高中數(shù)學(xué) 2.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課件 北師大版必修4.ppt

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§6 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,1.平面向量的數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示 (1)數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 設(shè)向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a·b=________. (2)模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示.,x1x2+y1y2,x1x2,+y1y2=0,2.直線的方向向量 (1)定義：與直線l_____的非零向量m稱為直線l的方向向量. (2)性質(zhì)：給定斜率為k的直線l的一個(gè)方向向量為m= _______.,共線,(1，k),1.判一判 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.( ) (2)兩個(gè)向量a與b的夾角公式 適用于 任何向量a,b.( ) (3)兩個(gè)向量的數(shù)量積小于零，兩個(gè)向量的夾角一定為鈍角. ( ) (4)斜率為2的直線l的一個(gè)方向向量為(2,1).( ),【解析】1.(1)正確，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和. (2)錯(cuò)誤,該公式適用于非零向量a與b. (3)錯(cuò)誤，兩個(gè)向量的夾角為180°時(shí)，兩個(gè)向量的數(shù)量積也小于零. (4)錯(cuò)誤,一個(gè)方向向量為(1,2). 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)已知a= 則|a|=________. (2)已知a=(-2,1)，b=(-1，-2)，則向量a與b的關(guān)系為_______. (3)已知a=(1,3)，b=(2,5)，則a·b=________. (4)已知a=(3,0)，b=(-5,5)，則a與b的夾角為________.,【解析】(1)|a|= 答案：2 (2)a·b=-2×(-1)-2=0，所以a⊥b. 答案：a⊥b (3)a·b=1×2+3×5=17. 答案：17,(4)設(shè)兩向量a與b的夾角為θ， 則cos θ= 又θ∈［0，π］，所以θ= 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示 1.數(shù)量積的坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)與特點(diǎn) (1)實(shí)質(zhì)：是將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,它使得數(shù)量積的計(jì)算更為方便，簡單. (2)特點(diǎn)：等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和.,2.向量模的坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)質(zhì) a=(x,y),則在平面直角坐標(biāo)系中,一定存在點(diǎn)A(x,y),使得 =a=(x,y),所以｜ ｜=｜a｜= 即｜a｜為點(diǎn)A到原點(diǎn) 的距離.,3.向量的夾角的坐標(biāo)表示 (1)來源：數(shù)量積公式的一個(gè)變形. (2)適用范圍：由向量坐標(biāo)計(jì)算夾角的一個(gè)公式，僅適用于兩 個(gè)非零向量. (3)夾角的取值范圍的確定： x1x2+y1y2的取值符號(hào)確定θ角的取值范圍，其中當(dāng)x1x2+y1y2＞ 0時(shí)，0≤θ＜ ；當(dāng)x1x2+y1y2＜0時(shí)， ＜θ≤π;當(dāng)x1x2+ y1y2=0時(shí)，θ=,【知識(shí)拓展】 1.投影的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，夾角為θ，則向量a在非零向量b方向 上的投影的坐標(biāo)表示為：|a|cos θ=,2.兩點(diǎn)間的距離公式 若A(x1,y1),B(x2,y2),則 AB=(x2-x1,y2-y1), 所以 即平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn) 間的距離公式.由此可知向量模的運(yùn)算實(shí)質(zhì)即為平面直角坐標(biāo) 系中兩點(diǎn)間距離的運(yùn)算.,【微思考】 (1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算常可解決哪些問題？ 提示：利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算?？山鉀Q以下問題： 求距離(求向量的模)、求向量的夾角、證明兩向量垂直(或判斷圖形形狀等)、求點(diǎn)的坐標(biāo)及求參數(shù)的值等問題.,(2)兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a∥b與a⊥b的坐標(biāo)表示有何區(qū)別？ 提示： 若a∥b?x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0； 若a⊥b?x1x2+y1y2=0；前者為兩坐標(biāo)交叉積的差等于0，而后者為相應(yīng)坐標(biāo)的積的和等于0,兩個(gè)結(jié)論不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別記憶.,【即時(shí)練】 已知向量a=(1,2)，b=(-3,2)，則a·b=_____，|a+b|=_____， |a-b|=_____,a與b的夾角的余弦值是_____. 【解析】a·b=1×(-3)+2×2=1, 因?yàn)閍+b=(-2,4),a-b=(4,0), 所以|a+b|= |a-b|= cos〈a,b〉= 答案：,知識(shí)點(diǎn)2 直線的方向向量 對(duì)直線的方向向量的兩點(diǎn)說明 (1)個(gè)數(shù)：一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè). (2)長度：方向向量的長度沒有限制.,【微思考】 (1)直線y=kx+b的方向向量是什么？ 提示：a=(1,k). (2)直線Ax+By+C=0(A·B≠0)的一個(gè)方向向量是否是 提示：是,【即時(shí)練】 已知直線l1:3x+y-2=0和l2:x+2y+1=0，求l1與l2的夾角. 【解析】不妨取直線l1和l2的方向向量分別為m=(1,-3),n= 設(shè)向量m與n的夾角為θ， 從而cos θ= 所以θ=45°,即直線l1和l2的夾角為45°.,【題型示范】 類型一 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 【典例1】 (1)已知向量a=(1,-1),b=(2,x)，若a·b=1，則x=________. (2)(2014·渭南高一檢測(cè))已知向量a與b同向，b=(1,2)，a·b=10. ①求向量a的坐標(biāo)； ②求a·(a+b),(a+b)·(a-b). ③若c=(2,-1)，求(b·c)a.,【解題探究】1.已知向量的數(shù)量積如何用坐標(biāo)法求未知向量的坐標(biāo)？ 2.計(jì)算(a+b)·(a-b)的方法有哪些？ 【探究提示】1.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示構(gòu)造方程求得未知向量的坐標(biāo)即可. 2.直接展開或先分別求a+b與a-b的坐標(biāo)，再計(jì)算.,【自主解答】(1)a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1?x=1. 答案：1 (2)①因?yàn)閍與b同向，又因?yàn)閎=(1,2), 所以a=λb=(λ,2λ)，λ＞0. 又因?yàn)閍·b=10, 所以1·λ+2·2λ=10，解得λ=2＞0. 所以a=(2，4).,②方法一：因?yàn)閍+b=(2,4)+(1,2)=(3,6), a-b=(2，4)-(1，2)=(1，2), 所以a·(a+b)=2×3+4×6=30, (a+b)·(a-b)=3×1+6×2=15. 方法二：因?yàn)閍2=22+42=20,a·b=10,b2=12+22=5, 所以a·(a+b)=a2+a·b=20+10=30, (a+b)·(a-b)=a2-b2=20-5=15.,③因?yàn)閎·c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b·c)a=0×a=0.,【延伸探究】在本題(2)的條件下求(3a-b)·(a+2b). 【解析】方法一：因?yàn)閍=(2,4),b=(1,2), 所以3a-b=(6,12)-(1,2)=(5，10)， a+2b=(2,4)+(2,4)=(4,8), 所以(3a-b)·(a+2b)=5×4+10×8=100.,方法二：因?yàn)閍·b=10，a2=20,b2=5. 所以(3a-b)·(a+2b)=3a2+5a·b-2b2 =3×20+5×10-2×5=100.,【方法技巧】數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的符號(hào) (1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系： |a|2=a·a. (a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.,(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo)，一般來說應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程組來進(jìn)行求解. (3)形如(ma+nb)·(ka+eb)(m,n,k,e∈R)的坐標(biāo)運(yùn)算，有兩條途徑：其一，展開轉(zhuǎn)化為a2,a·b,b2的坐標(biāo)運(yùn)算；其二，先求ma+nb與ka+eb的坐標(biāo)，再運(yùn)算.,【變式訓(xùn)練】 1.已知a=(-4,3),b=(5,6),則3|a|2-4a·b=________. 【解析】3|a|2-4a·b= =75+8=83. 答案：83,2.a=(-4,7),b=(5,2)，則a·b=_____,|a|=_____,(2a-3b)· (a+2b)=______. 【解析】a·b=-20+14=-6, |a|= (2a-3b)·(a+2b) =［2(-4,7)-3(5,2)］·［(-4,7)+2(5,2)］ =(-23,8)·(6,11)=-138+88=-50. 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求a·b的值. 【解析】由已知可得，4a+2b=(-8,6). 所以(4a+2b)+(a-2b)=(-8,6)+(3,4)=(-5,10). 即5a=(-5,10), 所以a=(-1,2). 從而b=(2a+b)-2a=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1). 所以a·b=(-1)×(-2)+2×(-1)=0.,類型二 向量的夾角與垂直問題 【典例2】 (1)(2013·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 = (－1,t)， =(2,2)，若∠ABO=90°，則實(shí)數(shù)t的值為_____. (2)已知c＝ma+nb＝ a與c垂直，b與c的夾角為 120°，且b·c＝－4，|a|＝ 求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾 角θ.,【解題探究】1.兩向量垂直如何用坐標(biāo)表示？ 2.求向量的夾角的關(guān)鍵是什么？ 【探究提示】1.x1x2+y1y2=0. 2.求兩個(gè)向量的夾角的關(guān)鍵是確定兩個(gè)向量的數(shù)量積和兩個(gè)向量的模，再利用公式求得夾角的余弦值，進(jìn)而確定角的大小.,【自主解答】(1) =(2,2)－(－1,t)=(3,2－t),因 為∠ABO=90°，所以 所以 =0，3×2+2×(2－t)=0，所以t=5. 答案：5,(2)因?yàn)閍與c垂直，所以a·c＝0. 又因?yàn)閏＝ma＋nb，所以c·c＝ma·c＋nb·c， 所以12＋4＝－4n，所以n＝－4. 因?yàn)閎·c＝|b||c|cos 120°， 所以－4＝|b|×4× 所以|b|＝2. 所以a·c＝ma2－4a·b=0，|a|＝ 所以a·b＝2m.,又b·c＝m(a·b)－4b2=-4， 所以－4＝2m2－16，所以m2＝6，所以m＝ 當(dāng)m＝ 時(shí)，a·b＝ cos θ＝ 又θ∈［0,π］，所以θ＝ 當(dāng)m＝ 時(shí)，a·b＝,所以cos θ＝ 又θ∈［0，π］，所以θ＝ 綜上所述：當(dāng)m＝ n＝－4時(shí)，θ＝ 當(dāng)m＝ n＝－4時(shí)，θ＝,【方法技巧】利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟,【變式訓(xùn)練】1.(2014·湖北高考)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1)，若(a+λb)⊥(a-λb)，則實(shí)數(shù)λ=_________. 【解析】因?yàn)閍+λb=(3+λ,3-λ)，a-λb=(3-λ,3+λ)， 因?yàn)?a+λb)⊥(a-λb)， 所以(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0， 解得λ=±3. 答案：±3,【誤區(qū)警示】解題時(shí)要明確知道(a+λb)⊥(a-λb)的充要條件是(a+λb)·(a-λb)=0，不要與向量平行的充要條件弄混.,2.設(shè)a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb與b的夾角為45°，求實(shí)數(shù)t的值. 【解題指南】由條件求出(a+tb)·b及|a+tb|，|b|,代入兩向量的夾角公式求解.,【解析】a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3). (a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5. |a+tb|= 由(a+tb)·b=|a+tb||b|cos 45°， 得5t+5= 即t2+2t-3=0. 所以t=-3或t=1，經(jīng)檢驗(yàn)t=-3不合題意，舍去，所以t=1.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)A(2,2)，B(4,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為x軸 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 取最小值時(shí)，求向量 與 的夾角的余 弦值.,【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,0), 則 所以 =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 所以當(dāng)x=3時(shí)， 取最小值1. 此時(shí)， =(2，2)-(3,0)=(-1,2). =(4,1)-(3,0)=(1,1), 所以 所以cos∠APB=,類型三 數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用 【典例3】 (1)(2013·福建高考)在四邊形ABCD中，若 =(1,2)， = (－4,2),則該四邊形的面積為( ) (2)(2014·淮南高一檢測(cè))已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為 A(3,4),B(0,0),C(c,0). ①若c=5，求sin A的值; ②若A是鈍角，求c的取值范圍.,【解題探究】1.向量 與 垂直嗎？ 2.A是哪兩個(gè)向量的夾角？ 【探究提示】1.因?yàn)? 所以 2.向量 與 的夾角.,【自主解答】(1)選C.因?yàn)? 所以AC,BD是互相垂直的 對(duì)角線，所以 (2)① =(-3，-4), =(c-3,-4), 當(dāng)c=5時(shí)， =(2，-4), 所以cos A= 所以sin A=,②若A為鈍角，則 =-3(c-3)+16＜0且 與 不共線， 解得c＞ 顯然此時(shí) 和 不共線. 故當(dāng)A為鈍角時(shí)，c的取值范圍為,【方法技巧】三角形或四邊形形狀的判定 (1)可先求各邊對(duì)應(yīng)的向量及模，看各邊長度關(guān)系. (2)再求它們兩兩的數(shù)量積，從而判定其內(nèi)角是否為銳角(直角、鈍角).四邊形還可以從對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量入手.,【變式訓(xùn)練】直角坐標(biāo)系xOy中， ＝(2,1)， ＝(3，k)， 若△ABC是直角三角形，則k的可能值個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解題指南】根據(jù)△ABC是直角三角形求k時(shí)，應(yīng)分AB⊥AC， AB⊥BC和AC⊥BC三種情況討論.,【解析】選B.若∠A＝90°，則 ＝6＋k＝0，k＝-6； 若∠B＝90°，則 k＝-1； 若∠C＝90°，則 ?k2-k＋3＝0無解. 所以綜上，k可能取-6，-1兩個(gè)數(shù)．,【補(bǔ)償訓(xùn)練】在四邊形ABCD中， ＝(6,1)， ＝(x，y)， ＝(－2，－3)， (1)求x與y的關(guān)系式. (2)若有 求x,y的值及四邊形ABCD的面積．,【解析】(1)因?yàn)? ＝(6,1)＋(x，y)＋ (－2，－3)＝(x＋4，y－2)， 所以 ＝(－x－4,2－y)． 又 ＝(x，y)， 所以x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.,(2)因?yàn)? ＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)， ＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)， 且 所以 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.,又由(1)的結(jié)論x＋2y＝0， 所以(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 化簡得y2－2y－3＝0， 所以y＝3或y＝－1. 當(dāng)y＝3時(shí)，x＝－6.于是有 所以 所以S四邊形ABCD＝,同理y＝－1時(shí)，x＝2. 于是有 所以 所以S四邊形ABCD＝ 即 或 S四邊形ABCD＝16.,【規(guī)范解答】平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用 【典例】(12分)(2014·蕪湖高一檢測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)， A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)， (1)若 求cos2α-sin2α. (2)若 且α∈(0,π)，求 夾角的大小.,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升 失分點(diǎn)1：若在①處將平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)表示錯(cuò)誤，實(shí)際考試中至多得6分. 失分點(diǎn)2：若在②處忽視“1”的代換，則無法進(jìn)一步將“弦”化為“切”，實(shí)際考試中至多得10分. 失分點(diǎn)3：若在③處由三角函數(shù)值求角，忽視了角的范圍，則導(dǎo)致求角出錯(cuò)或過程不嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)際考試中扣1至2分.,【悟題】提措施，導(dǎo)方向 1.記準(zhǔn)平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)表示 解答向量問題，必須要記清、用準(zhǔn)常用公式，如本例中數(shù)量積、 向量的模和向量夾角公式的應(yīng)用要準(zhǔn)確. 2.幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算 解答向量問題要注意認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)貙⑾蛄康淖鴺?biāo)運(yùn)算與向 量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的定義和幾何意義結(jié)合起來分析問 題，如本例中根據(jù) 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo) 關(guān)系.,【類題試解】(2013·江蘇高考)已知a=(cos α,sin α), b=(cos β,sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a-b|= 求證：a⊥b. (2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.,【解析】(1)由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b. (2)因?yàn)閍+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以 由此得，cos α=cos(π-β)，由0＜β＜π，得0＜π-β＜ π，又0＜α＜π，故α=π-β.代入sin α+sin β=1得， sin α=sin β= 而α＞β,所以,