高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理.ppt

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第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù),,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝________________. ②頂點式：f(x)＝________________. ③零點式：f(x)＝ . (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),ax2＋bx＋c(a≠0),a(x－m)2＋n(a≠0),a(x－x1)(x－x2)(a≠0),,知識梳理,1,,答案,,,,,,答案,2.冪函數(shù) (1)定義：形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù). (2)冪函數(shù)的圖象比較,y＝xα,,答案,(3)冪函數(shù)的性質(zhì) ①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義； ②冪函數(shù)的圖象過定點(1,1)； ③當(dāng)α0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ④當(dāng)α0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .( ) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù).( ) (3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小.( ) (4)函數(shù) 是冪函數(shù).( ) (5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.( ) (6)當(dāng)n0時，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù).( ),×,×,√,×,√,×,,答案,思考辨析,即m21， 解得m1.,(－∞，－1)∪(1，＋∞),,,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是_________.,,解析答案,1,2,3,4,5,②,3.函數(shù) 的圖象是____.(填序號),解析 顯然f(－x)＝－f(x)，說明函數(shù)是奇函數(shù)， 同時由當(dāng)0＜x＜1時， 當(dāng)x＞1時， 故只有②符合.,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為______. 解析 如圖，由圖象可知m的取值范圍是[1,2].,[1,2],,解析答案,1,2,3,4,5,(0，＋∞),,答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,,,題型一 求二次函數(shù)的解析式,例1 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式.,,解析答案,思維升華,解 方法一 (利用一般式)： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).,∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.,,解析答案,思維升華,方法二 (利用頂點式)： 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，,∴n＝8，,,解析答案,∵f(2)＝－1，,思維升華,方法三 (利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.,解得a＝－4， ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.,,思維升華,,思維升華,求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，所用所給出的條件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解.,(1)二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式是________________. 解析 依題意可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－1， 又其圖象過點(0,1)， ∴4a－1＝1，,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________. 解析 由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對稱， ∴b＝－2， ∴f(x)＝－2x2＋2a2， 又f(x)的值域為(－∞，4]， ∴2a2＝4， 故f(x)＝－2x2＋4.,－2x2＋4,,解析答案,,,題型二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),命題點1 二次函數(shù)的單調(diào)性,例2 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]， (1)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；,∴要使f(x)在[－4,6]上為單調(diào)函數(shù)， 只需－a≤－4或－a≥6， 解得a≥4或a≤－6. 故a的取值范圍是(－∞，－6]∪[4，＋∞).,,解析答案,(2)當(dāng)a＝－1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.,其圖象如圖所示. 又∵x∈[－4,6]， ∴f(|x|)在區(qū)間[－4，－1)和[0,1)上為減函數(shù)， 在區(qū)間[－1,0)和[1,6]上為增函數(shù).,,解析答案,命題點2 二次函數(shù)的最值,例3 已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，若x∈[－2,3]，則函數(shù)f(x)的最大值為___. 解析 f(x)＝(x－1)2－1， ∵－2≤x≤3(如圖)，,∴[f(x)]max＝f(－2)＝8.,8,,解析答案,已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值.,引申探究,,解析答案,解 ∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴對稱軸為直線x＝1， ∵x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)， ∴應(yīng)進行討論，當(dāng)－21時，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增， 則當(dāng)x＝1時，y取得最小值，即ymin＝－1. 綜上，當(dāng)－21時，ymin＝－1.,命題點3 二次函數(shù)中的恒成立問題,例4 (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，則實數(shù)a的取值范圍為________.,,解析答案,(2)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍為_________.,解析 2ax2＋2x－30在[－1,1]上恒成立. 當(dāng)x＝0時，適合；,,解析答案,思維升華,,思維升華,1.二次函數(shù)最值問題解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 (1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.,已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]. (1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 解 當(dāng)a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]， 所以當(dāng)x＝1時，f(x)取得最小值1； 當(dāng)x＝－5時，f(x)取得最大值37.,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù). 解 函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對稱軸為直線x＝－a， 因為y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故a的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞).,,解析答案,,,題型三 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),解析 由冪函數(shù)的定義知k＝1.,,解析答案,(2)若 則實數(shù)m的取值范圍是__________.,,解析答案,思維升華,解2m＋1m2＋m－1，得－1m2，,解析 因為函數(shù) 的定義域為[0，＋∞)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，,,思維升華,,思維升華,(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式. (2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸.,(1)已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·x－5m－3在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m＝____. 解析 ∵函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1. 當(dāng)m＝2時，－5m－3＝－13，函數(shù)y＝x－13在(0，＋∞)上是減函數(shù)； 當(dāng)m＝－1時，－5m－3＝2，函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù). ∴m＝－1.,－1,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,(2)若 則實數(shù)a的取值范圍是________.,,解析 易知函數(shù) 的定義域為[0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，,,解析答案,返回,,思想與方法系列,,典例 (14分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 思維點撥 參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a≠0時，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸與所給范圍的關(guān)系.,,思想與方法系列,3.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用,,思維點撥,解析答案,返回,溫馨提醒,,規(guī)范解答 解 (1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x在[0,1]上遞減， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. [3分],,解析答案,溫馨提醒,(2)當(dāng)a0時，f(x)＝ax2－2x圖象的開口方向向上，,∴f(x)在[0,1]上遞減. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. [10分],,解析答案,溫馨提醒,(3)當(dāng)a0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下，,∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上遞減. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. [13分],,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)本題在求二次函數(shù)最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數(shù)a的符號進行討論，又對對稱軸進行討論.在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準要一致，二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論. (2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動，仍應(yīng)對區(qū)間進行分類討論.,,思想方法 感悟提高,1.二次函數(shù)的三種形式 (1)已知三個點的坐標(biāo)時，宜用一般式. (2)已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時，常使用頂點式. (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標(biāo)已知時，選用零點式求f(x)更方便. 2.研究二次函數(shù)的性質(zhì)要注意： (1)結(jié)合圖象分析； (2)含參數(shù)的二次函數(shù)，要進行分類討論.,方法與技巧,3.利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧 在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪，再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.,方法與技巧,1.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況. 2.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.如果函數(shù)f(x)＝x2－ax－3在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的范圍是_________.,[8，＋∞),,解析答案,2.函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是___. 解析 f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)?m2－m－1＝1?m＝－1或m＝2. 又在x∈(0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以m＝2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a0)，且f(m)0，則f(m＋1)__0(判斷大小關(guān)系).,∴f(x)的大致圖象如圖所示. 由f(m)0，∴f(m＋1)f(0)0.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.若函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實數(shù)a＝__. 解析 ∵函數(shù)f(x)＝x2－ax－a的圖象為開口向上的拋物線， ∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得， ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,令f(x)0，得－30， ∴不等式f(10x)0可化為010x1，∴x0. 答案 (－∞，0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,則f′(x)＝2ax＋b，∵f′(x)＝－x－1，,6.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a0)，若?x1∈[－1,2]，?x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是_________. 解析 由函數(shù)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)min＝f(1)＝－1，f(x)max＝f(－1)＝3， 即函數(shù)f(x)的值域為[－1,3]， 當(dāng)x∈[－1,2]時，函數(shù)g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，,[3，＋∞),解得a≥3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.當(dāng)0g(x)f(x).,h(x)g(x)f(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,8.已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定義域為R，值域為[1，＋∞)，則a的值為________. 解析 由于函數(shù)f(x)的值域為[1，＋∞)， 所以f(x)min＝1. 又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4， 當(dāng)x∈R時，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1， 即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1.,－1或3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,9.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一個根，求f(x)的表達式；,解 因為f(－2)＝1， 即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a. 因為方程f(x)＝0有且只有一個根， 所以Δ＝b2－4a＝0. 所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－1,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.,所以所求實數(shù)k的取值范圍為(－∞，0]∪[6，＋∞).,由g(x)的圖象知：要滿足題意，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 要使f(x)≥0恒成立， 則函數(shù)在區(qū)間[－2,2]上的最小值不小于0， 設(shè)f(x)的最小值為g(a).,故此時a不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,得a≥－7，又a－4，故－7≤a－4， 綜上得－7≤a≤2.,又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則f(m)＝____. 解析 由已知，必有m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0， ∴m＝3或m＝－1. 當(dāng)m＝3時，函數(shù)即f(x)＝x－1，x∈[－6,6]，f(x)在x＝0處無意義， 故舍去； 當(dāng)m＝－1時，函數(shù)即f(x)＝x3，此時x∈[－2,2]，符合題意. ∴f(m)＝f(－1)＝f(－1)3＝－1.,－1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,12.已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當(dāng)x1時，恒有f(x)1時，恒有f(x)1時，函數(shù)f(x)＝xα的圖象在y＝x的圖象的下方， 作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖象， 由圖象可知α1時滿足題意.,(－∞，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,則圖象的對稱軸為直線x＝0， ∴2－m＝0，m＝2， ∴f(x)＝2x2－1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由題意得： |f(0)|≤1?|n|≤1?－1≤n≤1；|f(1)|≤1?|2＋n|≤1?－3≤n≤－1， 因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1. 由f(x)的圖象可知：要滿足題意，,所以a≤2.,(－∞，2],解析 f(x)＝cos 2x＋asin x＝1－2sin2x＋asin x，令t＝sin x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,15.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0，b∈R，c∈R). (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.,解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍. 解 f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，,∴－2≤b≤0. 故b的取值范圍是[－2,0].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,返回,解析答案,