高中數學 3.1函數的單調性與極值課件 北師大版選修1-1.ppt

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函數的單調性與極值,,,,一、函數的單調性,二、函數的極值,三、函數的最值,一、函數的單調性,從幾何圖形上來分析,,,,可見，函數的單調性可以用導數的符號來判定。,同樣，當 時，曲線在 內是下降。,我們有如下定理：,,,,,,,注意：,（1）將定理中的閉區(qū)間 換成其他各種區(qū) 間定理的結論仍成立。,考察函數,考察函數,,,,例1 判定函數 的單調性。,解 的定義域是 。,例2 求函數 的單調區(qū)間。,解 的定義域是,,,,令 ，得 ，,它們將定義域,當 時，,當 時， 。,所以 的單調增加區(qū)間是 和 ；單 調遞減區(qū)間是,例3 確定函數 的單調區(qū)間。,解 的定義域是,,,,分成三個區(qū)間,令 ，得 ，又 處導數不存在，,， 這兩點將 分成三個區(qū)間，,列表分析 在各個區(qū)間的符號：,,,,,,,二、函數的極值,設函數 在點 的某鄰域內有定義，,1 定義,,,,函數的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和,極小致點統(tǒng)稱為極值點。,注意：極值是局部性的。因而，函數可以有許多個極大值和極小值，并且極大值不一定大于極小值。,,,,2 極值存在的必要條件和充分條件,定理2指出：可導函數的極值點必定是駐點。,,,,使 的點 稱為函數 得駐點。,反過來，駐點不一定是極值點。,考察函數,另一方面，函數不可導的點也可能是極值點。,考察函數,定理3（極值的第一充分條件） 設函數,在點 連續(xù)，且在點 的某一空心鄰域,內可導。,,,,例4 求函數 的極值。,解 的定義域是,,,,令 ，得駐點 。,當 時，,當 時，,當 時， 。,在 處取得極小值,例5 求函數 的極值。,令 ，得駐點 ，而 時 不存在。,由定理3知， 在 處取得極大值 。,,,,因此函數只可能在這兩點取得極值，列表討論如下：,,不存在,,,,函數 的圖形如圖,,,,函數在駐點處二階導數存在時，還可以用函數的二階導數判定函數是否有極值。,（1）如果 ，則 在 取得極大值；,（2）如果 ，則 在 取得極小值。,,,,例6 求函數 的極值。,解 的定義域是,令 ，得到兩個駐點 。,為函數 的極小值。,,,,又,函數的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。,注意下述三種情況：,（1）如果 在 上是單調函數；,三、函數的最值,1 閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數,,,,,,,解,解 如圖設小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為,,,,令 ，得 （舍去）。又,所以函數 在 處取得唯一極大值，此極大值就是 最大值。因此，當截去的正方形的邊長等于所給正方 形鐵皮邊長的 時，所做的方盒容積最大。,方盒的容積為：,,,,解 如圖，設容器的底面半徑為 ，高為 ，,則表面積為,所以,得駐點,,,,由已知,得,故,所以，所做容器的高和底直徑相等時，所用材料最省。,,,,S有唯一駐點，而實際容器存在最小表面積，因 此求得的駐點為最小值點，此時,解 設 , 則,,,,解 利潤為,,,,令 ，得駐點 。,的唯一極大值點，于是 （萬元）是最大值，,即每年生產400臺時，總利潤最大，最大利潤為5萬元。,,,,因為 ，所以 是函數,