高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第4講 推理與證明課件.ppt

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第4講 推理與證明,專題四 數(shù)列、推理與證明,,,,,高考真題體驗,熱點分類突破,高考押題精練,欄目索引,,,高考真題體驗,,,1,2,3,4,1.(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個數(shù)為( ) A.77 B.49 C.45 D.30,1,2,3,4,解析 如圖，集合A表示如圖所示的所有 圓點“ ”，,集合B表示如圖所示的所有圓點“ ”＋ 所有圓點“ ”，,集合AB顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個點{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(即橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點)，,1,2,3,4,即集合AB表示如圖所示的所有圓點“ ”＋所有圓點“ ”＋所有圓點“ ”，共45個.,故AB中元素的個數(shù)為45.故選C.,答案 C,1,2,3,4,2.(2014·北京)學生的語文、數(shù)學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有( ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人,1,2,3,4,解析 假設(shè)滿足條件的學生有4位及4位以上， 設(shè)其中4位同學分別為甲、乙、丙、丁， 則4位同學中必有兩個人語文成績一樣，且這兩個人數(shù)學成績不一樣(或4位同學中必有兩個數(shù)學成績一樣，且這兩個人語文成績不一樣)， 那么這兩個人中一個人的成績比另一個人好， 故滿足條件的學生不能超過3人.,1,2,3,4,當有3位學生時，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”， 則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人. 答案 B,1,2,3,4,3.(2015·山東)觀察下列各式：,……,1,2,3,4,解析 觀察每行等式的特點，每行等式的右端都是冪的形式， 底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個組合數(shù)的上標相等，,4n－1,1,2,3,4,4.(2015·福建)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?). 已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組：,x4x5x6x7＝0， x2x3x6x7＝0， x1x3x5x7＝0，,,1,2,3,4,其中運算定義為00＝0,01＝1,10＝1,11＝0. 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗方程組可判定k等于_____.,解析 (ⅰ)x4x5x6x7＝1101＝1， (ⅱ)x2x3x6x7＝1001＝0； (ⅲ)x1x3x5x7＝1011＝1. 由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一個錯誤，(ⅱ)中沒有錯誤， ∴x5錯誤，故k等于5.,5,考情考向分析,,,,1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn). 2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題.,熱點一 歸納推理,熱點分類突破,,,,(1)歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理. (2)歸納推理的思維過程如下：,正方形數(shù) N(n,4)＝n2，,六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n ……,可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝__________.,解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，,1 000,思維升華,,歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應用.其思維模式是“觀察—歸納—猜想—證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想.,,,跟蹤演練1 (1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是( ),A.26 B.31 C.32 D.36,解析 有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：,由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列， 所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5×(6－1)＝31. 故選B.,答案 B,(2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是( ),A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85,解析 由已知圖形中座位的排列順序， 可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號臨窗， 由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗， 分析答案中的4組座位號，只有D符合條件. 答案 D,熱點二 類比推理,(1)類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理. (2)類比推理的思維過程如下：,解析 平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比， 而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，,解析 ch x ch y－sh x sh y,故知ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y， 或sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y， 或sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y. 答案 ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y,思維升華,,,,類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比.,解析 由{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，,又正項數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，,答案 D,解析 設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，,因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，,熱點三 直接證明和間接證明,直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч?，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導出矛盾的證明方法.,(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；,由anan＋10，知數(shù)列{an}的項正負相間出現(xiàn)，,(2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列. 證明 假設(shè)存在某三項成等差數(shù)列， 不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)， 可設(shè)mnp，,那么只能有2bn＝bm＋bp，,上式不可能成立，則只能有n－m＝1，,所以假設(shè)不成立，那么數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列.,思維升華,,,,(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個結(jié)論不成立的例子即可. (2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用.,跟蹤演練3 (1)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.,只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立. 于是原等式成立.,證明 假設(shè)x0是f(x)＝0的負根，,熱點四 數(shù)學歸納法,數(shù)學歸納法證明的步驟 (1)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時結(jié)論成立. (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論成立，證明n＝k＋1時結(jié)論也成立. 由(1)(2)可知，對任意n≥n0，且n∈N*時，結(jié)論都成立.,(1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大??；,解 當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；,(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明. 解 由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學歸納法給出證明. ①當n＝1,2,3時，不等式顯然成立， ②假設(shè)當n＝k(k≥3)時不等式成立，即,那么，當n＝k＋1時，,由①②可知，對一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.,思維升華,,,,用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.難點在于尋求等式在n＝k和n＝k＋1時的聯(lián)系.,(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；,(2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論. 證明 ①易知，n＝1時，猜想正確.,這說明，n＝k＋1時猜想正確.,高考押題精練,,1,2,3,,1.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a42＝8.若aij＝2 011，則i與j的和為________.,,1,2,3,押題依據(jù) 數(shù)表是高考命題的重點，本題以教材中的楊輝三角為背景，考查觀察、分析、歸納猜想的能力.,解析 由三角形數(shù)表的排列規(guī)律知，aij＝2 011， 則i必為奇數(shù). 設(shè)i＝2m＋1.在第i行上面，必有m行為奇數(shù)行，m行為偶數(shù)行. 在前2m行中，共有奇數(shù)m2個. 最大的奇數(shù)為1＋(m2－1)×2＝2m2－1，,1,2,3,由2m2－12 011得m的最大值31. ∴i＝63. 最大的奇數(shù)為1 921，在第63行中，首項為1 923， 即1 923＋(j－1)×2＝2 011， ∴j＝45，故i＋j＝108. 答案 108,1,2,3,,押題依據(jù) 根據(jù)n個等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點，相對而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機率較大.,1,2,3,解析 已知所給不等式的左邊第一個式子都是x，不同之處在于第二個式子，,顯然式子中的分子與分母是對應的，分母為xn，分子是nn，,1,2,3,顯然不等式右邊的式子為n＋1，,,1,2,3,3.設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，證明：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.,押題依據(jù) 反證法是一種重要的證明方法，對含“至多”“至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時有涉及.,1,2,3,因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與q≠0矛盾， 故{Sn}不是等比數(shù)列.,