數(shù)字信號處理課件.ppt

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現(xiàn)代數(shù)字信號處理課程回顧,第一章 時域離散隨機信號的分析 第二章 維納濾波和卡爾曼濾波 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 第四章 功率譜估計 第五章 時頻分析,第一章 時域離散隨機信號的分析,主要內(nèi)容： 平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計描述 隨機序列數(shù)字特征的估計 平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng) 時間序列信號模型,對一個隨機序列的統(tǒng)計描述，可以由這個序列的自相關(guān)函數(shù)來高度概括。 對一平穩(wěn)隨機信號，只要知道它的自相關(guān)函數(shù)，就等于知道了該隨機信號的主要數(shù)字特征。,自相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)：,各態(tài)遍歷性：,只要一個實現(xiàn)時間充分長的過程能夠表現(xiàn)出各個實現(xiàn)的特征，就可以用一個實現(xiàn)來表示總體的特性。,x(n)=mx=EX(n),x*(n)x(n+m)=rxx(m)=EX*(n)X(n+m),功率密度譜：,維納辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem）,Pxx()0,隨機序列數(shù)字特征的估計：,估計準(zhǔn)則：無偏性、有效性、一致性 均值的估計： 方差的估計： 自相關(guān)函數(shù)的估計：,平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng)：,相關(guān)卷積定理：,卷積的相關(guān)函數(shù)等于相關(guān)函數(shù)的卷積,ref(m)=rac(m) * rbd(m),ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m),時間序列信號模型：,MA模型,ARMA模型,AR模型,濾波器階數(shù)： 對于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數(shù)是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。 對于FIR濾波器或者M(jìn)A模型的階數(shù)，則是指q的大小，或者說是它的長度減1。 三種信號模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性， 但是對于同一時間序列用不同信號模型表示時，卻有不同的效率。 這里說的效率, 指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。,譜分解定理： 如果功率譜Pxx(ej)是平穩(wěn)隨機序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個零極點均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z),滿足,式中，ak, bk都是實數(shù)，a0=b0=1, 且|k|1, |k|1。,自相關(guān)函數(shù)、功率譜、時間序列信號模型三者之間關(guān)系,第二章 維納濾波和卡爾曼濾波,主要內(nèi)容： FIR維納濾波求解 非因果IIR維納濾波求解 因果IIR維納濾波求解 維納純預(yù)測 維納一步線性預(yù)測 卡爾曼濾波,x(n)=s(n)+v(n),最佳濾波器：,正交性原理：,要使均方誤差為最小，須滿足,Ex (n-j)e* (n)=0 j=0, 1, 2, ,分析：上式說明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號與任一進(jìn)入估計的輸入信號正交，這就是通常所說的正交性原理。,維納霍夫方程：,維納-霍夫（WienerHopf）方程：,FIR維納濾波求解：,k=0, 1, 2, ,設(shè)定d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到,Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z),非因果IIR維納濾波求解：,信號和噪聲不相關(guān)時,因果IIR維納濾波求解：,對于因果IIR維納濾波器，其維納霍夫方程為,k=0, 1, 2, ,圖2.3.5 利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程,利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程:,因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為,因果維納濾波的最小均方誤差為,通過前面的分析, 因果維納濾波器設(shè)計的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行： (1) 根據(jù)觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應(yīng)的信號模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。 (2) 求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得 (3) 積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計算Hopt(z), E|e(n)|2min。,維納預(yù)測：,圖2.4.1(b) 維納預(yù)測器,圖2.4.1(a) 維納濾波器,純預(yù)測： 假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，純預(yù)測問題是在v(n)=0情況下對s(n+N), N0的預(yù)測，此時x(n)=s(n)。 因果情況下，假設(shè)s(n)與v(n)不相關(guān)，純預(yù)測情況下,一步線性預(yù)測：,采用p個最近的采樣值來預(yù)測時間序列下一時刻的值，包括前向預(yù)測和后向預(yù)測兩種。,前向預(yù)測：,得到下面的方程組：,將方程組寫成矩陣形式 （Yule-Walker方程）,后向預(yù)測：,維納霍夫方程,Yule-Walker方程,Levinson-Durbin算法：, Levinson-Durbin的一般遞推公式如下：,卡爾曼濾波：,利用狀態(tài)方程和遞推方法尋找最小均方誤差下狀態(tài)變量 的估計值 ，即,假設(shè)某系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為,Ak為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，描述系統(tǒng)狀態(tài)由時間k-1的狀態(tài)到時間k的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移； Ck為量測矩陣，描述狀態(tài)經(jīng)其作用，變成可量測或可觀測的； xk為狀態(tài)向量，是不可觀測的；yk為觀測向量； wk為過程噪聲；vk為量測噪聲。,第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器,主要內(nèi)容： LMS自適應(yīng)橫向濾波器 LMS自適應(yīng)格型濾波器 最小二乘（LS）濾波 自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用,LMS自適應(yīng)橫向濾波器：,e(n)=d(n)-y(n),最佳權(quán)矢量W*和最小均方誤差：,其中,是一個控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。 方向是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。,Widrow-Hoff LMS算法：,最陡下降法：,Widrow-Hoff LMS算法：,采用梯度的估計值代替梯度的精確值。,LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機變化的， 其統(tǒng)計平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。,圖 3.2.10 LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差,值的影響 對穩(wěn)定性的影響：,對收斂速度的影響：,預(yù)測誤差格型濾波器：,LMS自適應(yīng)格型濾波器：,在滿足預(yù)測誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計算出反射系數(shù)。其方法有：,最小二乘（LS）濾波：,最小二乘準(zhǔn)則以誤差的平方和最小作為最佳準(zhǔn)則的誤差準(zhǔn)則。,自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用：,自適應(yīng)抵消器： （只有與參考輸入相關(guān)的信號才能被抵消）,參考輸入端存在一定的有用信號： 當(dāng)有信號分量泄漏到參考輸入中時，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來評價。,泄露到參考輸入端的有用信號越少，抵消效果越好。,2) 胎兒心電監(jiān)護(hù),其中原始輸入a(t)=f(t)+m(t)+n(t) f(t):胎兒心臟產(chǎn)生信號 m(t):母親心臟產(chǎn)生信號 n(t):噪聲干擾信號（主要由肌肉起的，有時稱“肌肉噪聲”）。,采用自適應(yīng)噪聲抵消器消除胎兒心電圖中母體心臟信號（干擾）。一般采用：四個普通胸導(dǎo)（每路信號相同）記錄母親心跳，作為參考輸入信號。經(jīng)過自適應(yīng)噪聲抵消器處理后，母親心臟干擾信號被顯著消弱，胎兒心聲可辨。,自適應(yīng)逆濾波：,自適應(yīng)均衡器與自適應(yīng)解卷積問題都可歸結(jié)為用自適應(yīng)的方法求逆濾波系統(tǒng)的問題。 自適應(yīng)均衡器用以補償信道干擾的影響，使接收信號與發(fā)送信號完全一致。,第四章 功率譜估計,主要內(nèi)容： 經(jīng)典譜估計：BT法、周期圖法、修正周期圖法； 現(xiàn)代譜估計：AR模型法、最大熵譜估計、特征分解法,BT法：,BT法的加權(quán)協(xié)方差譜估計,周期圖法：,周期圖屬于漸近無偏估計，方差很大，不是一致估計。,修正周期圖法：,Bartlett平均周期圖法 窗口處理法平均周期圖 Welch法（修正的周期圖求平均法）,結(jié)論：傳統(tǒng)的功率譜估計方法，采用觀測到的N個樣本值估計功率譜，認(rèn)為在此觀察到的N個數(shù)據(jù)以外的x(n)=0。因此，無論采取哪一種改進(jìn)方法，總是以減少分辨率為代價，換取估計方差的減少，提高分辨率的問題無法根本解決。,估計功率譜的方法： 首先根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)估計信號自相關(guān)函數(shù)； 求出模型參數(shù)； 最后按照下式求出信號的功率譜:,AR模型法：,AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點。,信號預(yù)測誤差最小原則（或預(yù)測誤差功率最?。?自相關(guān)法（Levinson遞推法） Burg法 協(xié)方差法 修正協(xié)方差法,關(guān)于AR模型階次的選擇 如果是純P階AR信號，應(yīng)選擇模型階次k P。 如果選擇模型階次kP時，將產(chǎn)生對譜的平滑作用，降低譜的分辨率。 對于白噪聲中的AR信號，其階次的選擇應(yīng)折衷考慮。 如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會使譜估計產(chǎn)生偏移， 降低分辨率。 信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次， 因此信噪比低應(yīng)選高的階次。 階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會使估計誤差加大，譜峰分裂。,最大熵譜估計方法：,AR模型功率譜估計和最大熵譜估計的等價性。,第五章 時頻分析,主要內(nèi)容： 線性時頻分析：短時傅里葉變換、Gabor變換、小波分析； 雙線性時頻分析：維格納變換（WD）、Cohen類時頻分布。,傅立葉變換的不足：,缺乏時間和頻率的定位功能； 分析時變信號和非平穩(wěn)信號的局限性； 分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。,短時傅里葉變換：,STFT特點： STFT要求窗口內(nèi)信號平穩(wěn)，即窗口不能太長； 時間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時任意??； 窗口固定不變，分辨率單一； 窗函數(shù)選擇難； STFT建立在信號穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)之上，不能及時反映信號頻譜隨時間變化的情況。,小波分析：,小波基函數(shù),作為小波函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：即 是一帶通函數(shù)，它的時域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時頻定位的角度，希望 是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。,當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對信號作細(xì)致觀察;當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。,a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間,小波變換的特點 多分辨率分析方法； 小波變換的時頻關(guān)系受不確定原理的制約，在時頻平面上的分析窗是可調(diào)的，但分析窗的面積保持不變； 采用不同的尺度a作處理時，各個(a)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率帶寬”為常數(shù)。,維格納變換：（最簡單的時頻分布形式）,WD服從二次疊加原理。,時頻域(t,f)時間-頻率平面。,維格納變換的特點： 因為信號的二次型是信號的能量表示，所以這種分布表示了信號的能量分布； 在某一時刻或某一個頻率處的WD不能解釋為信號的瞬時能量； 兩個信號和的WD有交叉項存在，使得兩個信號和的分布已不再是兩個信號各自分布的和； 滿足二次疊加原理。,模糊函數(shù)：,模糊域（,）時移-頻移平面,同一信號AF及WD互項與自項的位置示意圖,WD中交叉項的抑制： 對信號求模糊函數(shù)，由于模糊函數(shù)的自項始終在 平面的原點處，而交叉項遠(yuǎn)離原點，故可以設(shè)計一個二維低通濾波器，來抑制模糊函數(shù)中的交叉項； 對濾波后的模糊函數(shù)作二維傅立葉變換，得到信號的維格納變換，此時的WD即是抑制了交叉項的新WD。,Cohen類時頻分布：,采用不同的核函數(shù)可以得到不同的時頻分布，時頻分布的各種性質(zhì)要求,則反映在對核函數(shù)的約束條件上。 (,)=1 時， Cohen 類時頻分布將轉(zhuǎn)換成WD，即核函數(shù)是全通函數(shù)，它對AF的互項無抑制作用，因此，其WD也就存在著較大的交叉項。 消除干擾項的方法：應(yīng)該選擇 平面上的二維低通函數(shù)來作為核函數(shù)。,