高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2 直線與圓課件 新人教A版.ppt

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最新考綱 1.理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論；2.掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理．,第2講 直線與圓,1．圓周角定理與圓心角定理 (1)圓周角定理及其推論 ①定理：圓上一條弧所對的_______等于它所對的______的一半． ②推論：(ⅰ)推論1：___________所對的圓周角相等；____________中，相等的圓周角所對的___也相等． (ⅱ)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是_____；90°的圓周角所對的弦是_____． (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于________________．,知 識 梳 理,圓周角,圓心角,同弧或等弧,同圓或等圓,弧,直角,直徑,它所對弧的度數(shù),2．弦切角的性質(zhì) 弦切角定理：弦切角等于它_________所對的圓周角． 3．圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)定理：圓的切線_______經(jīng)過_____的半徑． (2)推論： ①推論1：經(jīng)過_____且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____． ②推論2：經(jīng)過_____且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____．,所夾的弧,垂直于,切點(diǎn),圓心,切點(diǎn),切點(diǎn),圓心,4．與圓有關(guān)的比例線段,PC·PD,△BDP,PC·PD,△PDB,PB·PC,△PCA,PB,∠OPB,5. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 ①定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角_____． ②定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的____________． (2)圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論 ①判定定理：如果一個(gè)四邊形的對角_____，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_____． ②推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的_____，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_____．,互補(bǔ),內(nèi)角的對角,互補(bǔ),共圓,對角,共圓,1. 如圖，△ABC中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的 圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長為 ________． 解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4,診 斷 自 測,答案 50°,3．(2014·陜西卷)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________． 答案 3,4. (2015·廣州調(diào)研)如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O 相切，切點(diǎn)為A，∠MAB＝35°， 則∠D＝________． 解析 連接BD，由題意知， ∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°. 答案 125°,5．如圖所示，過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑r＝________． 解析 設(shè)⊙O的半徑為r(r＞0)， ∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3. 延長PO交⊙O于點(diǎn)C， 則PC＝PO＋r＝3＋r. 設(shè)PO交⊙O于點(diǎn)D，則PD＝3－r. 由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC，,考點(diǎn)一 圓周角、弦切角及圓的切線問題 【例1】 如圖所示，⊙O的直徑為6，AB 為⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，BC ＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂 線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E. (1)求∠DAC的度數(shù)； (2)求線段AE的長． 解 (1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.,(2)法一 連接BE，如圖1所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，AB為公共邊，則Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3. 圖1 圖2,法二 連接EC，OC，如圖2所示，則由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°， 又因?yàn)椤螩AB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，從而EC∥AO， 由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因?yàn)镺A＝OC，故四邊形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.,規(guī)律方法 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．,【訓(xùn)練1】 如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E. (1)證明：△ABE∽△ADC； (1)證明 由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD. 因?yàn)椤螦EB與∠ACD是同弧所對的圓周角． 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.,考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的比例線段 【例2】 如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線 PBC交⊙O于點(diǎn)B，C，∠APC的角 平分線分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、 E，求證： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC. 證明 (1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD.又PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.,規(guī)律方法 涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理．,【訓(xùn)練2】 (2013·天津卷)如圖，△ABC 為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦， 且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB 的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于 點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5， 則線段CF的長為________． 解析 由切割線定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4. 因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB. 由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA， 所以∠EAB＝∠ABC，則AE∥BC，,考點(diǎn)三 圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用 【例3】 (2015·銀川一中月考)如圖， 已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)， AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、 C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． (1)證明：A、P、O、M四點(diǎn)共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大?。?(1)證明 連接OP，OM，因?yàn)锳P 與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP. 因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)， 所以O(shè)M⊥BC，,于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓． (2)解 由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得OP⊥AP， 因?yàn)閳A心O在∠PAC的內(nèi)部， 所以∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.,規(guī)律方法 (1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．,【訓(xùn)練3】 如下圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點(diǎn)B為圓心的圓交直線AB于C，D兩點(diǎn)，交圓O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作垂直于AD的直線，交直線AF于H點(diǎn)． (1)求證：B，D，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；,(1)證明 因?yàn)锳B為圓O的一條直徑，所以∠AFB＝90°， 所以∠BFH＝90°. 又DH⊥BD，所以∠HDB＝90°， 所以∠BFH＋∠HDB＝180°， 所以B，D，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．,