高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 第2課時(shí) 圓課件 理（選修4-1）.ppt

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,,選考部分 選修系列4,1．會(huì)證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理． 2．會(huì)證相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理． 3．了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會(huì)平行投影；證明平面與圓柱面的截面是橢圓(特殊情形是圓)．,請注意 此部分為選考重點(diǎn)，廣東、全國卷Ⅰ等省多年均有考查．,1．圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的_____． 2．圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于__________的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對的______相等；同圓或等圓中相等的圓周角對的___也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角對的弦是直徑．,一半,它所對的弧,圓周角,弧,3．圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 ①_____互補(bǔ)．②外角等于它的_______． 判定定理：如果一個(gè)四邊形的______互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的______，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．,對角,內(nèi)對角,對角,內(nèi)對角,4．圓的切線 (1)切線判定定理：經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (2)切線性質(zhì)定理：圓的切線____于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過____． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾弧對的圓周角．,垂直,圓心,5．與圓有關(guān)的比例線段 (1)相交弦定理：圓的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的___相等． (2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的___相等． (3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的________． (4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)連線平分___________．,積,積,比例中項(xiàng),兩切線夾角,答案 A,,3．(2014·湖北理) 如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過PA的中點(diǎn)Q作割線交⊙O于C，D兩點(diǎn)．若QC＝1，CD ＝3，則PB＝________. 答案 4 解析 由題意知PA＝PB.PA切⊙O于點(diǎn)A. 由切割線定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4. ∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB.,,4.如右圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則∠DAC＝________. 答案 30° 解析 由弦切角定理，可知∠DCA＝∠B＝60°.又AD⊥l，故∠DAC＝30°.,,5．(2013·廣東理) 如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________.,,,6.如圖，AE是圓的切線，A是切點(diǎn)，AD⊥OE于點(diǎn)D，割線EC交圓于B，C兩點(diǎn)． (1)證明：O，D，B，C四點(diǎn)共圓； (2)設(shè)∠DBC＝50°，∠ODC＝30°，求∠OEC的大?。?答案 (1)略 (2)20°,,,(2)連接OB.因?yàn)椤螼EC＋∠OCB＋∠COE＝180°，結(jié)合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE＝180°－∠OBC－∠DBE＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)＝∠DBC－∠ODC＝20°.,例1 已知⊙O是△ABC的外接圓，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∠A＝80°，那么∠BOC＝______，∠BIC＝______.,題型一 圓周角與圓心角,,【答案】 160°，130° 探究1 (1)圓周角定理是一個(gè)十分重要的定理，涉及圓周角相等的結(jié)論很難用其他結(jié)論代替．由圓周角定理易知，同一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的2倍． (2)三角形的內(nèi)心是內(nèi)切圓的圓心，是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．,(1)如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________． 【解析】 連接AO，OB，因?yàn)椤螦CB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形．故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π. 【答案】 16π,思考題1,,(2)如圖，已知直線AB交⊙O于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)P在圓外，且點(diǎn)M，P在AB的同側(cè)，∠AMB＝35°，設(shè)∠APB＝x，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，x的變化范圍是________．,,【解析】 因?yàn)镻在⊙O外，設(shè)AP與⊙O交于點(diǎn)E，連接BE，如圖，則∠AEB＝∠AMB＝35°.又∠AEB∠APB，所以∠APB0°，所以0°x35°. 【答案】 0°x35°,例2 如圖，BD是⊙O的直徑，E是⊙O上的一點(diǎn)，直線CE交BD的延長線于A點(diǎn)，BC⊥AE于C點(diǎn)，且∠CBE＝∠DBE. 求證：AC是⊙O的切線．,題型二 圓的切線,,【證明】 連接OE，由OE＝OB，得∠OEB＝∠OBE. ∵∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB. ∴OE∥BC.又BC⊥AE，∴OE⊥AC. ∴AC是⊙O的切線． 【答案】 略,探究2 (1)過切點(diǎn)的半徑是一條重要的輔助線，凡涉及切線的問題都要注意應(yīng)用，簡稱“見切點(diǎn)，連半徑”． (2)當(dāng)兩圓相切時(shí)，過切點(diǎn)的公切線是重要輔助線，注意應(yīng)用．,如圖，已知圓上的弧A＝B，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.,思考題2,,【答案】 略,例3 (1)如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接OD交圓O于點(diǎn)M. ①求證：O，B，D，E四點(diǎn)共圓； ②求證：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.,題型三 圓內(nèi)接四邊形與四點(diǎn)共圓,,【證明】 ①連接BE，則BE⊥EC. 又D是BC的中點(diǎn)， ∴DE＝BD. 又∵OE＝OB，OD＝OD， ∴△ODE≌△ODB. ∴∠OBD＝∠OED＝90°. ∴O，B，D，E四點(diǎn)共圓．,,【答案】 略,(2)梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA，CA的延長線于E，F(xiàn). ①求證：AB2＝AE·BC； ②已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的長．,探究3 (1)證明四點(diǎn)共圓是高考?？碱}型，常見的證明方法有：①定義法—到定點(diǎn)距離相等；②如果某兩點(diǎn)在一條線段的同側(cè)時(shí)，可證明兩點(diǎn)對該線段的張角相等；③證明凸四邊形的內(nèi)對角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)對角)等． (2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是探求圓中角相等或互補(bǔ)關(guān)系的常用定理，使用時(shí)要注意觀察圖形，要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置．其性質(zhì)定理是溝通角的相等關(guān)系的重要依據(jù)，解題時(shí)要注意與圓周角定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及垂徑定理的聯(lián)系與綜合．,(1)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK. 求證：∠DMA＝∠CKB.,思考題3,,【答案】 略,(2)如右圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． ①證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓； ②求∠OAM＋∠APM的大?。?,【解析】 ①連接OP，OM， 因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP. 因?yàn)镸是⊙O中弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓．,②由①，得A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM＝∠OPM. 由①，得OP⊥AP. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°. 【答案】 ①略 ②90°,例4 如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC＝2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E.證明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.,題型四 與圓有關(guān)的比例線段,,,,(2)由切割線定理，得PA2＝PB·PC. 因?yàn)镻A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理，得AD·DE＝BD·DC. 所以AD·DE＝2PB2. 【答案】 略,探究4 相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的聯(lián)系：從相交弦定理開始，相交弦定理可以利用相似三角形對應(yīng)邊成比例證明，然后使兩弦的交點(diǎn)P從圓內(nèi)移動(dòng)到圓外得出割線定理，再將一條割線變?yōu)閳A的切線得出切割線定理，最后兩條割線都變?yōu)榍芯€得出切線長定理，充分體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的思想．,如圖所示，⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，AB是⊙O2的直徑，過A點(diǎn)作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)E，并與BO1的延長線交于點(diǎn)P.PB分別與⊙O1，⊙O2交于C，D兩點(diǎn)．求證： (1)PA·PD＝PE·PC； (2)AD＝AE.,思考題4,,【思路】 應(yīng)用切割線定理、弦切角定理等知識(shí)求解． 【證明】 (1)∵PAE，PDB分別是⊙O2的割線， ∴PA·PE＝PD·PB.① 又∵PA，PCB分別是⊙O1的切線和割線， ∴PA2＝PC·PB.② 由①②得PA·PD＝PE·PC.,【答案】 (1)略 (2)略,1．圓內(nèi)接四邊形的重要結(jié)論：內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形．應(yīng)用這些性質(zhì)可以大大簡化證明有關(guān)幾何題的推理過程． 2．圓的切線的性質(zhì)定理及推論有如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)：①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心．于是在利用切線性質(zhì)時(shí)，過切點(diǎn)的半徑是常作的輔助線．,3．判定切線通常有三種方法：①和圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線． 4．與圓有關(guān)的比例線段證明要訣：圓冪定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來搭橋，第三比值作介紹，代數(shù)方法不可少，分析綜合要記牢，十有八九能見效．,