高三數(shù)學一輪復習 5.2等差數(shù)列及其前n項和課件 .ppt

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第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,【知識梳理】 1.等差數(shù)列的概念 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于 _,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等 差數(shù)列的_,一般用字母d表示;定義的表達式為: _ 2.等差中項 如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a,b的等差中項,且A= .,同一個常數(shù),公差,an+1-an=d(nN*).,3.等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=_. 4.等差數(shù)列的前n項和公式,a1+(n-1)d,5.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的常用性質(zhì): 通項公式的推廣:an=am+_(n,mN*); 若an是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則 _;k+l=2m_(k,l,mN*); 若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為_; 若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn(nN*)是等差數(shù)列; 若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)組成公差為 _的等差數(shù)列.,(n-m)d,2d,md,ak+al=am+an,ak+al=2am,(2)等差數(shù)列與等差數(shù)列各項的和有關的性質(zhì): 若an是等差數(shù)列,則 也成等差數(shù)列,其首項與an的首 項相同,公差是an的公差的 ; Sm,S2m,S3m分別為an的前m項,前2m項,前3m項的和,則Sm, S2m-Sm,_成等差數(shù)列; 關于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì) (i)若等差數(shù)列an的項數(shù)為2n,則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, ,S3m-S2m,(ii)若等差數(shù)列an的項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan, S奇-S偶=an, (其中S奇,S偶分別表示數(shù)列an中所有奇數(shù)項、偶數(shù)項的和); 兩個等差數(shù)列an,bn的前n項和Sn,Tn之間的關系為 數(shù)列an的前n項和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差數(shù)列的 _條件; 等差數(shù)列的增減性:d0時為_數(shù)列,且當a10時前n項和Sn有最大值.,充分,遞增,遞減,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: 若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則 這個數(shù)列是等差數(shù)列; 數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有 2an+1=an+an+2; 等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的; 數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù); 等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù). 其中正確的命題是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.錯誤.若這些常數(shù)都相等,則這個數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個數(shù)列就不是等差數(shù)列. 正確.如果數(shù)列an為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對任意nN*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根據(jù)定義數(shù)列an為等差數(shù)列. 正確.當d0時為遞增數(shù)列;d=0時為常數(shù)列;d0時為遞減數(shù)列. 錯誤.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當d0時,等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù),否則不是.,錯誤.根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式,Sn= 顯然只有公差d0時才是關于n的常數(shù)項為0的 二次函數(shù),否則不是(甚至也不是n的一次函數(shù),即a1=d=0時).,2.等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S3=6,a3=4,則公差d等于 ( ) A.1 B. C.2 D.3 【解析】選C.因為S3= =6,而a3=4.所以a1=0,所以 d= =2.,3.若an為等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且 則 tan a6=( ) 【解析】選C.,4.在等差數(shù)列an中,Sn是其前n項和,且a4=9,a9=-6,則Sn取最大 值時n的值為( ) A.6或7 B.7或8 C.5或6 D.8或9 【解析】選A.由 所以an=-3n+21,故a1a2 a3a6a7=0a8,所以S6=S7最大.,5.在等差數(shù)列an中,Sn表示其前n項和,若Sn= ,Sm= (mn), 則Sm+n-4的符號是( ) A.正 B.負 C.非負 D.非正 【解析】選A.因為Sn=na1+ d= (1), Sm=ma1+ d= (2), 所以由(1)(2)得d= ,a1= . 故Sm+n-4=(m+n)a1+ d-4 = 0(mn).,6.(2013上海高考)在等差數(shù)列an中,若a1+a2+a3+a4=30,則a2+a3= . 【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30a2+a3=15. 答案:15,考點1 等差數(shù)列的基本運算 【典例1】(1)(2013安徽高考)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)(2014南京模擬)等差數(shù)列an的前n項和記為Sn.已知a10=30,a20=50. 求通項an;若Sn=242,求n.,【解題視點】(1)利用等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式求出首項及公差,再利用通項公式求出a9. (2)先求出基本量a1和d,再利用通項公式求解;利用前n項和公式解方程即可.,【規(guī)范解答】(1)選A.由S8=4a38a1+ d=4(a1+2d);由 a7=-2a1+6d=-2,聯(lián)立解得a1=10,d=-2, 所以a9=a1+8d=10-16=-6. (2)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程組 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10; 由Sn=na1+ d,Sn=242, 得方程12n+ 2=242, 解得n=11或n=-22(舍去).,【互動探究】本例(1)中,已知條件不變,求Sn. 【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以 Sn=na1+ d=10n-n(n-1)=-n2+11n.,【規(guī)律方法】 1.等差數(shù)列運算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解. (2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.,2.等差數(shù)列前n項和公式的應用方法 根據(jù)不同的已知條件選用兩個求和公式,如已知首項和公差,則 使用公式Sn=na1+ d,若已知通項公式,則使用公式 Sn= .,【變式訓練】1.(2013新課標全國卷)設等差數(shù)列an的前 n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】選C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因 為數(shù)列an為等差數(shù)列,所以d=am+1-am=1,又因為 Sm= =0,所以m(a1+2)=0,因為m0,所以a1=-2,又 am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,方法二:因為Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1- Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn= 得 由得a1= ,代入可得m=5.,方法三:因為數(shù)列an為等差數(shù)列,且前n項和為Sn, 所以數(shù)列 也為等差數(shù)列. 所以 即 =0, 解得m=5.經(jīng)檢驗為原方程的解.故選C.,2.(2014溫州模擬)等差數(shù)列an的首項為a1,公差d=-1,前n項和為Sn. (1)若S5=-5,求a1的值. (2)若Snan對任意正整數(shù)n均成立,求a1的取值范圍.,【解析】(1)由條件得,S5=5a1+ d=-5, 解得a1=1. (2)由Snan,代入得na1- a1+1-n, 整理,變量分離得:(n-1)a1 n2- n+1 = (n-1)(n-2), 當n=1時,上式成立. 當n1,nN*時,a1 (n-2), n=2時, (n-2)取到最小值0, 所以a10.,【加固訓練】 1.(2014襄陽模擬)在等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=90, 則a10- a14的值為( ) A.12 B.14 C.16 D.18 【解析】選A.由等差數(shù)列的通項公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10- a14=a1+9d- (a1+13d)= (a1+7d)= 18=12,故選A.,2.設a1,d為實數(shù),首項為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S5S6+15=0. (1)若S5=5,求S6及a1. (2)求d的取值范圍.,【解析】(1)由題意知S6= =-3,a6=S6-S5=-8, 所以 解得a1=7,所以S6=-3,a1=7. (2)方法一:因為S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 因為關于a1的一元二次方程有解, 所以=81d2-8(10d2+1)=d2-80, 解得d-2 或d2 .,故d的取值范圍為 方法二:因為S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28. 故d的取值范圍為,考點2 等差數(shù)列的判定與證明 【典例2】(1)若an是公差為1的等差數(shù)列,則a2n-1+2a2n是 ( ) A.公差為3的等差數(shù)列 B.公差為4的等差數(shù)列 C.公差為6的等差數(shù)列 D.公差為9的等差數(shù)列,(2)已知數(shù)列an中,a1= ,an=2- (n2,nN*),數(shù)列bn 滿足bn= (nN*). 求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列; 求數(shù)列an中的最大項和最小項,并說明理由.,【解題視點】(1)構造新數(shù)列cn,使得cn=a2n-1+2a2n,根據(jù) cn+1-cn是否對任意正整數(shù)n都等于同一個常數(shù)作出判斷. (2)證明bn+1-bn=常數(shù);根據(jù)的結論,求得bn的通項公式,再求得an的通項公式,結合單調(diào)性求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.設an的公差為d,則d=1.設cn=a2n-1+2a2n, 則cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故 選C. (2)因為an=2- (n2,nN*),bn= (nN*), 所以bn+1-bn= 又b1= 所以數(shù)列bn是以 為首項,1為公差的等差數(shù)列.,由知bn=n- ,則an= 設f(x)=1+ ,則f(x)在區(qū)間 和 上為減函數(shù). 所以當n=3時,an取得最小值-1,當n=4時,an取得最大值3.,【易錯警示】用定義證明等差數(shù)列時的易錯點 用定義證明等差數(shù)列時,常采用的兩個式子an+1-an=d和 an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n2”,否則 n=1時,a0無定義.,【規(guī)律方法】等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個常數(shù). (2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列. (3)通項公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列.,(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列. 提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法,而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.,【變式訓練】(2014煙臺模擬)設數(shù)列an的各項都為正數(shù),其前n項和為Sn,已知對任意nN*,Sn是an2和an的等差中項. (1)證明數(shù)列an為等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式. (2)證明:,【解析】(1)由已知得,2Sn=an2+an,且an0, 當n=1時,2a1= a12+a1,解得a1=1(a1=0舍去); 當n2時,有2Sn-1=an-12+an-1. 于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1, 即2an=an2-an-12+an-an-1. 于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1. 因為an+an-10,所以an-an-1=1(n2). 故數(shù)列an是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以數(shù)列an的通項公式為an=n.,(2)因為an=n,則,【加固訓練】 1.已知數(shù)列an,anN*,Sn= (an+2)2. (1)求證:an是等差數(shù)列. (2)設bn= an-30,求數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值.,【解析】(1)因為Sn= (an+2)2, 所以Sn-1= (an-1+2)2(n2). -得Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2(n2), 即an= (an+2)2- (an-1+2)2. 所以(an-2)2=(an-1+2)2, 所以an+an-1=0或an-an-1=4. 因為anN*,所以an+an-1=0舍去, 所以an-an-1=4.,a1=S1= (a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2. 所以an是首項為2,公差為4的等差數(shù)列. (2)bn= an-30= (4n-2)-30=2n-31. bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2. b1= a1-30= 2-30=-29. 所以bn是以b1=-29為首項,d=2為公差的等差數(shù)列. Tn=nb1+ d=-29n+ 2=n2-30n. 所以Tn=(n-15)2-225. 當n=15時,數(shù)列bn的前n項和有最小值為-225.,2.若數(shù)列an滿足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. (1)證明數(shù)列an+1-an是等差數(shù)列. (2)求使 成立的最小的正整數(shù)n.,【解析】(1)由3(an+1-2an+an-1)=2可得 an+1-2an+an-1= ,即(an+1-an)-(an-an-1)= , 所以數(shù)列an+1-an是以a2-a1= 為首項, 為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知an+1-an= + (n-1)= (n+1), 累加求和得an=a1+ (2+3+n)= n(n+1), 所以 所以 所以n5,所以最小的正整數(shù)n=6.,考點3 等差數(shù)列性質(zhì)的應用 【考情】通過近3年的高考試題分析,對等差數(shù)列性質(zhì)的考查幾乎每年必考,有時以選擇題、填空題的題型出現(xiàn),難度中等偏下,有時在解答題中出現(xiàn),常與求通項an及前n項和Sn結合命題,題目難度中等.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2014嘉興模擬)已知等差數(shù)列an滿足a2=3,Sn-Sn-3=51(n3),Sn=100,則n的值為( ) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)(2013新課標全國卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為 .,【解題視點】(1)根據(jù)已知利用等差數(shù)列性質(zhì): an+an-1+an-2=3an-1及Sn= 計算求值. (2)求得Sn的表達式,然后表示出nSn,將其看作關于n的函數(shù),借 助導數(shù)求得最小值.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為Sn-Sn-3=51(n3),所以 an-2+an-1+an=51,即3an-1=51,所以an-1=17(n2),又因為 Sn=100,即 =100,而a2=3,所以 =100, 解得n=10.故選C. (2)由題意知: 解得d= , a1=-3,所以Sn= 即nSn= 令f(n)=,則有f(n)=n2- ,令f(n)0,得n , 令f(n)0,得0n .又因為n為正整數(shù),所以當n=7時, f(n)= 取得最小值,即nSn的最小值為-49. 答案:-49,【通關錦囊】,【通關題組】 1.(2014紹興模擬)在等差數(shù)列an中,a1=-2015,其前n項和 為Sn,若 則S2015的值等于( ) A.-2015 B.-2014 C.-2013 D.-2012,【解析】選A.設等差數(shù)列an的公差為d,因為 所以 故a12-a10=4, 所以2d=4,d=2. 所以S2 015=2 015a1+ =-2 015.,2.(2014南陽模擬)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S17為一確定常數(shù),則下列各式中也為確定常數(shù)的是( ) A.a2+a15 B.a2a15 C.a2+a9+a16 D.a2a9a16 【解析】選C.因為S17為一確定常數(shù),根據(jù)公式可知,a1+a17為一確定常數(shù),又a1+a17=a2+a16=2a9,所以a2+a9+a16為一確定常數(shù),故選C.,3.(2013遼寧高考)下面是關于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題: p1:數(shù)列an是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列; p3:數(shù)列 是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列. 其中的真命題為( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4,【解析】選D.,4.(2014金華模擬)數(shù)列an的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和, 對于任意的nN*,總有an,Sn, an2成等差數(shù)列. (1)求a1. (2)求數(shù)列an的通項公式. (3)設數(shù)列bn的前n項和為Tn,且bn= ,求證:對任意正整數(shù)n, 總有Tn2.,【解析】(1)由已知:對于任意的nN*,總有an,Sn, an2成等差 數(shù)列, 所以2Sn=an+ , 令n=1,所以2S1=a1+ ,即2a1=a1+ , 又因為數(shù)列an的各項均為正數(shù),所以a1=1. (2)因為2Sn=an+ 所以2Sn-1=an-1+ (n2) 由-得:2Sn-2Sn-1=an-an-1+ - ,即2an=an-an-1+ - , 所以an+an-1=an2 -an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1). 因為an,an-1均為正數(shù),所以an-an-1=1(n2), 所以數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列, 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n. (3)bn= (n2), 當n=1時,Tn=b1= =12, 當n2時,Tn=b1+b2+b3+bn,=2- 2. 所以對任意正整數(shù)n,總有Tn2.,【加固訓練】 1.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于 ( ) A.36 B.54 C.72 D.18 【解析】選C.由a4+a5=a1+a8=18,S8= =72,所以 選C.,2.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知前6項和為36,Sn=324,最后6項的和為180(n6),求數(shù)列的項數(shù)n及a9+a10. 【解析】由題意可知a1+a2+a6=36, an+an-1+an-2+an-5=180, +得 (a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216, 所以a1+an=36.,又Sn= =324, 所以18n=324.所以n=18. 所以a1+a18=36. 所以a9+a10=a1+a18=36.,3.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a3=12,S120,S130,S130, 所以 即,又a3=a1+2d=12, 所以解得 d-3. (2)方法一:Sn=na1+ d(n=1,2,3,12). 所以Sn=n(12-2d)+ d 因為 d-3,所以6 , 所以當n=6時,Sn有最大值,所以S1,S2,S12中值最大的為S6.,方法二:由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得 所以a70. 所以在數(shù)列an中,前6項為正,從第7項起,以后各項為負,故S6最大.,【巧思妙解5】巧用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項和 【典例】在等差數(shù)列an中,S10=100,S100=10,則S110= . 【解析】常規(guī)解法:設數(shù)列an的公差為d,首項為a1, 則 解得 所以S110=110a1+ d=-110. 答案:-110,巧妙解法: 因為S100-S10= =-90, 所以a11+a100=-2, 所以S110= =-110. 答案:-110,【解法分析】,【小試牛刀】在等差數(shù)列an中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11 項和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 【解析】常規(guī)解法:選B.設等差數(shù)列an的公差為d,由題意可 得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以S11=11a1+ d =11(8-5d)+55d=88-55d+55d=88.,巧妙解法:選B.在等差數(shù)列an中,已知a4+a8=16,所以a1+a11=a4+a8=16, 所以S11= =88.,【規(guī)范解答】解決與等差數(shù)列有關的綜合問題 【典例】(14分)(2014臨沂模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn 滿足Sn+an+ =2(nN*),設cn=2nan. (1)求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式. (2)按以下規(guī)律構造數(shù)列bn,具體方法如下: b1=c1,b2=c2+c3,b3=c4+c5+c6+c7,第n項bn相應的由cn中 2n-1項的和組成,求數(shù)列bn的通項bn.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)已知Sn+an+ =2 (*), 令n=1, 得S1+a1+1=2,所以a1= . 當n2時,Sn-1+an-1+ =2(*), (*)-(*)得 3分 ,所以2an-an-1= , 所以2nan-2n-1an-1=1.4分 又cn=2nan,所以cn-cn-1=1(n2). 又c1=2a1=1, 所以,數(shù)列cn是等差數(shù)列.5分 于是cn=1+(n-1)1=n, 又因為cn=2nan,所以an= . 7分,(2)由題意得 8分 =2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+(2n-1), 9分 而2n-1,2n-1+1,2n-1+2,2n-1是首項為2n-1, 公差為1的等差數(shù)列,且數(shù)列共有2n-1項,11分 所以,bn= = =322n-3-2n-2. 14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓練,能力遷移 已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且an=SnSn-1(n2,Sn0), a1= (1)求證 為等差數(shù)列,并求出數(shù)列Sn的通項. (2)求滿足anan-1的自然數(shù)n的集合.,【解析】(1),又nN*且a2a1,所以滿足題設的n的集合為3,4,5,7.,