2019-2020年高三數學第一次月考試題 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三數學第一次月考試題 文（含解析） 【試卷分析】試題中有相當一部分試題是對基本知識、基本技能、基本方法的考查應更多地在知識網絡的交匯點上設計試題，在綜合中考查能力.高中數學的主干知識在高考命題中的主要綜合有：“函數、方程、導數與不等式的綜合”、“函數與數列的綜合”、“三角、向量的綜合”等。數學思想方法是知識綜合的統(tǒng)帥和紐帶，是綜合能力的中心.數學思想總結提煉為：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸思想、猜證結合思想。因此，自覺地、盡早地領悟數學思想方法，以綜合能力為重點和難點，強化訓練，使解題策略與方法明確化和系統(tǒng)化. 一、選擇題（共12個小題，每小題5分，共60分） 【題文】1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} , B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 則A∩B=( ) A （-，-1） B （-1，-） C （-,3） D (3,+) 【知識點】一元二次不等式的解法；交集及其運算． E3 A1 【答案解析】D 解析：因為B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}， 又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}， 所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故選D． 【思路點撥】求出集合B，然后直接求解A∩B． 【題文】2.已知命題，則是( ) A． B． C． D． 【知識點】命題的否定． A3 【答案解析】C 解析：命題p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 故選C 【思路點撥】由題意，命題p是一個全稱命題，把條件中的全稱量詞改為存在量詞，結論的否定作結論即可得到它的否定，由此規(guī)則寫出其否定，對照選項即可得出正確選項. 【題文】3.下列函數中，與函數y=定義域相同的函數為（ ） A． y= B. y= C. y=xex D. 【知識點】正弦函數的定義域和值域；函數的定義域及其求法． B1 【答案解析】D 解析：∵函數y=的定義域為{x∈R|x≠0}， ∴對于A，其定義域為{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不滿足；對于B，其定義域為{x|x＞0}，故B不滿足；對于C，其定義域為{x|x∈R}，故C不滿足；對于D，其定義域為{x|x≠0}，故D滿足；綜上所述，與函數y=定義域相同的函數為：y=．故選D． 【思路點撥】由函數y=的意義可求得其定義域為{x∈R|x≠0}，于是對A，B，C，D逐一判斷即可得答案． 【題文】4.下列命題中，真命題是（ ） A． B． C．的充要條件是 D．是的充分條件 【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；全稱命題；特稱命題；命題的真假判斷與應用. A2 A3 【答案解析】D 解析：因為y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正確； 因為x=﹣5時2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立． a=b=0時a+b=0，但是沒有意義，所以C不正確； a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，顯然正確．故選D． 【思路點撥】利用指數函數的單調性判斷A的正誤；通過特例判斷，全稱命題判斷B的正誤；通過充要條件判斷C、D的正誤； 【題文】5.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　 　) A．60 B．54 C．48 D．24 【知識點】由三視圖求面積、體積. G2 【答案解析】A 解析：由三視圖知：幾何體是一個側面向下放置的直三棱柱，側棱長為4， 底面三角形為直角三角形，直角邊長分別為3，4，斜邊長為5． ∴幾何體的表面積S=S棱柱側+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故選：A． 【思路點撥】幾何體是一個側面向下放置的直三棱柱，根據三視圖判斷底面三角形相關幾何量的數據及棱柱的高的數據，把數據代入棱柱的表面積公式計算． 【題文】6. 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 8 【知識點】循環(huán)結構 . L1 【答案解析】B 解析：由題意循環(huán)中x，y的對應關系如圖： 當x=8時不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出y=4．故選B． 【思路點撥】列出循環(huán)中x，y的對應關系，不滿足判斷框結束循環(huán)，推出結果． 【題文】7.設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，給出下列說法： ①若l⊥α，α⊥β，則l?β；②若l∥α，α∥β，則l?β； ③若l⊥α，α∥β，則l⊥β；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β. 其中說法正確的個數為(　　 ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 0 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系． G4 G5 【答案解析】A 解析：①若l⊥α，α⊥β，則l?β，或l∥β，故①錯； ②若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故②錯； ③若l⊥α，α∥β，則過l作兩個平面M，N，使平面M與α，β分別交于m1，m2，平面N與平面α，β交于n1，n2，則由α∥β得到m1∥m2，n1∥n2，由l⊥α，得l⊥m1，l⊥n1，故l⊥m2，l⊥n2，故l⊥β，故③正確； ④若l∥α，α⊥β，則l⊥β 或l∥β，故④錯．故選：A． 【思路點撥】①可舉反例，l∥β，即可判斷；②由線面平行的性質和面面平行的性質，即可判斷；③運用線面垂直的判定，和面面平行的性質，即可判斷；④由線面平行的性質和面面垂直的性質，即可判斷． 【題文】8.下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【知識點】不等式比較大?。? E1 【答案解析】C 解析：A選項不成立，當x=時，不等式兩邊相等； B選項不成立，這是因為正弦值可以是負的，故不一定能得出sinx+≥2； C選項是正確的，這是因為x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0， D選項不正確，令x=0，則不等式左右兩邊都為1，不等式不成立 綜上，C選項是正確的.故選C 【思路點撥】由題意，可對四個選項逐一驗證，其中C選項用配方法驗證，A，B，D三個選項代入特殊值排除即可. 【題文】9.定義在R上的函數f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x＜-1時， f（x）=-（x+2）2，當-1≤x＜3時，f（x）=x. . 則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=（ ） A. 335 B. 338 C. 1678 D. xx 【知識點】函數的周期性；函數的值．B1 B4菁 【答案解析】B 解析：∵f（x+6）=f（x）， ∴f（x）是以6為周期的函數， 又當﹣1≤x＜3時，f（x）=x， ∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）； 當﹣3≤x＜﹣1時，f（x）=﹣（x+2）2， ∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1， f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx） =[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）]+f（2011）+f（xx） =335×1+f（1）+f（2） =338．故選B． 【思路點撥】由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6為周期的函數，可根據題目信息分別求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案． 【題文】10．正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　) A. B． 16π C． 9π D. 【知識點】球內接多面體；球的體積和表面積. G8 【答案解析】A 解析：設球的半徑為R，則∵棱錐的高為4，底面邊長為2， ∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面積為4π?（）2=．故選：A． 【思路點撥】正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積． 【題文】11.函數的圖象大致為 【知識點】余弦函數的圖象；奇偶函數圖象的對稱性．C3 B4 【答案解析】D 解析：令y=f（x）=， ∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函數y=為奇函數， ∴其圖象關于原點對稱，可排除A；又當x→0+，y→+∞，故可排除B； 當x→+∞，y→0，故可排除C；而D均滿足以上分析．故選D． 【思路點撥】由于函數y=為奇函數，其圖象關于原點對稱，可排除A，利用極限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，從而得到答案D． 【題文】12．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則(　　) A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9 【知識點】函數值的意義；解不等式. B1 E1 【答案解析】C 解析：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得， 解得，f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9， 故選C． 【思路點撥】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程組求出a，b代入0＜f（﹣1）≤3求出c的范圍． 二、填空題(共4個小題，每小題5分，共20分) 【題文】13.某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為，現用分層抽樣的方法從該校 高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取 名學生． 【知識點】分層抽樣方法． I1 【答案解析】15 解析：∵高一、高二、高三年級的學生人數之比為3：3：4， ∴高二在總體中所占的比例是=， ∵用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本， ∴要從高二抽取，故答案為：15 【思路點撥】根據三個年級的人數比，做出高二所占的比例，用要抽取得樣本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人數. 【題文】14．函數f(x)＝lg x2的單調遞減區(qū)間是________． 【知識點】復合函數的單調性． B3 【答案解析】（﹣∞，0） 解析：方法一：y=lgx2=2lg|x|， ∴當x＞0時，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函數； 當x＜0時，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是減函數． ∴函數f（x）=lgx2的單調遞減區(qū)間是（﹣∞，0）． 故填（﹣∞，0）． 方法二：原函數是由復合而成， ∵t=x2在（﹣∞，0）上是減函數，在（0，+∞）為增函數； 又y=lgt在其定義域上為增函數， ∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是減函數，在（0，+∞）為增函數， ∴函數f（x）=lgx2的單調遞減區(qū)間是（﹣∞，0）． 故填（﹣∞，0）． 【思路點撥】先將f（x）化簡，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再討論其單調性，從而確定其減區(qū)間；也可以函數看成由復合而成，再分別討論內層函數和外層函數的單調性，根據“同増異減”再來判斷． 【題文】15．已知是奇函數，且，若，則 . 【知識點】函數奇偶性的性質；函數的值．B4 B1 【答案解析】-1 解析：由題意，y=f（x）+x2是奇函數，且f（1）=1， 所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3 所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案為﹣1 【思路點撥】由題意，可先由函數是奇函數求出f（﹣1）=﹣3，再將其代入g（﹣1）求值即可得到答案 【題文】16．設是定義在上且周期為2的函數，在區(qū)間上， 其中．若， 則的值為 ． 【知識點】函數的周期性；分段函數的解析式求法及其圖象的作法． B4 B1 【答案解析】-10 解析：∵f（x）是定義在R上且周期為2的函數，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=， ∴1﹣a=① ，又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②，由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10．故答案為：﹣10． 【思路點撥】由于f（x）是定義在R上且周期為2的函數，由f（x）的表達式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解關于a，b的方程組可得到a，b的值，從而得到答案． 三、解答題（共6道大題，共70分） 【題文】17．設函數f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N. (1)求M； (2)當x∈M∩N時，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 【知識點】不等式的解法；交集及其運算． E1 A1 【答案解析】（1）{x|0≤x≤}；（2）證明：略. 解析：(1)f(x)＝ 當x≥1時，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤； 當x＜1時，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1. 所以f(x)≤1的解集M={x|0≤x≤} (2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得,－≤x≤， 因此N={x|－≤x≤}，故M∩N={x|0≤x≤} 當x∈M∩N時，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝ x(1－x)＝－≤. 【思路點撥】（Ⅰ）由所給的不等式可得 ①，或 ②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．當x∈M∩N時，f（x）=1﹣x，不等式的左邊化為﹣，顯然它小于或等于 ，要證的不等式得證． 【題文】18．某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計 南方學生 60 20 80 北方學生 10 10 20 合計 70 30 100 (1)根據表中數據，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”； (2)已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生，其中2名喜歡甜品，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率． 附：　K2＝ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【知識點】獨立性檢驗的應用；古典概型及其概率計算公式．I4 K2 【答案解析】(1) 有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”．(2) . 解析：(1)將2×2列聯(lián)表中的數據代入公式計算，得 χ2＝＝≈4.762. 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”． (2)從5名數學系學生中任取3人的一切可能結果所組成的基本事件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}， 其中ai表示喜歡甜品的學生，i＝1，2，bj表示不喜歡甜品的學生，j＝1，2，3. Ω由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現是等可能的． 用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}． 事件A由7個基本事件組成，因而P(A)＝. 【思路點撥】（Ⅰ）根據表中數據，利用公式，即可得出結論； （Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解． 【題文】19．如圖1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分別是A1C1，BC的中點． (1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求證：C1F∥平面ABE； (3)求三棱錐E - ABC的體積． 【知識點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定． G4 G5 G1 【答案解析】(1)證明：略；（2）證明：略；（3） . 解析：(1)證明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. 又因為AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明：取AB的中點G，連接EG，FG. 因為E，F，G分別是A1C1，BC，AB的中點， 所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1. 因為AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四邊形FGEC1為平行四邊形， 所以C1F∥EG. 又因為EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. (3)因為AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝. 所以三棱錐E - ABC的體積 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝. 【思路點撥】（Ⅰ）證明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1； （Ⅱ）證明C1F∥平面ABE，只需證明四邊形FGEC1為平行四邊形，可得C1F∥EG； （Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱錐E﹣ABC的體積． 【題文】20．已知函數f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對數的底數． (1)證明：f(x)是R上的偶函數． (2)若關于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求實數m的取值范圍． 【知識點】函數的奇偶性；不等式恒成立問題． B4 E8 【答案解析】(1)證明：略；（2）m ≤－ . 解析：(1)證明：因為對任意 x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(-x)＝e－x＋ex＝f(x)， 所以f(x)是R上的偶函數． (2)由條件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t＝ex(x>0)，則 t>1，所以 m≤－＝ －對任意 t>1成立． 因為t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－， 當且僅當 t＝2, 即x ＝ ln 2時等號成立． 因此 m ≤－ 【思路點撥】（1）根據函數奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數； （2）利用參數分離法，將不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，進行轉化求最值問題即可求實數m的取值范圍． 【題文】21．如圖在四棱錐A - BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝. (1)證明：AC⊥平面BCDE； (2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值． 【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．G12 【答案解析】（1）證明：略；（2） . 解析：(1)證明：連接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE. (2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC. 作EF∥BD，與CB的延長線交于點F，連接AF，則EF⊥平面ABC. 所以∠EAF是直線AE與平面ABC所成的角． 在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝； 在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝. 在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝. 所以，直線AE與平面ABC所成的角的正切值是. 【思路點撥】（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四邊形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC==．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性質定理即可得出結論． （Ⅱ）過點E作EM⊥CB交CB的延長線于點M，連接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性質定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的邊角關系即可得出． 【題文】22．函數f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)． (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數，求a的取值范圍． 【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．B12 【答案解析】(1) a≥1時，是R上的增函數；0＜a＜1時，f(x)分別在 (－∞，)，(，＋∞)是增函數；f(x)在(，)是減函數；a＜0時，f(x)分別在(－∞，)，(，＋∞)是增函數；f(x)在(，)是減函數．（2）a的取值范圍[）∪（0，+∞）． 解析：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判別式Δ＝36(1－a)． (i)若a≥1，則f′(x)≥0，且f′(x)＝0當且僅當a＝1，x＝－1時成立．故此時f(x)在R上是增函數． (ii)由于a≠0，故當a＜1時，f′(x)＝0有兩個根； x1＝，x2＝. 若0＜a＜1，則當x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)分別在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函數； 當x∈(x2，x1)時，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是減函數． 若a＜0，則當x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)時，f′(x)＜0，故f(x)分別在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是減函數； 當x∈(x1，x2)時f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函數． (2)當a＞0，x＞0時，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故當a＞0時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數． 當a＜0時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數當且僅當f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0. 綜上，a的取值范圍[）∪（0，+∞）． 【思路點撥】（Ⅰ）求出函數的導數，通過導數為0，利用二次函數的根，通過a的范圍討論f（x）的單調性； （Ⅱ）當a＞0，x＞0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數，當a＜0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范圍．