖(1)所示， 即 . (2)在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≤0， 則S＝ ，如圖(2)所示， 即 .,答案,,答案,即 (SA，SB表示所在區(qū)域的面積).,,答案,返回,思考 設(shè)v＝v(t)在時(shí)間區(qū)間[t1，t2]上連續(xù)且恒有v(t)≥0，定積分 的意義是什么？ 答案 定積分 表示做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間[t1，t2]內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程，這就是定積分 的物理意義.,,,,,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 對(duì)定積分的理解 例1 用定積分的定義求曲線y＝x3＋1與x＝0，x＝1及y＝0所圍成的曲邊梯形的面積.,,過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記為ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.,解析答案,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,對(duì)圖形進(jìn)行分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積，但這僅是近似值，分割得越細(xì)，近似程度就會(huì)越高，這就是“以直代曲”方法的應(yīng)用.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積.,,解析答案,解 (1)分割： 將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，,過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.,,(2)以直代曲： 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.,為了計(jì)算方便取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，,解析答案,,解析答案,(3)作和： 因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值， 所以n個(gè)小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值.,(4)逼近： 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即Δx愈小時(shí)，和式①的值就愈接近曲邊梯形的面積S， 因此，當(dāng)n→＋∞，即Δx→0時(shí)，和式①的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.,,解析答案,題型二 求汽車行駛的路程 例2 汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程為s＝vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(v的單位：km/h，t的單位：h)，那么它在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？,反思與感悟,,解 將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，,反思與感悟,,反思與感悟,利用類比轉(zhuǎn)化的思想，把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時(shí)間—速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積，再用求曲邊梯形的面積方法來(lái)解決此問(wèn)題.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g＝9.8 m/s2).,解 自由落體的下落速度為v(t)＝gt.,以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.,故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.,,解析答案,題型三 由定積分的幾何意義求定積分 例3 利用定積分的幾何意義，求：,以3為半徑的上半圓，如圖(1)所示.,,解析答案,解 在坐標(biāo)平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線.,反思與感悟 利用定積分的幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積，求不規(guī)則圖形的面積常用分割法，注意分割點(diǎn)的選取.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 利用定積分的幾何意義計(jì)算.,解 如圖①所示，定積分為圖中陰影部分面積A減去B.,解 如圖②所示，定積分為圖中陰影部分面積，,,例4 如圖所示，f(x)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的 面積S為 .,易錯(cuò)易混,因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤,解析答案,返回,防范措施,,錯(cuò)解 錯(cuò)填①或②或③. 錯(cuò)因分析 錯(cuò)誤的原因在于對(duì)定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.,防范措施,若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，,,返回,,定積分的幾何意義是在x軸上半部計(jì)算的面積取正值，在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值.,防范措施,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,解析答案,1.把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為 .,,①與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無(wú)關(guān)； ②與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無(wú)關(guān)； ③與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無(wú)關(guān)； ④與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān).,①,答案,1,2,3,4,,3.求由曲線y＝ x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是 .,解析答案,1.02,1,2,3,4,,4.根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號(hào)連接下列式子：,答案,,,1,2,3,4,,課堂小結(jié),1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟： (1)分割：n等分區(qū)間[a，b]； (2)以直代曲：取點(diǎn)ξi∈[xi－1，xi]；,(4)逼近.“以直代曲”也可以用較大的矩形來(lái)代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn)).,,返回,3.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分. 4.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算.,