高考數(shù)學 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件.ppt

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第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)空間幾何體的側(cè)面積和表面積 ①多面體的表面積: 因為多面體的各面都是平面,所以多面體的表面積就是各個面的_____ _____,即展開圖的面積,側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積.,面積,之和,②旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖及其表面積與側(cè)面積:,2πr2+2πrl,2πr(r+l),2πrl,πrl,π(r′2+r2,+r′l+rl),π(r+r′)l,4πr2,(2)幾何體的體積 ①柱體:V=___(S為底面面積,h為高), 特別地,V圓柱=_____(r為底面半徑,h為高); ②錐體:V=___(S為底面積,h為高), 特別地,V圓錐=_____(r為底面半徑,h為高);,Sh,πr2h,③臺體:V=_____________(S,S′分別為上、下底面面積,h為高), 特別地,V圓臺=______________; ④球:V=______(R為半徑).,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)長方體的外接球 ①球心:體對角線的交點;②半徑:r= (a,b,c為長方體的長、寬、高). (2)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球 ①外接球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的棱長); ②內(nèi)切球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的棱長); ③與各條棱都相切的球:球心是正方體中心;半徑r= a(a為正方體的棱長).,(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分) ①外接球:球心是正四面體的中心;半徑r= a(a為正四面體的棱長); ②內(nèi)切球:球心是正四面體的中心;半徑r= a(a為正四面體的棱長).,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:割補法與等體積轉(zhuǎn)化法. (2)數(shù)學思想:轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程. (3)記憶口訣:臺體體積公式記憶口訣:上底面、下底面,兩底積根加號連,乘高除三體積見.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)多面體的表面積等于各個面的面積之和.( ) (2)錐體的體積等于底面積與高之積.( ) (3)球的體積之比等于半徑比的平方.( ) (4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.( ) (5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球.( ),【解析】(1)正確.多面體的表面積等于側(cè)面積與底面積之和. (2)錯誤.錐體的體積等于底面積與高之積的 . (3)錯誤.球的體積之比等于半徑比的立方. (4)正確.簡單組合體是由簡單幾何體拼接或截去或挖去一部分組成. (5)錯誤.長方體只有外接球,沒有內(nèi)切球. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修2P28習題1.3A組T3改編)如圖,將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐,則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為 .,【解析】設長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出棱錐的體積為 V1= 剩下的幾何體的體積V2= 所以V1∶V2=1∶47. 答案:1∶47,(2)(必修2P36T10改編)一直角三角形的三邊長分別為6cm,8cm,10cm, 繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為 . 【解析】旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個同底面的圓錐,其 表面積為S= 答案: πcm2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·四川高考)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是( ) (錐體體積公式:V= Sh,其中S為底面面積,h為高) A.3 B.2 C. D.1,【解析】選D.根據(jù)所給的側(cè)視圖和俯視圖,該三棱錐的直觀圖如圖所 示.從俯視圖可知,三棱錐的頂點A在底面內(nèi)的投影O為邊BD的中點,所 以AO即為三棱錐的高,其體積為,(2)(2013·天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上.若 球的體積為 ,則正方體的棱長為 . 【解析】設球半徑為R,因為球的體積為 所以R= ,又由球 的直徑與其內(nèi)接正方體的體對角線相等知正方體的體對角線長為3, 故其棱長為 . 答案:,(3)(2014·山東高考)一個六棱錐的體積為2 ,其底面是邊長為2的 正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為 . 【解析】設六棱錐的高為h,斜高為h′, 則由體積V= 得:h=1,h′= 所以側(cè)面積為 ×2×h′×6=12. 答案:12,考點1 幾何體的側(cè)面積及表面積 【典例1】(1)(2014·安徽高考)一個多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為( ) A.21+ B.18+ C.21 D.18,(2)(2015·石家莊模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 .,【解題提示】(1)將三視圖還原為原幾何體,求各個面面積的和. (2)將三視圖還原為原幾何體,可得該幾何體是長方體內(nèi)挖去圓柱后剩下的部分.,【規(guī)范解答】(1)選A.由三視圖可知原幾何體是一個正方 體截去兩個全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24, 兩個全等的三棱錐是以正方體的相對頂點為頂點,側(cè)面是 三個全等的直角邊長為1的等腰直角三角形,其側(cè)面面積的和為3,三棱 錐的底面是邊長為 的正三角形,其表面積的和為 ,故所求幾何體 的表面積為24-3+ =21+ .,(2)由三視圖可知,該幾何體是一個長方體內(nèi)挖去一個圓柱體,如圖所示. 長方體的長、寬、高分別為4,3,1,表面積為 4×3×2+3×1×2+4×1×2=38, 圓柱的底面圓直徑為2,母線長為1,側(cè)面積為2π×1×1=2π, 圓柱的兩個底面面積和為2×π×12=2π. 故該幾何體的表面積為38+2π-2π=38. 答案:38,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點易出錯: (1)由三視圖將對應的幾何體的結(jié)構(gòu)特征還原錯,而誤選. (2)還原幾何體正確,但忽視截去三棱錐后截面是一個邊長為 的正 三角形,其面積和為 ,而誤選C.,【互動探究】把本例題(2)中的三視圖改為如下圖形,求該幾何體的表面積.,【解析】由三視圖知,這是一個底面是矩形的四棱錐, 矩形的長和寬分別是6,2, 四棱錐的高是4, 所以四棱錐的表面積是2×6+2× ×2×5+6×4× + ×6×2 =34+6 .,【規(guī)律方法】幾何體表面積的求法 (1)多面體:其表面積是各個面的面積之和. (2)旋轉(zhuǎn)體:其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和. 計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時,一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行,即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決. (3)簡單組合體:應搞清各構(gòu)成部分,并注意重合部分的處理. (4)若以三視圖的形式給出,解題的關鍵是對給出的三視圖進行分析,從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系,得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.,【變式訓練】(2015·合肥模擬)如圖所示,某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)視圖是平行四邊形,則該幾何體的表面積為( ),【解析】選C.圖中所示的三視圖對應的是一個橫放的四棱柱,該四棱 柱四個側(cè)面都是矩形,上、下兩個底面是平行四邊形,其表面積為 2×3×3+2×3×2+2×3× =30+6 .,【加固訓練】1.(2015·武漢模擬)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A.10π+96 B.9π+96 C.8π+96 D.9π+80,【解析】選C.圖中所示的三視圖對應的是一個由一個圓柱和一個正方體構(gòu)成的簡單組合體,其表面積為S=6×4×4+2π×1×4=96+8π.,2.某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是 .,【解析】由幾何體的三視圖可知,該幾何體是底面為直角梯形的直四 棱柱(如圖所示). 在四邊形ABCD中,作DE⊥AB,垂足為E,則DE=4,AE=3,則AD=5.所以其表 面積為2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92. 答案:92,考點2 幾何體的體積 知·考情 空間幾何體的體積計算是近幾年高考考查空間幾何體的一個重要考向,常與空間幾何體的三視圖、空間的平行、垂直關系等知識綜合,主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:根據(jù)幾何體的直觀圖計算體積 【典例2】(2014·山東高考)三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點, 記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則 = . 【解題提示】本題考查了空間幾何體的體積,可以由底面積和高的比 值求出體積的比值.,【規(guī)范解答】分別過E,C向平面PAB作高h1,h2,由E為PC的中點得 由D為PB的中點得S△ABD= S△ABP, 所以V1∶V2= 答案:,命題角度2:根據(jù)幾何體的三視圖計算體積 【典例3】(2014·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) (本題源于教材必修2P29B組T1) A.12 B.18 C.24 D.30,【解題提示】直接根據(jù)三視圖還原為幾何體,然后求出該幾何體的體積. 【規(guī)范解答】選C.由三視圖可知,該幾何體為如圖所示 的一個三棱柱上面截去一個三棱錐得到的.三棱柱的體 積為 ×3×4×5=30,截去的三棱錐的體積為 × × 3×3×4=6,所以該幾何體的體積為24.,悟·技法 計算幾何體體積的常見類型及解題策略,通·一類 1.(2014·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是( ) A.72cm3 B.90cm3 C.108cm3 D.138cm3,【解析】選B.由三視圖可知,原幾何體是一個長方體和一個三棱柱的組合體,如圖所示: 所以其體積為V=3×4×6+ ×3×4×3=90.,2.(2014·新課標全國卷Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱 長為 ,D為BC中點,則三棱錐A-B1DC1的體積為( ) 【解析】選C.因為B1C1∥BD,所以BD∥面AB1C1,點B和D到面AB1C1的距離 相等,所以,3.(2015·北京模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,當a+b取最大值時,這個幾何體的體積為( ),【解析】選D.由題意知,該幾何體的直觀圖如圖所示, 且AC= ,BD=1,BC=b,AB=a. 設CD=x,AD=y, 則x2+y2=6,x2+1=b2, y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8≥ 所以a+b≤4,當且僅當a=b=2時等號成立,此時x= ,y= ,所以,4.(2015·大連模擬)某一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .,【解析】依題意,可知題中的幾何體是從一個棱長為2的正方體中挖去 一個圓錐,其中該圓錐的底面半徑是1,高是2,因此該幾何體的體積等 于23- π×12×2=8- . 答案:8-,考點3 空間幾何體的外接球、內(nèi)切球問題 【典例4】(1)(2014·湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2015·西安模擬)四面體ABCD的四個頂點都在球O的球面上,AB ⊥平面BCD,△BCD是邊長為3的等邊三角形.若AB=2,則球O的表面積 為( ) A. B.12π C.16π D.32π,【解題提示】(1)先由三視圖畫出直觀圖,判斷這個幾何體是底面是邊長為6,8,10的直角三角形,高為12的水平放置的直三棱柱,底面的內(nèi)切圓的半徑就是得到的最大球的半徑. (2)將四面體ABCD補形成正三棱柱,轉(zhuǎn)化為正三棱柱的外接球問題求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.由三視圖畫出直觀圖如圖,判斷 這個幾何體是底面是邊長為6,8,10的直角三角形,高 為12的水平放置的直三棱柱,直角三角形的內(nèi)切圓的 半徑為r= =2,這就是得到的最大球的半徑.,(2)選C.將四面體ABCD補形成正三棱柱,則其外接球的球心為上、下 底面的中心連線的中點,底面△BCD的外接圓半徑為 ,所以外接球 的半徑R= =2,球O的表面積S=4πR2=16π.,【規(guī)律方法】空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解. (2)若球面上四點P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體,利用4R2=a2+b2+c2求解.,【變式訓練】(2015·鄭州模擬)已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上,且PA,PB,PC兩兩互相垂直,則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為 .,【解析】如圖所示,因為PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以三棱錐P-ABC的外接球就是以PA,PB,PC為棱長的長方體的外接球. 設PA=a,PB=b,PC=c,則有a2+b2+c2=4×32=36, 而三棱錐P-ABC的側(cè)面積為S= ab+ bc+ ac.,又 (當且僅當a=b時取等號), (當且僅當b=c時取等號), (當且僅當a=c時取等號), 所以S≤ (當且僅當a=b=c時取等號). 答案:18,【加固訓練】1.(2015·吉林模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂 點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為 ( ),【解析】選C.由題意知,三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形,其外接圓的圓心O′為其斜邊BC的中點,連接OA,OO′,O′A,由勾股定理得,OA2=O′O2+O′A2. 其中OA=R,OO′= AA1=6,O′A= BC= ,所以球O的半徑為,2.(2015·西安模擬)如圖,已知球O是棱長為1的 正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截球O 的截面面積為( ),【解析】選C.平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓. 因為正方體的棱長為1, 所以AC=CD1=AD1= , 所以內(nèi)切圓的半徑r= , 所以S=πr2=,巧思妙解8 巧用補形法解決立體幾何問題 【典例】(2015·唐山模擬)如圖:△ABC中,AB=8,BC=10, AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.則 此幾何體的體積為 .,【常規(guī)解法】如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐. 所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐. 由題知三棱柱ABC-NDM的體積為 V1= ×8×6×3=72.,四棱錐D-MNEF的體積為: 則幾何體的體積為:V=V1+V2=72+24=96. 答案:96,【巧妙解法】用“補形法”把原幾何體補成一個直三 棱柱,使AA′=BB′=CC′=8, 所以V幾何體= V三棱柱= ×S△ABC·AA′= ×24×8=96. 答案:96,【方法指導】(1)補形法的應用思路:“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法,在解題時,把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中,巧妙地破解空間幾何體的體積等問題,常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形,對于還原補形,主要涉及臺體中“還臺為錐”. (2)補形法的應用條件:當某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分,且求解的問題直接求解較難入手時,常用該法.,【類題試解】如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合,則形成的三棱錐的外接球的表面積為 .,【常規(guī)解法】由已知條件知,平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個正四面體.作AF⊥平面DEC,垂足為F,F即為△DEC的中心.,取EC的中點G,連接DG,AG,過球心O作OH⊥平面AEC,則垂足H為△AEC的 中心.所以外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.因為AG= ,AF= AH= ,在△AFG和△AHO中,根據(jù)三角形相似可知 外接球的表面積S球= 答案:,【巧妙解法】由已知條件知,平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個正四面體.如圖所示,把正四面體放在 正方體中,顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接 球.因為正四面體的棱長為1,所以正方體的棱長為 , 所以外接球直徑2R= 所以R= , 所以外接球的表面積S球= 答案:,