高中數(shù)學 2.5從力做的功到向量的數(shù)量積課件 北師大版必修4.ppt

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§5 從力做的功到向量的數(shù)量積,1.向量的夾角與投影 (1)夾角 ①定義：已知兩個非零向量a和b，作 =a, =b,則_________叫作向量a與b的夾角； ②范圍：_______________； ③大小與向量共線、垂直的關系：θ=,∠AOB=θ,0°≤θ≤180°,0°?a與b_____， 180°?a與b_____， 90°?a___b.,,同向,反向,⊥,(2)投影 ①定義：如圖所示： =a， =b，過點B作BB1垂直于直線 OA，垂足為B1，則OB1=__________. __________叫做向量b在a 方向上的投影數(shù)量(簡稱投影).,|b|cos θ,|b|cos θ,②大小與夾角的關系：,|b|,正值,0,負值,-|b|,2.向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個向量a與b，它們的夾角為θ，我們把_____________叫作a與b的數(shù)量積(或內積)，記作_____，即 a·b= _____________. (2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上投影 __________的乘積，或b的長度____與a在b方向上投影 __________的乘積. (3)物理意義：力對物體做功，就是力F與其作用下物體的位移 s的數(shù)量積_____.,|a||b|cos θ,a·b,|a||b|cos θ,|b|cos θ,|b|,|a|cos θ,F·s,(4)性質： ①若e是單位向量，則e·a=a·e= __________； ②a⊥b?_______； ③|a|= ④cos θ=_________(|a||b|≠0)； ⑤|a·b|___|a||b|.,|a|cos θ,a·b=0,≤,(5)運算律： 交換律：a·b=_____. 結合律：(λa)·b= _________= _________. 分配律：a·(b+c)=__________.,b·a,λ(a·b),a·(λb),a·b+a·c,1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量的夾角與直線的傾斜角的范圍相同.( ) (2)向量的投影與向量的數(shù)量積和向量的線性運算的結果都是一個向量.( ) (3)設非零向量a與b的夾角為θ，cos θ＜0?a·b＜0.( ) (4)若a·b=b·c,則一定有a=c.( ),【解析】(1)錯誤，兩個向量夾角的范圍是［0，π］，而直線傾斜角的范圍是［0，π). (2)錯誤,向量的投影與向量的數(shù)量積結果是一個數(shù)量，而非向量. (3)正確,cos θ= 故cos θ＜0?a·b＜0. (4)錯誤,向量b與向量a，c可能垂直,向量a，c可能方向相反. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若|a|=2，向量a與b的夾角為 則a在b方向上的投影為________. (2)若|a|=1，|b|=4，a與b的夾角為 則a·b=_______. (3)若|a|=2，|b|=1，a·b= 則a與b的夾角為________.,【解析】(1)由投影的定義得a在b方向上的投影為|a|cos =2× =1. 答案：1 (2)由數(shù)量積的定義得:a·b=|a||b|cos =1×4× =-2. 答案：-2 (3)設a與b的夾角為θ，由a·b=|a|·|b|cos θ，得cos θ= 又θ∈［0，π］，所以θ= 答案：,【要點探究】 知識點1 向量的數(shù)量積 1.寫法及與實數(shù)乘積的區(qū)別 兩向量a，b的數(shù)量積也稱作內積，寫成a·b，其應與代數(shù)中的a，b的乘積ab區(qū)分開來，其中“·”是一種運算符號，不同于實數(shù)的乘法符號.在向量運算中既不能省略，也不能用“×”代替.,2.運算的結果 (1)向量線性運算的結果是一個向量，但兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量. (2)由于0°≤θ≤180°，所以a·b可以為正數(shù)、負數(shù)和零，且當0°≤θ＜90°時，a·b＞0；當θ=90°時，a·b=0；當90°＜θ≤180°時，a·b＜0.,(3)若a為零向量，則|a|=0，從而a·b=0，故零向量與任一向量的數(shù)量積為0. (4)a·a=a2=|a|2. (5)兩個單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值.,【微思考】 (1)影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 提示：影響數(shù)量積大小的因素有兩個，向量的模及其夾角大小. (2)若a·b=0，是否一定有a⊥b?請說明理由. 提示：一定,因a,b中至少有一個為零向量時，我們規(guī)定了零向量與任一向量垂直，因此一定正確.,【即時練】 已知|a|=2,|b|=4，當(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為150°時，分別求a與b的數(shù)量積. 【解析】(1)當a∥b時，若a與b同向，即θ=0°，則a·b=|a||b|·cos θ=8；若a與b反向，即θ=180°，a·b=|a||b|·cos 180°=-8. (2)當a⊥b時，θ=90°，則a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)當a與b的夾角為150°時，a·b=|a||b|cos 150°,知識點2 數(shù)量積的性質與運算律 1.數(shù)量積五條性質的應用 性質(1)可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義； 性質(2)可以解決有關垂直的問題； 性質(3)可以求向量的長度； 性質(4)可以求兩向量的夾角; 性質(5)可以解決有關不等式的問題，當且僅當a∥b時，等號成立.,2.數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式 (1)遵循的運算律：數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結合律，不適合乘法結合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c).這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量，而a(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線.,(2)常用公式及注意點： ①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2; ②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2; ③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2. 注意：|a|2=a·a,|b|2=b·b.,【知識拓展】向量數(shù)量積與實數(shù)乘積相關結論比較,【微思考】 (1)若a·b＞0，a與b的夾角是銳角嗎？若a·b＜0，a與b的夾角是鈍角嗎？反過來呢？ 提示：不一定，可能為0°.不一定，可能為180°.反過來正確.,(2)若|a·b|=|a||b|，是否一定有a∥b？請說明理由. 提示：一定.因為a·b=|a||b|cos θ， 所以|a·b|=|a||b||cos θ|. 由已知得,|a||b||cos θ|=|a||b|, 即|cos θ|=1，cos θ=±1, 又θ∈［0,π］,所以θ=0或π，故a∥b.,【即時練】 1.(2014·西安高一檢測)若e1,e2是兩個平行的單位向量，則下面結果正確的是( ) A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1 C.|e1·e2|=1 D.e1·e2＜1,2.設a,b,c是任意的非零向量，且兩兩不共線，給出下列說法： ①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b||a-b|; ③(b·c)a-(c·a)b與c不可能垂直； ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正確的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④,【解析】1.選C.由于e1,e2是兩個平行的單位向量，設其夾角為θ，則|cos θ|=1，所以|e1·e2|=|cos θ|=1.,2.選D.(a·b)c是與向量c平行的向量，(c·a)b是與向量b平行 的向量，因此(a·b)c與(c·a)b不一定相等，故①不正確； 因為a,b,c是任意的非零向量，且相互不共線，則根據(jù)三角形 兩邊之差小于第三邊可知②正確； 由于［(b·c)a-(c·a)b］·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)= 0，因此(b·c)a-(c·a)b與c垂直，③不正確； (3a+2b)·(3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2. ④正確，故選D.,【題型示范】 類型一 平面向量數(shù)量積的運算 【典例1】 (1)(2014·咸陽高一檢測)已知平面上三點A，B，C滿足 =2， 則 的值為______. (2)(2014·合肥高一檢測)已知向量a與b的夾角是120°,且|a| =2,|b|=3，求：①(a-2b)2;②(2a-b)·(a+3b).,【解題探究】1.題(1)中計算 的關鍵是 什么？ 2.解答題(2)的突破口是什么？ 【探究提示】1.判斷△ABC的形狀，確定出相關向量的夾角. 2.運用數(shù)量積的性質及運算律和相關公式，將待求式轉化為a 與b的數(shù)量積運算.,【自主解答】(1)由已知， 所以△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°,如圖. 從而sin∠ABC= sin∠BAC= 所以∠ABC=60°,∠BAC=30°. 所以 與 的夾角為120°, 與 的夾角為90°, 與 的夾角為150°.,故 = 答案：-4,(2)①因為a·b=|a|·|b|cos 120°=2×3× =-3, 所以(a-2b)2=a2-2a·(2b)+(2b)2 =|a|2-4a·b+4|b|2 =22-4×(-3)+4×32=52. ②(2a-b)·(a+3b) =2a2+6a·b-a·b-3b2 =2|a|2+5a·b-3|b|2 =2×22+5×(-3)-3×32=-34.,【延伸探究】在題(2)的條件下，若(3a+5b)·(ma-b)=-45，則m的值如何？ 【解析】(3a+5b)·(ma-b) =3ma2+(5m-3)a·b-5b2 =3m×22+(5m-3)×2×3× -5×32 =-3m-36=-45， 解得m=3.,【方法技巧】 1.求平面向量數(shù)量積的流程,2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的運算技巧及注意點 (1)技巧：類似于實數(shù)多項式的運算，將運算轉化為向量a,b的數(shù)量積運算. (2)注意點:①a與b的數(shù)量積不可書寫或認為是ab, ②a2=|a|2的應用.,【變式訓練】1.已知正△ABC的邊長為2，設 =a， =b， =c，則a·b+b·c+c·a=_________. 【解析】a與b，b與c，a與c的夾角為120°， 所以原式=|a|·|b|·cos 120°+|b|·|c|·cos 120°+ |a|·|c|·cos 120°=2×2× ×3=-6. 答案：-6 【誤區(qū)警示】本題求解時易將向量a,b，c夾角的大小定錯而致誤.,2.(2013·新課標全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b，若b·c=0，則t=________. 【解析】由c=ta+(1-t)b得, b·c=ta·b+(1-t)b2=0, 解得t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=0, 化簡得 t+(1-t)=0，所以t=2. 答案：2,【補償訓練】1.已知△ABC為等邊三角形，AB=2.設點P,Q滿足 λ∈R.若 則λ=______. 2.已知|a|= |b|=3，|c|= 且a+b+c=0，求a·b+b·c +c·a．,【解析】(1)因為 所以 =2(1+λ-λ2)-4λ+4(λ-1) =2(-λ2+λ-1).,又因為 所以4λ2-4λ+1=0，所以λ= 答案：,(2)因為a+b+c=0， 所以(a+b+c)2=0， 即a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=0. 又因為|a|= |b|=3,|c|= 所以a2=3,b2=9,c2=12， 所以a·b+b·c+c·a=-12.,類型二 向量的模的計算問題 【典例2】 (1)(2013·浙江高考)設e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ ye2，x,y∈R.若e1,e2的夾角為 則 的最大值等于______. (2)已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|= 則|b|= ___________. (3)已知a，b滿足|a+b|= |a-b|,|a|=|b|=1，求|3a-2b|.,【解題探究】1.題(1)中求 的最大值的突破口是什么？ 2.題(2)中如何將|2a-b|= 用a與b的模及數(shù)量積表示？ 3.題(3)中向量的數(shù)量積與向量模如何轉化？ 【探究提示】1.先將求 的最大值轉化為求 的最大值， 進而利用|b|2=b2轉化為求關于x,y的函數(shù)的最值. 2.利用|2a-b|2=(2a-b)2. 3.|a|2=a2.,【自主解答】(1) = 當x=0時， =0; 當x≠0時， 令 則 所以 的最大值為2. 答案：2,(2)|2a-b|= ?(2a-b)2=10?4+|b|2-4|b|cos 45° =10?|b|= 答案：,(3)由|a+b|= |a-b|得,|a+b|2=3|a-b|2, 即(a+b)2=3(a-b)2, 所以a2+2a·b+b2=3(a2-2a·b+b2), 所以8a·b=2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=4, 即a·b= 所以|3a-2b|= =,【方法技巧】求向量的模的常見思路 求向量的模是向量運算問題中的常見題型，解答這類問題 時，可考慮先求向量的平方，應用向量的運算公式、法則求出 其平方值，然后再利用公式|a|2=a2=a·a，將其兩邊開平方即 可求得該向量的模，即運用公式,【變式訓練】(2014·江西高考)已知單位向量e1,e2的夾角為α, 且cos α= 若向量a=3e1-2e2,則|a|=________. 【解題指南】利用 求解. 【解析】a·a=(3e1-2e2)2=9－12e1·e2+4=9－12× +4=9，故 |a|=3. 答案：3,【補償訓練】已知同一平面上的向量a,b，c兩兩所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2,|c|=3，求|a+b+c|. 【解析】(1)當向量a,b,c共線且同向時，所成的角均為0°, 所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6.,(2)當向量a,b,c不共線時，易知a,b,c皆為非零向量. 設a,b,c所成的角均為θ，則3θ=360°, 即θ=120°,所以a·b=|a||b|cos 120°=-1. 同理b·c=-3,c·a= 由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3, 故|a+b+c|= 綜上所述，|a+b+c|=6或,類型三 夾角和垂直問題 【典例3】 (1)(2014·寶雞高一檢測)已知m,n是兩個單位向量，其夾角為 60°，設a=2m+n,b=2n-3m，則a與b的夾角為_______. (2)(2013·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|=3|b|=|a+2b|， 則a與b夾角的余弦值為________. (3)(2013·山東高考)已知向量 與 的夾角為120°，且 若 且 則實數(shù)λ的值為 ________.,【解題探究】1.兩個非零向量的夾角公式是什么？ 2.解答題(2)的關鍵是什么？ 3.解答題(3)的突破口是什么？ 【探究提示】1.cos θ= 2.由已知得到a·b與|b|(或|a|)的關系. 3.將 用 與 表示,并通過垂直條件列關于λ的方程求解.,【自主解答】(1)由已知|m|=|n|=1，m·n=|m||n|cos 60° = 所以a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2= -6+2= |a|2=a2=(2m+n)2=4m2+4m·n+n2=7, |b|2=b2=(2n-3m)2=4n2-12n·m+9m2=7. 所以|a|=|b|= 由a·b=|a||b|cos θ得， 所以cos θ=,又θ∈［0,π］， 所以θ=120°. 故a與b的夾角為120°. 答案：120°,(2)由|a|=|a+2b|，等式兩邊平方得a2+4a·b+4b2=a2?a·b =-b2，所以cos〈a,b〉= 答案：,(3)向量 與 的夾角為120°，且 所以 由 得， 即 所以 即4－9λ－3(λ－1)=0，解得λ= 答案：,【方法技巧】 1.求向量夾角的解題流程及注意事項 (1)解題流程：,(2)注意事項 在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關系式中，常利用消元思想計算cos θ的值.,2.兩向量垂直的確定與應用 (1)確定：通常利用兩向量垂直的充要條件，即計算a·b是否為0. (2)應用：若a⊥b，則a·b=0可求其中參數(shù)的值.,【變式訓練】(2014·南昌高一檢測)已知a，b是兩個非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直.試求a與b的夾角大小. 【解析】因為a+3b與7a-5b垂直， 所以(a+3b)·(7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0.①,又因為a-4b與7a-2b垂直， 所以(a-4b)·(7a-2b)=0， 即7a2-30a·b+8b2=0.② ①-②得46a·b=23b2, 即2a·b=b2. 代入①可得a2=b2,即|a|=|b|. 設a與b的夾角為θ， 則cos θ= 又因為θ∈［0,π］，所以θ=,【補償訓練】1.已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=________. 【解析】因為(a+b)⊥(ka-b), 所以(a+b)·(ka-b)=0, 即ka2+(k-1)a·b-b2=0，(*),又因為a,b為兩個不共線的單位向量, 所以(*)式可化為1-k=(k-1)a·b, 若k-1≠0，則a·b=-1，這與a,b不共線矛盾; 若k-1=0，則1-k=(k-1)a·b恒成立. 綜上可知，k=1時符合題意. 答案：1,2.已知|a|=5,|b|=4,|a+b|= 求向量a與b的夾角. 【解析】因為|a|=5,|b|=4,|a+b|= 所以|a|2=25,|b|2=16,|a+b|2=21. 又因為|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=41+2a·b, 所以a·b=-10.,設a與b的夾角為θ, 則cos θ= 又因為θ∈［0,π］,所以θ= 即a與b的夾角是,拓展類型 數(shù)量積的綜合應用 【備選例題】(1)若a,b,c均為單位向量，且a·b=0,(a-c)·(b -c)≤0，則|a+b-c|的最大值為( ) A. -1 B.1 C. D.2 (2)在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，AB=2，AD=3，則 =_________.,【解析】(1)選B.由(a-c)·(b-c)≤0，得a·b-a·c-b·c+c2 ≤0，又a·b=0，且a,b,c均為單位向量，得-a·c-b·c≤-1， |a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(a·b-a·c-b·c)=3+2(-a·c- b·c)≤3-2=1，故|a+b-c|的最大值為1. (2) = 答案：5,【方法技巧】 1.數(shù)量積運算與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識綜合 先利用向量的數(shù)量積運算將問題轉化為函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識的問題，再用相關知識求解.,2.數(shù)量積運算與平面幾何的綜合 (1)選擇基底. (2)把相關的向量用基底表示. (3)借助數(shù)量積的定義及其變形判斷邊與邊的關系，如借助向量的模找邊長的關系、借助向量的夾角找邊與邊的關系. (4)由向量運算得出待求.,【易錯誤區(qū)】兩向量夾角概念不清和加減及數(shù)量積運算律應用 不當致誤 【典例】(2014·銅陵高一檢測)在△ABC中，已知∠A=120°， ∠B=∠C=30°，若AB=AC=1，則 =____.,【解析】過A作AD⊥BC，垂足為D， 因為AB=AC，所以BC=2BD=2×AB×cos B=2×1× 方法一： = = = 所以,方法二： = = = = 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確理解向量夾角的概念 在以平面圖形為背景的數(shù)量積問題中，關鍵是求向量夾角，此 時要注意讓兩個向量共起點才能找準向量的夾角.如本例中 與 的夾角是角B的補角而不是角B.,2.巧用數(shù)量積的運算律簡化運算 數(shù)量積運算過程中，逆用和巧用的運算律可以湊出滿足向量加 法(減法)三角形法則的形式，從而實現(xiàn)簡化運算.如本例中， 經(jīng)過 的變形后， 可用向 量加法的三角形法則簡化為 進而只要計算 即可.,【類題試解】(2013·天津高考)在平行四邊形ABCD中,AD=1, ∠BAD=60°,E為CD的中點.若 則AB的長為______.,【解析】因為 所以 = = 所以 解得 答案：,