高考數學 5.2 等差數列及其前n項和課件.ppt

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第二節(jié) 等差數列及其前n項和,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)等差數列的概念: 如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于_, 那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的_,一般 用字母d表示;定義的表達式為:_.,同一個常數,公差,an+1-an=d(nN*),(2)等差中項: 如果a,A,b成等差數列,那么A叫做a,b的等差中項,且A=_. (3)等差數列的通項公式: 若等差數列an的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=_.,a1+(n-1)d,(4)等差數列的前n項和公式:,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)通項公式的推廣:an=am+_(n,mN*). (2)等差數列的性質: 若an是等差數列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則_; k+l=2m_(k,l,mN*). 若an,bn是等差數列,則pan+qbn(nN*)是等差數列. Sm,S2m,S3m分別為an的前m項,前2m項,前3m項的和,則Sm,S2m-Sm, _成等差數列.,(n-m)d,ak+al=am+an,ak+al=2am,S3m-S2m,兩個等差數列an,bn的前n項和Sn,Tn之間的關系為 數列an的前n項和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差數列的_條件. (3)等差數列的增減性:d0時為_數列,且當a10時前n項和Sn有最大值.,充分,遞增,遞減,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:整體代入法、待定系數法,等差數列的判定方法,求等差數列前n項和的最大(小)值的方法等. (2)數學思想:函數與方程、分類討論、化歸與轉化.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數,則這個 數列是等差數列.( ) (2)數列an為等差數列的充要條件是對任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ( ) (3)等差數列an的單調性是由公差d決定的.( ),(4)數列an為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數. ( ) (5)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數.( ),【解析】(1)錯誤.若這些常數都相等,則這個數列是等差數列;若這些常數不全相等,這個數列就不是等差數列. (2)正確.如果數列an為等差數列,根據定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對任意nN*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根據定義數列an為等差數列. (3)正確.當d0時為遞增數列;d=0時為常數列;d0時為遞減數列. (4)錯誤.根據等差數列的通項公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當d0時,等差數列的通項公式才是n的一次函數,否則不是.,(5)錯誤根據等差數列的前n項和公式 顯然只有公差d0時才是關于n的常數項為0的二次函數， 否則不是(甚至也不是n的一次函數，即a1=d=0時) 答案：(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P38例1(1)改編)已知等差數列-5,-2,1,則該數列的第20項為 . 【解析】依題意得,該等差數列的首項為-5,公差為3, 所以a20=-5+193=52,故第20項為52. 答案:52,(2)(必修5P46T5改編)在100以內的正整數中有 個能被6整除 的數. 【解析】由題意知,能被6整除的數構成一個等差數列an, 則a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n100,即n 則在100以內有16個能被6整除的數. 答案:16,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014重慶高考)在等差數列an中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 【解析】選B.因為a1+a7=a3+a5,所以a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.,(2)(2014遼寧高考)設等差數列an的公差為d,若數列 為 遞減數列,則( ) A.d0 C.a1d0,【解析】選C.由數列 為遞減數列，得 又由指數函數性質得a1an-1a1an. 由等差數列的公差為d知,an-an-1=d, 所以a1an-1a1ana1an-a1an-10a1(an-an-1)0a1d0.,(3)(2015長春模擬)等差數列an的前n項和為Sn,若S17為一確定常數,則下列各式也為確定常數的是( ) A.a2+a15 B.a2a15 C.a2+a9+a16 D.a2a9a16 【解析】選C.因為S17為一確定常數, 根據公式可知a1+a17為一確定常數, 又a1+a17=a2+a16=2a9, 所以a2+a9+a16為一確定常數,故選C.,(4)(2015福州模擬)在等差數列an中,滿足3a4=7a7,且a10,Sn是數列an前n項的和,若Sn取得最大值,則n=( ) A.7 B.8 C.9 D.10,【解析】選C.設公差為d,由題設得3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以 解不等式an0,即 所以 則n9, 當n9時，an0，同理可得n10時，an0. 故當n=9時，Sn取得最大值.,考點1 等差數列的基本運算 【典例1】(1)(2014福建高考改編)已知等差數列an的前n項和為Sn,若a3=6,S3=12,則a6=( ) A.8 B.10 C.12 D.14 (2)(2015杭州模擬)已知等差數列an,a10=30,a20=50. 求通項an;若數列an的前n項和Sn=242,求n的值.,【解題提示】(1)利用等差數列的前n項和公式及通項公式,求出首項及公差,再利用通項公式求出a6. (2)先求出基本量a1和d,再利用通項公式求解;利用前n項和公式解方程即可.,【規(guī)范解答】(1)選C.設公差為d,由題意知 解得 所以a6=a1+5d=12. (2)設公差為d,由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程組 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10； 由 得方程 解得n=11或n=-22(舍去).,【互動探究】若例題(1)中的已知條件不變，求Sn. 【解析】由本例(1)可知 所以,【規(guī)律方法】 1.等差數列運算問題的通性通法 (1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解. (2)等差數列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了方程的思想.,2.等差數列設項技巧 若奇數個數成等差數列且和為定值時,可設中間三項為a-d,a,a+d;若偶數個數成等差數列且和為定值時,可設中間兩項為a-d,a+d,其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元.,【變式訓練】(2014浙江高考)已知等差數列an的公差d0,設an的前n項和為Sn,a1=1,S2S3=36. (1)求d及Sn. (2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.,【解析】(1)由題意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36, 解得d=2或d=5(舍去). 所以 (2)由(1)知，am+am+1+am+2+am+k=(2m+k1)(k+1)， 所以(2m+k1)(k+1)=65， 由m,kN*知，2m+k1k+11，故 所以,【加固訓練】1.(2013新課標全國卷)設等差數列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】選C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因為 數列an為等差數列，所以d=am+1-am=1，又因為 所以m(a1+2)=0，因為m0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5. 方法二：因為Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm= 3，所以公差d=am+1-am=1,由 由得 代入可得m=5.,方法三：因為數列an為等差數列，且前n項和為Sn, 所以數列 也為等差數列. 所以 解得m=5.經檢驗為原方程的解.故選C.,2.數列an滿足an+1+an=4n-3(nN*). (1)若an是等差數列,求其通項公式. (2)若an滿足a1=2,Sn為an的前n項和,求S2n+1.,【解析】(1)因為an+1+an=4n-3, 所以an+2+an+1=4n+1, 兩式相減得an+2-an=4. 因為an是等差數列, 設公差為d,所以d=2. 又因為a1+a2=1,即a1+a1+d=1, 所以 所以,(2)因為a1=2,a1+a2=1,所以a2=-1. 又因為an+2-an=4, 所以該數列的奇數項與偶數項分別成等差數列,公差均為4, 所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5. 所以S2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(a2+a4+a2n),考點2 等差數列的判定與證明 【典例2】(1)設an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),則下列命題中不正確的 是( ) A.an+1-an是等差數列 B.bn+1-bn是等差數列 C.an-bn是等差數列 D.an+bn是等差數列,(2)(2015上海模擬)已知數列an,對于任意n2,在an-1與an之間插入n個數,構成的新數列bn成等差數列,并記在an-1與an之間插入的這n個數的算術平均值為cn-1. 若an= 求c1,c2,c3的值; 在的條件下是否存在常數,使cn+1-cn是等差數列?如果存在,求出滿足條件的;如果不存在,請說明理由.,【解題提示】(1)根據等差數列的定義,逐一驗證答案后作出判斷. (2)先分別求出a1,a2,a3,a4的值,再由已知分別解出c1,c2,c3的值; 根據的結論,求出cn-1,再根據(cn+1-cn)-(cn-cn-1)為常數,求的值,視的值是否存在則得結論.,【規(guī)范解答】(1)選D.等差數列的通項公式是關于n的一次式形式的函數(一次項系數可以為0).而an+1-an=2n+3,bn+1-bn=2n,an-bn=3n+1,故A、B、C均正確. (2)由題意知a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,在-2,1之間插入兩個數,使之成為等差數列,則可得公差為1. 故在a1與a2之間插入-1,0,得c1= 在a2與a3之間插入2,3,4,得c2=3; 在a3與a4之間插入6,7,8,9,得c3=,在an-1與an之間插入n個數構成等差數列， 則 假設存在使得cn+1-cn是等差數列， 則(cn+1-cn)-(cn-cn-1)=cn+1-cn-(cn-cn-1)= 為常數， 所以=1.即當=1時，cn+1-cn是等差數列.,【規(guī)律方法】等差數列的四個判定方法 (1)定義法:證明對任意正整數n都有an+1-an等于同一個常數. (2)等差中項法:證明對任意正整數n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根據定義得出數列an為等差數列. (3)通項公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對任意正整數n恒成立,根據定義判定數列an為等差數列.,(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據Sn,an的關系,得出an,再使用定義法證明數列an為等差數列. 提醒:等差數列主要的判定方法是定義法和等差中項法,而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題或填空題中簡單判斷.,【變式訓練】(2015南昌模擬)設等差數列an的前n項和為Sn,且a5+a13=34,S3=9. (1)求數列an的通項及前n項和公式. (2)設數列bn的通項公式為bn= 問:是否存在正整數t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差數列?若存在,求出t和m的值;若不存在,請說明理由.,【解析】(1)設公差為d,由題意得 解得a1=1,d=2，故an=2n-1,Sn=n2. (2)由(1)知 要使b1,b2,bm成等差數列，必須2b2=b1+bm, 即 整理得,因為m,t為正整數,所以t只能取2,3,5. 當t=2時,m=7; 當t=3時,m=5; 當t=5時,m=4. 所以存在正整數t,使得b1,b2,bm成等差數列.,【加固訓練】已知等差數列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn, 且Sk=110. (1)求a及k的值. (2)設數列bn的通項bn= 證明數列bn是等差數列,并求其前n 項和Tn.,【解析】(1)設該等差數列為an, 則a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8, 得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去)， 故a=2,k=10.,(2)由(1)得 則 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即數列bn是首項為2，公差為1的等差數列, 所以,考點3 等差數列性質的應用 知考情 對等差數列性質的考查幾乎每年都有涉及,有時以選擇題、填空題出現(xiàn),難度中等偏下,有時在解答題中出現(xiàn),常與求通項an及前n項和Sn結合命題,題目難度中等.,明角度 命題角度1:根據等差數列的性質求基本量 【典例3】(2015廣州模擬)等差數列an前17項和S17=51, 則a5-a7+a9-a11+a13等于( ) A.3 B.6 C.17 D.51 【解題提示】利用等差數列的前n項和公式及性質求解.,【規(guī)范解答】選A.由于S17= 17=17a9=51, 所以a9=3. 根據等差數列的性質a5+a13=a7+a11, 所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.,命題角度2:根據等差數列的性質求前n項和的最值 【典例4】(2015烏魯木齊模擬)設等差數列an的前n項和為Sn,已知a3=12,S120,S130,S130,S130,確定出正負變化的相鄰的兩項,從而確定最值.,【規(guī)范解答】(1)因為S120,S130, 所以 即 又a3=a1+2d=12, 所以解得,(2)由題意及等差數列的性質可得 所以a70. 所以在數列an中，前6項為正，從第7項起，以后各項為負， 故S6最大.,【一題多解】解答本題，你知道幾種解法？ 解答本題還有以下解法. (n=1,2,3,12). 所以 = 因為 所以 所以當n=6時，Sn有最大值，所以S1,S2,S12中值最大的為S6.,悟技法 求等差數列的前n項和Sn最大(小)值的常用方法 1.鄰項變號法：(1)當a10，d0時，滿足 的項數m使得Sn取得最小值為Sm.,2.函數法：利用等差數列的前n項和 (d0), Sn可看成關于n的二次函數式且常數項為0,借助二次函數的 圖象或配方法解決最值問題，注意nN*.,通一類 1.(2015濟南模擬)在等差數列an中，a2+a6= 則 =( ) 【解析】選D.因為a2+a6= 所以 所以,2.(2015成都模擬)設等差數列an的前n項和為Sn,且滿足S150, S160,則 中最大的項為( ),【解析】選D.由 得a80. 由 得a9+a80,則 又S8S7S6,a8a7a6, 則 所以最大的項為 故選D.,3.(2015吉林模擬)設等差數列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,若 對任意正整數n都有 則 的值為_. 【解析】因為an,bn為等差數列， 所以 因為 所以 答案：,4.(2015咸陽模擬)已知公差大于零的等差數列an的前n項和為Sn,且滿足a3a4=117,a2+a5=22. (1)求通項an. (2)求Sn的最小值. (3)若數列bn是等差數列,且 求非零常數c,【解析】(1)因為數列an為等差數列, 所以a3+a4=a2+a5=22. 又a3a4=117, 所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實根, 又公差d0,所以a3a4, 所以a3=9,a4=13, 所以 所以 所以通項an=4n-3.,(2)由(1)知a1=1,d=4, 所以 = 所以當n=1時，Sn最小， 最小值為S1=a1=1.,(3)由(2)知Sn=2n2-n, 所以 所以 因為數列bn是等差數列， 所以2b2=b1+b3,即 所以2c2+c=0, 所以 或c=0(舍去)， 故,巧思妙解7 巧用等差數列的性質求前n項和 【典例】(2015日照模擬)等差數列an的前m項和為30,前3m項和為90,則它的前2m項和為 .,【常規(guī)解法】記等差數列an的前n項和為Sn,公差為d, 由已知得 根據等差數列的前n項和公式得 由可得 把代入得,化簡得d=0, 再由得 所以 答案：60,【巧妙解法一】 由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列， 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即 答案：60,【巧妙解法二】由 得 所以 是以a1為首項， 為公差的等差數列, 從而 成等差數列， 所以 所以 答案：60,【方法指導】 1.熟練掌握等差數列性質的實質 等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形,熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題.,2.應用等差數列的性質解答問題的關鍵 尋找項數之間的關系,但要注意性質運用的條件,如若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),需要當序號之和相等、項數相同時才成立,再比如只有當等差數列an的前n項和Sn中的n為奇數時,才有Sn=na中成立.,【類題試解】在等差數列an中,已知a4+a8=16,則該數列前11項和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176,【常規(guī)解法】選B.設等差數列an的公差為d，由題意可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以 【巧妙解法】選B.在等差數列an中，已知a4+a8=16, 所以a1+a11=a4+a8=16, 所以,