高考數(shù)學大一輪復習 第2章 第12節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用（二）課件 理.ppt

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,第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用,第十二節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(二),,[考情展望] 1.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.2.導數(shù)與方程、函數(shù)零點、不等式知識交匯命題，綜合考查分析問題和解決問題的能力．,精研析 巧運用 全面攻克,[調研1] (2015·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常數(shù)． (1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)若存在實數(shù)k，使得關于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍． [解析] (1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)，可得 f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]． 當a＝1時，f(1)＝e，f′(1)＝4e. 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.,┃考點一┃ 導數(shù)在方程(函數(shù)零點)中的應用——師生共研型,該類問題的求解，一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值等性質，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．,名師歸納類題練熟,[好題研習],┃考點二┃ 導數(shù)在不等式中的應用——師生共研型,使用導數(shù)方法證明不等式或者研究在一定條件下的不等式問題，基本方法是通過研究函數(shù)性質進行，這里首先要實現(xiàn)問題的轉化，即把不等式問題轉化為函數(shù)的性質問題，構造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，再使用導數(shù)方法研究函數(shù)的性質，如函數(shù)的單調性、函數(shù)的最值、函數(shù)的值域等．本題是把比較大小的兩個式子構造成函數(shù)關系，進行求導確定函數(shù)的單調性，進而求得最終結論．,名師歸納類題練熟,設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的單調區(qū)間與極值； (2)求證：當aln 2－1且x0時，exx2－2ax＋1.,[好題研習],故f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值， 極小值為f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)． (2)證明：設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知，當aln 2－1時，g′(x)的最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)0. 于是對任意x∈R，都有g′(x)0， 所以g(x)在R上單調遞增． 于是當aln 2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)． 而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)0. 即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.,┃考點三┃ 利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 ——師生共研型,令h′(x)＝0，得x＝80. 當x∈(0,80)時，h′(x)0，h(x)是增函數(shù)， ∴當x＝80時，h(x)取到極小值h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一個極值，∴11.25是最小值． 答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．,利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)． (2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值． (4)回歸實際問題作答． 提醒：對于實際問題，若函數(shù)在給定的定義域內只有一個極值點，那么該點也是最值點．,自我感悟解題規(guī)律,[好題研習],,,學方法 提能力 啟智培優(yōu),所謂轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而得到解決的一種方法．一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題． 該思想在利用導數(shù)研究函數(shù)中的應用具體體現(xiàn)在以下三個方面： (1)與恒成立有關的參數(shù)范圍問題； (2)用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題； (3)證明不等式問題．,[思想方法] 轉化與化歸思想在利用導數(shù)研究函數(shù)中的應用,[典例] (2014·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1,1]上的最小值記為g(a)． (1)求g(a)； (2)證明：當x∈[－1,1]時，恒有f(x)≤g(a)＋4. [規(guī)范解答] 解：(1)由a＞0，－1≤x≤1， ①當0＜a＜1時， 若x∈[－1，a]，則f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3＜0，故f(x)在(－1，a)上是減函數(shù)； 若x∈[a,1]，則f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3＞0，故f(x)在(a,1)上是增函數(shù)． 所以g(a)＝f(a)＝a3.,若x∈[－1，a]，h(x)＝x3－3x＋3a－a3，得h′(x)＝3x2－3，則h(x)在(－1，a)上是減函數(shù)，所以h(x)在[－1，a]上的最大值是h(－1)＝2＋3a－a3. 令t(a)＝2＋3a－a3，則t′(a)＝3－3a2＞0， 知t(a)在(0,1)上是增函數(shù)，所以t(a)＜t(1)＝4，即h(－1)＜4. 故f(x)≤g(a)＋4. ②當a≥1時，g(a)＝－2＋3a，故h(x)＝x3－3x＋2，得h′(x)＝3x2－3， 此時h(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，因此h(x)在[－1,1]上的最大值是h(－1)＝4. 故f(x)≤g(a)＋4. 綜上，當x∈[－1,1]時，恒有f(x)≤g(a)＋4.,[跟蹤訓練] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a＞0)． (1)若a＝1時函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若對任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．,[名師指導],