高中數(shù)學(xué) 2.3.2平面與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教版 必修2,點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,第二章,2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),第二章,2.3.2 平面與平面垂直的判定,1．直線與平面垂直的判定方法：①定義；②判定定理即：a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，__________，則a⊥α. 2．兩平面的位置關(guān)系：____________． 3．角的定義：從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條________所成的圖形． 4．線面角的定義：一條直線與它在平面內(nèi)的_______所成的銳角或直角．,●知識銜接,b∩c＝A,平行與相交,射線,射影,5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AA1與平面AC所成的角等于( ) A．30 B．45 C．60 D．90 [答案] D,6．如右圖，△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60，則直線AD⊥平面________；直線BD⊥平面________；直線CD⊥平面________. [答案] BDC ADC ABD,,1．二面角,●自主預(yù)習(xí),半平面,半平面,棱,面,棱,角,平面角,直角,α－l－β,P－l－Q,[破疑點(diǎn)] 二面角是從空間一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形；平面角可以把角理解為一個(gè)旋轉(zhuǎn)量，二面角也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成，二面角定量地反映了兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系． [知識拓展] (1)二面角的平面角的大小是由二面角的兩個(gè)面的位置唯一確定的，與選擇棱上的點(diǎn)的位置無關(guān)． (2)平面角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且兩邊都與二面角的棱垂直，這個(gè)角所確定的平面與棱垂直．,2．平面與平面垂直 (1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是__________，就說這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作__________. (2)畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的__________垂直．如圖所示．,直二面角,α⊥β,橫邊,,(3)判定定理,垂線,l?β,垂直,[破疑點(diǎn)] 平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直．通常我們將其記為：線面垂直，則面面垂直．因此處理面面垂直問題(即空間問題)轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題(即平面問題)來解決．,1．如圖所示的二面角可記為( ) A．α－β－l B．M－l－N C．l－M－N D．l－β－α [答案] B,●預(yù)習(xí)自測,,2.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角是( ) A．∠ABC B．∠ABB1 C．∠ABA1 D．∠ABC1 [答案] C [解析],,,3.如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有( )對 A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C,,[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD， ∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD． ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD． 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC． ∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD． 故圖中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD．,4．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：平面ABCD⊥平面BDD1B1. [證明] ∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，AB∩BC＝B， ∴BB1⊥平面ABCD．又BB1?平面 BDD1B1， ∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.,,如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．證明：平面ABM⊥平面A1B1M. [探究] 1．證面面垂直關(guān)鍵讓線面垂直，找平面的垂線． 2．平面A1B1M的垂線是誰？,面面垂直的判定,●互動探究,,規(guī)律總結(jié)：證明平面與平面垂直的方法 根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡單些，判定定理是證明面面垂直的常用方法 ，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直．,,如圖所示，已知△ABC中，∠ABC＝90，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA＝PB＝PC．求證：平面PAC⊥平面ABC．,,[分析] 設(shè)P在平面ABC內(nèi)射影為O，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O為Rt△ABC的外心，即AC中點(diǎn)．,[證明] 取AC中點(diǎn)O，連接PO，OB．因?yàn)锳O＝OC，PA＝PC，所以PO⊥AC．因?yàn)椤螦BC＝90，所以O(shè)B＝OA．又PB＝PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA，即PO⊥OB．所以PO⊥平面ABC．因?yàn)镻O?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．,四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB． (1)求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)； (2)求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)； (3)求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)； (4)求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)．,求二面角的大小,,[探究] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解． [解析] (1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD．又PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD． 又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD． 所以二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90.,(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD為二面角B－PA－D的平面角．又由題意知∠BAD＝90，所以二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90. (3)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角． 又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45. 所以二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45.,規(guī)律總結(jié)：1.求二面角大小的步驟 簡稱為“一作二證三求”．作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇．,,2．作二面角的平面角的方法 方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線． 如圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．,,方法二：(垂線法)過二面的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角． 如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．,,方法三：(垂面法)過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角． 如圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．,,(1)如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是( ) A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．大小關(guān)系不確定 [答案] C [解析] 可作出這兩個(gè)二面角的平面角，易知這兩個(gè)平面角的兩邊分別平行，故這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)．,(2)已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點(diǎn)A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30，∠ACO＝45，求二面角A－BC－O的大?。?[解析] 如圖所示，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD． 設(shè)OC＝a，∵AO⊥α，BC?α， ∴AO⊥BC．又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD． 而AD?平面AOD， ∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角． 由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，AO⊥OC．,,如圖所示，已知三棱錐P－ABC，∠ACB＝90，CB＝4，AB＝20，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC． (1)求證：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角D－AP－C的正弦值； (3)若M為PB的中點(diǎn)，求三棱錐M－ BCD的體積．,線面、面面垂直的綜合問題,●探索延拓,,[探究] 本題的題設(shè)條件有三個(gè)：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中點(diǎn)，PD＝DB＝10.解答本題(1)，只需證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直證明面面垂直，對于(2)首先應(yīng)作出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小題的關(guān)鍵是用等體積法求解．,(2013遼寧)如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)． (1)求證：平面PAC⊥平面PBC； (2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．,,[分析] (1)要證面面垂直，只要證明平面PBC內(nèi)的直線BC垂直于平面PAC；(2)要求二面角C－PB－A的余弦值，先作出它的平面角，再證明，最后計(jì)算． [解析] (1)證明：由AB是圓的直徑，得AC⊥BC， 由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC． 又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． 因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．,易錯(cuò)點(diǎn) 不能正確找出二面角的平面角,●誤區(qū)警示,,[錯(cuò)解] 過A在底面ABCD內(nèi)作AE⊥CD于E，連接PE. ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD． 又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE. 又∵PE?平面PAE，∴CD⊥PE， ∴∠PEA為二面角P－CD－B的平面角． (以下略) [錯(cuò)因分析] 點(diǎn)E的位置應(yīng)首先由已知的數(shù)量關(guān)系確定，而不是盲目地按三垂線法直接作出．在找二面角的平面角時(shí)，一般按照先找后作的原則，避免盲目地按三垂線法作二面角的平面角．,如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大?。?,[解析] ∵SA⊥平面ABC， ∴SA⊥AC，SA⊥BC，SA⊥AB，SA⊥BD． 由已知得SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC， ∴SC⊥BE，∴SC⊥平面BED， ∴SC⊥BD． 又∵BD⊥SA，SA∩SC＝S， ∴BD⊥平面SAC，∴BD⊥AC，BD⊥DE，,1．二面角是指( ) A．一個(gè)平面繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形 B．一個(gè)半平面與另一個(gè)半平面組成的圖形 C．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形 D．兩個(gè)相交的平行四邊形組成的圖形 [答案] C,2．以下角：①異面直線所成角；②直線和平面所成角；③二面角的平面角，可能為鈍角的有( ) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) [答案] B,3．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有 ( ) A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 [答案] D [解析] 平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故選D．,,4．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于________.,,5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求證：平面PAC⊥平面PBD． [分析] 證明本題的關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個(gè)平面．,,[證明] ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥PA． ∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC． 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC． 又∵BD?平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC．,[點(diǎn)評] 證明平面與平面垂直的方法： (1)面面垂直的定義法：證明平面角為直角； (2)面面垂直的判定定理：在一個(gè)面內(nèi)找另一個(gè)面的垂線． 根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡單些，即要證明面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直．,