高考數(shù)學第四章圓與方程4.1.2圓的一般方程課件新人教A版.ppt

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第四章 4.1 圓的方程,4.1.2 圓的一般方程,,學習目標,1.正確理解圓的方程的形式及特點，會由一般式求圓心和半徑. 2.會在不同條件下求圓的一般方程.,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 圓的一般方程的定義 1.當 時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程， 其圓心為 ，半徑為 . 2.當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點 . 3.當 時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形. 思考 若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示圓，需滿足什么條件？,,答案,D2＋E2－4F0,D2＋E2－4F0,答 ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.,知識點二 由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系 已知點M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0).則其位置關系如下表：,,答案,返回,內,外,上,題型探究 重點突破,題型一 圓的一般方程的定義 例1 判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑長.,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,解 方法一 由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，知D＝－4m，E＝2m，F(xiàn)＝20m－20， 故D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，當m＝2時，它表示一個點；,方法二 原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2. 因此，當m＝2時，它表示一個點； 當m≠2時，原方程表示圓.,,對形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法： (1)由圓的一般方程的定義判斷D2＋E2－4F是否為正.若D2＋E2－4F＞0，則方程表示圓，否則不表示圓. (2)將方程配方變?yōu)椤皹藴省毙问胶?，根?jù)圓的標準方程的特征，觀察是否可以表示圓.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練1 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實數(shù)k的范圍是 __________.,解析 由題意可知(－2)2＋12－4k0，,,解析答案,題型二 求圓的一般方程 例2 已知△ABC的三個頂點為A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、圓心坐標和外接圓半徑.,反思與感悟,,解析答案,解 方法一 設△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圓上，,反思與感悟,∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圓心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5.,,方法二 設△ABC的外接圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵A、B、C在圓上，,反思與感悟,∴圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25， 展開易得其一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.,解析答案,,∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A為直角的直角三角形. ∴圓心是線段BC的中點，,反思與感悟,∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 展開得一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.,反思與感悟,,應用待定系數(shù)法求圓的方程時： (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r. (2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.,,解析答案,,,解析答案,,,解析答案,題型三 求動點的軌跡方程 例3 已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點C的軌跡方程.,反思與感悟,,解析答案,解 方法一 設頂點C(x，y)，因為AC⊥BC，且A，B，C三點不共線， 所以x≠3，且x≠－1.,所以直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 方法二 同方法一，得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化簡得x2＋y2－2x－3＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,所以直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 方法三 設AB的中點為D，由中點坐標公式，得D(1，0).,由圓的定義，知動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長的圓(因為A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點). 設C(x，y)，則直角頂點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).,反思與感悟,,求與圓有關的軌跡問題常用的方法. (1)直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設出動點坐標，并找出動點坐標所滿足的關系式. (2)定義法：當列出的關系式符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程. (3)相關點法：若動點P(x，y)隨著圓上的另一動點 Q(x1，y1)運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點的坐標代入已知圓的方程，即得動點P的軌跡方程.,,解析答案,化簡，得x2＋y2＋2x－3＝0.即所求軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝4.,,代入法求圓的方程,解題方法,,例4 已知定圓的方程為(x＋1)2＋y2＝4，點A(1，0)為定圓上的一個點，點C為定圓上的一個動點，M為動弦AC的中點，求點M的軌跡方程.,解析答案,解后反思,,分析 由于點M依賴于動點C，且動點C在圓上，故只要找到點M與點C的坐標關系，再利用點C的坐標滿足圓的方程，即可求得點M的軌跡方程. 解 設點M(x，y)，點C(x0，y0)，,解析答案,解后反思,因為點C與點A不重合，所以x0≠1，即x≠1.,,解后反思,又因為點C(x0，y0)在圓(x＋1)2＋y2＝4上，,將①代入②，得(2x－1＋1)2＋(2y)2＝4(x≠1)， 即x2＋y2＝1(x≠1). 因此，動點M的軌跡方程為x2＋y2＝1(x≠1).,解后反思,,對于“雙動點”問題，若已知一動點在某條曲線上運動而求另一動點的軌跡方程，則通常采用本例的方法，這種求軌跡方程的方法叫做代入法.,,解析答案,解后反思,例5 已知圓的方程為x2＋y2－2x＝0，點P(x，y)在圓上運動，求2x2＋y2的最值.,返回,,忽略有關圓的范圍求最值致誤,易錯點,,分析 由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0，求得x的范圍.而點P(x，y)在圓上，則可將2x2＋y2轉化為關于x的二次函數(shù)，就變成了在給定區(qū)間上求二次函數(shù)的最值問題. 解 由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0. 所以0≤x≤2. 又因為2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 所以0≤2x2＋y2≤8. 所以當x＝0，y＝0時，2x2＋y2有最小值0， 當x＝2，y＝0時，2x2＋y2有最大值8. 故2x2＋y2有最小值0，最大值8.,解后反思,,解后反思,在解答過程中易忽略隱含條件y2＝－x2＋2x≥0，即0≤x≤2，從而放大了x的范圍導致錯誤.因此在解題時一定要仔細審題，明確題目中的已知條件和待求的問題，否則會忽略隱含條件而使范圍變大或縮小.,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是( ) A.(2，3) B.(－2，3) C.(－2，－3) D.(2，－3),∴圓心坐標是(2，－3).,D,,解析答案,2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為( ),1,2,3,4,5,D,1,2,3,4,5,,解析答案,3.M(3，0)是圓x2＋y2－8x－2y＋10＝0內一點，過點M的最長弦所在的直線方程是( ) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0,B,解析 過點M的最長弦應為過點M的直徑所在的直線.,,解析答案,4.圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為( ),1,2,3,4,5,D,1,2,3,4,5,,解析答案,5.圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直徑為3，則m的值為_____.,解析 因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，,,課堂小結,1.圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，來源于圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在應用時，注意它們之間的相互轉化及表示圓的條件. 2.圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設方程時，要根據(jù)實際情況，設出恰當?shù)姆匠?，以便簡化解題過程. 3.對于曲線的軌跡問題，要作簡單的了解，能夠求出簡單的曲線的軌跡方程，并掌握求軌跡方程的一般步驟.,,返回,