高考數(shù)學總復習 第八章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定與性質課件 理.ppt

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第 5 講,直線、平面垂直的判定與性質,1．以空間直線、平面的位置關系及四個公理為出發(fā)點認識,和理解空間中的垂直關系．,2．理解直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理． 3．理解并能證明直線和平面垂直、平面和平面垂直的性質,定理．,4．能用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位,置關系的簡單命題．,1．線面垂直與面面垂直,垂直,（續(xù)表）,2.直線與平面所成的角,(1)如果直線與平面平行或者在平面內，那么直線與平面所,成的角等于 0.,(2)如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角等 于,90.,(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條 斜線與平面所成的角，其范圍是(0，90)．斜線與平面所成 的線面角是這條斜線和平面內經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中 最小的角． 3．二面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖象叫做二面角．從 二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的 兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．平面角,是直角的二面角叫做__________．,直二面角,),D,1．垂直于同一條直線的兩條直線一定( A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能,2．給定空間中的直線 l 及平面α，條件“直線 l 與平面α內,無數(shù)條直線都垂直”是“直線 l 與平面α垂直”的(,),C,A．充要條件 C．必要非充分條件,B．充分非必要條件 D．既非充分又非必要條件,3．如圖 8-5-1，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，下列結論中,正確的個數(shù)是(,),D,圖 8-5-1 ①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.,A．0 個,B．1 個,C．2 個,D．3 個,4．已知三條直線 m，n，l,三個平面α，β，γ.下面四個命,題中，正確的是(,),D,考點 1,直線與平面垂直的判定與性質,例 1：(2014 年山東)如圖 8-5-2，在四棱錐 P-ABCD 中，AP E，F(xiàn) 分別為線段 AD，PC 的中點． (1)求證：AP∥平面 BEF； (2)求證：BE⊥平面 PAC. 圖 8-5-2,(2)由題意知，ED∥BC，ED＝BC， ∴四邊形 BCDE 為平行四邊形． 因此 BE∥CD.,又 AP⊥平面 PCD，,∴AP⊥CD，因此 AP⊥BE. ∵四邊形 ABCE 為菱形， ∴BE⊥AC.,又 AP∩AC＝A，AP，AC?平面 PAC， ∴BE⊥平面 PAC.,【規(guī)律方法】直線與直線垂直?直線與平面垂直?平面與 平面垂直?直線與平面垂直?直線與直線垂直，通過直線與平 面位置關系的不斷轉化來處理有關垂直的問題.出現(xiàn)中點時，平 行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn)圓 周上的點時，聯(lián)想到直徑所對的圓周角為直角.,【互動探究】 1．如圖 8-5-3，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直徑， C 是⊙O 上的一點，E，F(xiàn) 分別是 A 在 PB，PC 上的射影，則下,列結論中正確命題的個數(shù)是(,) 圖 8-5-3,①AF⊥PB；②EF⊥PC；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.,A．1 個 C．3 個,B．2 個 D．4 個,解析：①②③正確，又AF⊥平面 PBC，假設AE⊥平面PBC， ∴AF∥AE，顯然不成立，故④錯誤． 答案：C,考點 2,平面與平面垂直的判定與性質,例 2：(2014 年江蘇)如圖 8-5-4，在三棱錐 P-ABC 中，D， E，F(xiàn) 分別為棱 PC，AC，AB 的中點，已知 PA ⊥AC，PA ＝6， BC＝8，DF＝5，求證： (1)直線 PA ∥平面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC.,圖 8-5-4,證明：(1)∵D，E 分別是 PC，AC 的中點， ∴PA∥DE.,又 DE?平面 DEF，且 PA ?平面 DEF， ∴直線 PA∥平面 DEF. (2)由(1)知，PA∥DE.,又 PA⊥AC，∴DE⊥AC. 又 F 是 AB 的中點，,又 DF＝5，∴DE2＋EF2＝DF2，即 DE⊥EF. 又 EF∩AC＝E，∴DE⊥平面 ABC.,又 DE?平面 BDE，故平面 BDE⊥平面 ABC.,【規(guī)律方法】證明兩個平面互相垂直，就是證明一個平面 經(jīng)過另一個平面的一條垂線，從而將面面垂直的問題轉化為線 面垂直的問題.,【互動探究】 2．如圖 8-5-5，在立體圖形 D-ABC 中，若 AB＝CB，AD＝,),CD，E 是 AC 的中點，則下列結論正確的是( A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥ 平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥ 平面 BDE,圖 8-5-5,解析：要判斷兩個平面的垂直關系，就需找一個平面內的 一條直線與另一個平面垂直．因為AB＝CB，且E 是AC 的中點， 所以 BE⊥AC，同理有 DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC 在平面 ABC 內，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于AC?平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故選 C.,答案：C,考點 3,線面所成的角,例 3：如圖 8-5-6，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 與 平面 A1B1CD 所成的角． 圖 8-5-6 解：如圖 8-5-6，連接 BC1，交 B1C 于點O，連接A1O，設 正方體的棱長為 a.,又∠BA1O 為銳角，∴∠BA1O＝30. 故 A1B 與平面 A1B1CD 所成的角為 30.,【規(guī)律方法】求直線和平面所成的角時，應注意的問題是： 先判斷直線和平面的位置關系；當直線和平面斜交時，常 有以下步驟：①作——作出或找到斜線與平面所成的角；②證 ——論證所作或找到的角為所求的角；③算——常用解三角形 的方法求角；④結論——點明斜線和平面所成角的值．,解析：如圖 D38，連接AC交BD 于點O， 連接 C1O，過點 C 作 CH⊥C1O 于點 H. 圖 D38,【互動探究】 3．(2013 年大綱)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝,2AB，則 CD 與平面 BDC1 所成角的正弦值等于(,),●難點突破●,⊙立體幾何中的探究性問題,例題：已知四棱錐 P-ABCD 的直觀圖及三視圖如圖 8-5-7. (1)求四棱錐 P-ABCD 的體積；,(2)若點 E 是側棱 PC 的中點，求證：PA ∥平面 BDE； (3)若點 E 是側棱 PC 上的動點，是否無論點 E 在什么位置，,都有 BD⊥AE？并證明你的結論．,圖 8-5-7,思維點撥：(1)由直觀圖三視圖確定棱錐的底面和高，再求,體積．,(2)欲證 PA ∥平面 BDE，需找一個經(jīng)過PA 與平面BDE 相 交的平面，結合 E 為 PC 的中點，AC 與BD 的交點為AC 的中 點，故取平面 PAC.,(3)“無論點 E 在 PC 上的什么位置，都有 BD⊥AE”的含,義是 BD⊥平面 PAC.,(2)證明：如圖 8-5-8，連接 AC，交BD 于點 F，則F 為AC,的中點．,圖 8-5-8,又∵E 為 PC 的中點，∴PA∥EF. 又 PA?平面 BDE，EF?平面 BDE， ∴PA∥平面 BDE.,(3)解：無論點 E 在什么位置，都有 BD⊥AE.證明如下： ∵四邊形 ABCD 是正方形， ∴BD⊥AC.,∵PC⊥底面 ABCD，且 BD?平面 ABCD， ∴BD⊥PC.,又 AC∩PC＝C，∴BD⊥平面 PAC.,∵無論點 E 在 PC 上什么位置，都有 AE?平面 PAC， ∴無論點 E 在 PC 上什么位置，都有 BD⊥AE.,