高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 .ppt

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第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,【知識(shí)梳理】 1.等差數(shù)列的概念 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 ___________,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等 差數(shù)列的_____,一般用字母d表示;定義的表達(dá)式為: ________________ 2.等差中項(xiàng) 如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a,b的等差中項(xiàng),且A= .,同一個(gè)常數(shù),公差,an+1-an=d(n∈N*).,3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=_________. 4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,a1+(n-1)d,5.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的常用性質(zhì): ①通項(xiàng)公式的推廣:an=am+_______(n,m∈N*); ②若{an}是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則 __________;k+l=2m?_________(k,l,m∈N*); ③若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為___; ④若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}(n∈N*)是等差數(shù)列; ⑤若{an}是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為 ___的等差數(shù)列.,(n-m)d,2d,md,ak+al=am+an,ak+al=2am,(2)等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì): ①若{an}是等差數(shù)列,則 也成等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{an}的首 項(xiàng)相同,公差是{an}的公差的 ; ②Sm,S2m,S3m分別為{an}的前m項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則Sm, S2m-Sm,______成等差數(shù)列; ③關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì) (i)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n,則 S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, ,,S3m-S2m,(ii)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan, S奇-S偶=an, (其中S奇,S偶分別表示數(shù)列{an}中所有奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和); ④兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和Sn,Tn之間的關(guān)系為 ⑤數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差數(shù)列的 _____條件; ⑥等差數(shù)列的增減性:d0時(shí)為_____數(shù)列,且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值.,充分,遞增,遞減,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列; ②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有 2an+1=an+an+2; ③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的; ④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù); ⑤等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù). 其中正確的命題是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤,【解析】選B.①錯(cuò)誤.若這些常數(shù)都相等,則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列. ②正確.如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列. ③正確.當(dāng)d0時(shí)為遞增數(shù)列;d=0時(shí)為常數(shù)列;d0時(shí)為遞減數(shù)列. ④錯(cuò)誤.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當(dāng)d≠0時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù),否則不是.,⑤錯(cuò)誤.根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,Sn= 顯然只有公差d≠0時(shí)才是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的 二次函數(shù),否則不是(甚至也不是n的一次函數(shù),即a1=d=0時(shí)).,2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=6,a3=4,則公差d等于 ( ) A.1 B. C.2 D.3 【解析】選C.因?yàn)镾3= =6,而a3=4.所以a1=0,所以 d= =2.,3.若{an}為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且 則 tan a6=( ) 【解析】選C.,4.在等差數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)和,且a4=9,a9=-6,則Sn取最大 值時(shí)n的值為( ) A.6或7 B.7或8 C.5或6 D.8或9 【解析】選A.由 所以an=-3n+21,故a1a2 a3…a6a7=0a8…,所以S6=S7最大.,5.在等差數(shù)列{an}中,Sn表示其前n項(xiàng)和,若Sn= ,Sm= (m≠n), 則Sm+n-4的符號(hào)是( ) A.正 B.負(fù) C.非負(fù) D.非正 【解析】選A.因?yàn)镾n=na1+ d= (1), Sm=ma1+ d= (2), 所以由(1)(2)得d= ,a1= . 故Sm+n-4=(m+n)a1+ d-4 = 0(m≠n).,6.(2013·上海高考)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,則a2+a3= . 【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30?a2+a3=15. 答案:15,考點(diǎn)1 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 【典例1】(1)(2013·安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)(2014·南京模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10=30,a20=50. ①求通項(xiàng)an;②若Sn=242,求n.,【解題視點(diǎn)】(1)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)及公差,再利用通項(xiàng)公式求出a9. (2)①先求出基本量a1和d,再利用通項(xiàng)公式求解;②利用前n項(xiàng)和公式解方程即可.,【規(guī)范解答】(1)選A.由S8=4a3?8a1+ d=4×(a1+2d);由 a7=-2?a1+6d=-2,聯(lián)立解得a1=10,d=-2, 所以a9=a1+8d=10-16=-6. (2)①由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程組 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10; ②由Sn=na1+ d,Sn=242, 得方程12n+ ×2=242, 解得n=11或n=-22(舍去).,【互動(dòng)探究】本例(1)中,已知條件不變,求Sn. 【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以 Sn=na1+ d=10n-n(n-1)=-n2+11n.,【規(guī)律方法】 1.等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解. (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.,2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法 根據(jù)不同的已知條件選用兩個(gè)求和公式,如已知首項(xiàng)和公差,則 使用公式Sn=na1+ d,若已知通項(xiàng)公式,則使用公式 Sn= .,【變式訓(xùn)練】1.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】選C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因 為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以d=am+1-am=1,又因?yàn)?Sm= =0,所以m(a1+2)=0,因?yàn)閙≠0,所以a1=-2,又 am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,方法二:因?yàn)镾m-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1- Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn= 得 由①得a1= ,代入②可得m=5.,方法三:因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn, 所以數(shù)列 也為等差數(shù)列. 所以 即 =0, 解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.,2.(2014·溫州模擬)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差d=-1,前n項(xiàng)和為Sn. (1)若S5=-5,求a1的值. (2)若Sn≤an對(duì)任意正整數(shù)n均成立,求a1的取值范圍.,【解析】(1)由條件得,S5=5a1+ d=-5, 解得a1=1. (2)由Sn≤an,代入得na1- ≤a1+1-n, 整理,變量分離得:(n-1)a1≤ n2- n+1 = (n-1)(n-2), 當(dāng)n=1時(shí),上式成立. 當(dāng)n1,n∈N*時(shí),a1≤ (n-2), n=2時(shí), (n-2)取到最小值0, 所以a1≤0.,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·襄陽模擬)在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90, 則a10- a14的值為( ) A.12 B.14 C.16 D.18 【解析】選A.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10- a14=a1+9d- (a1+13d)= (a1+7d)= ×18=12,故選A.,2.設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S5S6+15=0. (1)若S5=5,求S6及a1. (2)求d的取值范圍.,【解析】(1)由題意知S6= =-3,a6=S6-S5=-8, 所以 解得a1=7,所以S6=-3,a1=7. (2)方法一:因?yàn)镾5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解, 所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0, 解得d≤-2 或d≥2 .,故d的取值范圍為 方法二:因?yàn)镾5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8. 故d的取值范圍為,考點(diǎn)2 等差數(shù)列的判定與證明 【典例2】(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是 ( ) A.公差為3的等差數(shù)列 B.公差為4的等差數(shù)列 C.公差為6的等差數(shù)列 D.公差為9的等差數(shù)列,(2)已知數(shù)列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn} 滿足bn= (n∈N*). ①求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; ②求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說明理由.,【解題視點(diǎn)】(1)構(gòu)造新數(shù)列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根據(jù) cn+1-cn是否對(duì)任意正整數(shù)n都等于同一個(gè)常數(shù)作出判斷. (2)①證明bn+1-bn=常數(shù);②根據(jù)①的結(jié)論,求得{bn}的通項(xiàng)公式,再求得{an}的通項(xiàng)公式,結(jié)合單調(diào)性求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.設(shè){an}的公差為d,則d=1.設(shè)cn=a2n-1+2a2n, 則cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故 選C. (2)①因?yàn)閍n=2- (n≥2,n∈N*),bn= (n∈N*), 所以bn+1-bn= 又b1= 所以數(shù)列{bn}是以 為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.,②由①知bn=n- ,則an= 設(shè)f(x)=1+ ,則f(x)在區(qū)間 和 上為減函數(shù). 所以當(dāng)n=3時(shí),an取得最小值-1,當(dāng)n=4時(shí),an取得最大值3.,【易錯(cuò)警示】用定義證明等差數(shù)列時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn) 用定義證明等差數(shù)列時(shí),常采用的兩個(gè)式子an+1-an=d和 an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n≥2”,否則 n=1時(shí),a0無定義.,【規(guī)律方法】等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù). (2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.,(4)前n項(xiàng)和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法,而對(duì)于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷.,【變式訓(xùn)練】(2014·煙臺(tái)模擬)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中項(xiàng). (1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)證明:,【解析】(1)由已知得,2Sn=an2+an,且an0, 當(dāng)n=1時(shí),2a1= a12+a1,解得a1=1(a1=0舍去); 當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=an-12+an-1. 于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1, 即2an=an2-an-12+an-an-1. 于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1. 因?yàn)閍n+an-10,所以an-an-1=1(n≥2). 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.,(2)因?yàn)閍n=n,則,【加固訓(xùn)練】 1.已知數(shù)列{an},an∈N*,Sn= (an+2)2. (1)求證:{an}是等差數(shù)列. (2)設(shè)bn= an-30,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值.,【解析】(1)因?yàn)镾n= (an+2)2, ① 所以Sn-1= (an-1+2)2(n≥2). ② ①-②得Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2(n≥2), 即an= (an+2)2- (an-1+2)2. 所以(an-2)2=(an-1+2)2, 所以an+an-1=0或an-an-1=4. 因?yàn)閍n∈N*,所以an+an-1=0舍去, 所以an-an-1=4.,a1=S1= (a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2. 所以{an}是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列. (2)bn= an-30= (4n-2)-30=2n-31. bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2. b1= a1-30= ×2-30=-29. 所以{bn}是以b1=-29為首項(xiàng),d=2為公差的等差數(shù)列. Tn=nb1+ d=-29n+ ×2=n2-30n. 所以Tn=(n-15)2-225. 當(dāng)n=15時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和有最小值為-225.,2.若數(shù)列{an}滿足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. (1)證明數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列. (2)求使 成立的最小的正整數(shù)n.,【解析】(1)由3(an+1-2an+an-1)=2可得 an+1-2an+an-1= ,即(an+1-an)-(an-an-1)= , 所以數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1= 為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知an+1-an= + (n-1)= (n+1), 累加求和得an=a1+ (2+3+…+n)= n(n+1), 所以 所以 所以n5,所以最小的正整數(shù)n=6.,考點(diǎn)3 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【考情】通過近3年的高考試題分析,對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查幾乎每年必考,有時(shí)以選擇題、填空題的題型出現(xiàn),難度中等偏下,有時(shí)在解答題中出現(xiàn),常與求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn結(jié)合命題,題目難度中等.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2014·嘉興模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,Sn-Sn-3=51(n3),Sn=100,則n的值為( ) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為 .,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)已知利用等差數(shù)列性質(zhì): an+an-1+an-2=3an-1及Sn= 計(jì)算求值. (2)求得Sn的表達(dá)式,然后表示出nSn,將其看作關(guān)于n的函數(shù),借 助導(dǎo)數(shù)求得最小值.,【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)镾n-Sn-3=51(n3),所以 an-2+an-1+an=51,即3an-1=51,所以an-1=17(n≥2),又因?yàn)?Sn=100,即 =100,而a2=3,所以 =100, 解得n=10.故選C. (2)由題意知: 解得d= , a1=-3,所以Sn= 即nSn= 令f(n)=,則有f'(n)=n2- ,令f'(n)0,得n , 令f'(n)0,得0n .又因?yàn)閚為正整數(shù),所以當(dāng)n=7時(shí), f(n)= 取得最小值,即nSn的最小值為-49. 答案:-49,【通關(guān)錦囊】,【通關(guān)題組】 1.(2014·紹興模擬)在等差數(shù)列{an}中,a1=-2015,其前n項(xiàng)和 為Sn,若 則S2015的值等于( ) A.-2015 B.-2014 C.-2013 D.-2012,【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)?所以 故a12-a10=4, 所以2d=4,d=2. 所以S2 015=2 015a1+ =-2 015.,2.(2014·南陽模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S17為一確定常數(shù),則下列各式中也為確定常數(shù)的是( ) A.a2+a15 B.a2·a15 C.a2+a9+a16 D.a2·a9·a16 【解析】選C.因?yàn)镾17為一確定常數(shù),根據(jù)公式可知,a1+a17為一確定常數(shù),又a1+a17=a2+a16=2a9,所以a2+a9+a16為一確定常數(shù),故選C.,3.(2013·遼寧高考)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題: p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列; p3:數(shù)列 是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列. 其中的真命題為( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4,【解析】選D.,4.(2014·金華模擬)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和, 對(duì)于任意的n∈N*,總有an,Sn, an2成等差數(shù)列. (1)求a1. (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (3)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且bn= ,求證:對(duì)任意正整數(shù)n, 總有Tn2.,【解析】(1)由已知:對(duì)于任意的n∈N*,總有an,Sn, an2成等差 數(shù)列, 所以2Sn=an+ , 令n=1,所以2S1=a1+ ,即2a1=a1+ , 又因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以a1=1. (2)因?yàn)?Sn=an+ ① 所以2Sn-1=an-1+ (n≥2) ② 由①-②得:2Sn-2Sn-1=an-an-1+ - ,,即2an=an-an-1+ - , 所以an+an-1=an2 -an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1). 因?yàn)閍n,an-1均為正數(shù),所以an-an-1=1(n≥2), 所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列, 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n. (3)bn= (n≥2), 當(dāng)n=1時(shí),Tn=b1= =12, 當(dāng)n≥2時(shí),Tn=b1+b2+b3+…+bn,=2- 2. 所以對(duì)任意正整數(shù)n,總有Tn2.,【加固訓(xùn)練】 1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于 ( ) A.36 B.54 C.72 D.18 【解析】選C.由a4+a5=a1+a8=18,S8= =72,所以 選C.,2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知前6項(xiàng)和為36,Sn=324,最后6項(xiàng)的和為180(n6),求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n及a9+a10. 【解析】由題意可知a1+a2+…+a6=36, ① an+an-1+an-2+…+an-5=180, ② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216, 所以a1+an=36.,又Sn= =324, 所以18n=324.所以n=18. 所以a1+a18=36. 所以a9+a10=a1+a18=36.,3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S120,S130,S130, 所以 即,又a3=a1+2d=12, 所以解得 d-3. (2)方法一:Sn=na1+ d(n=1,2,3,…,12). 所以Sn=n(12-2d)+ d 因?yàn)? d-3,所以6 , 所以當(dāng)n=6時(shí),Sn有最大值,所以S1,S2,…,S12中值最大的為S6.,方法二:由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得 所以a70. 所以在數(shù)列{an}中,前6項(xiàng)為正,從第7項(xiàng)起,以后各項(xiàng)為負(fù),故S6最大.,【巧思妙解5】巧用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和 【典例】在等差數(shù)列{an}中,S10=100,S100=10,則S110= . 【解析】常規(guī)解法:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,首項(xiàng)為a1, 則 解得 所以S110=110a1+ d=-110. 答案:-110,巧妙解法: 因?yàn)镾100-S10= =-90, 所以a11+a100=-2, 所以S110= =-110. 答案:-110,【解法分析】,【小試牛刀】在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11 項(xiàng)和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 【解析】常規(guī)解法:選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意可 得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以S11=11a1+ d =11(8-5d)+55d=88-55d+55d=88.,巧妙解法:選B.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,所以a1+a11=a4+a8=16, 所以S11= =88.,【規(guī)范解答】解決與等差數(shù)列有關(guān)的綜合問題 【典例】(14分)(2014·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn 滿足Sn+an+ =2(n∈N*),設(shè)cn=2nan. (1)求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)按以下規(guī)律構(gòu)造數(shù)列{bn},具體方法如下: b1=c1,b2=c2+c3,b3=c4+c5+c6+c7,…,第n項(xiàng)bn相應(yīng)的由{cn}中 2n-1項(xiàng)的和組成,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)已知Sn+an+ =2 (*), 令n=1, 得S1+a1+1=2,所以a1= . 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+an-1+ =2(**), (*)-(**)得 ……………………………………………3分 ………………………………………………………………………,所以2an-an-1= , 所以2nan-2n-1an-1=1.………………………………………4分 又cn=2nan,所以cn-cn-1=1(n≥2).① 又c1=2a1=1, 所以,數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.……………5分 于是cn=1+(n-1)×1=n, 又因?yàn)閏n=2nan,所以an= . …………7分,(2)由題意得 ② ……………8分 =2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1), ……………………………………………………………9分 而2n-1,2n-1+1,2n-1+2,…,2n-1是首項(xiàng)為2n-1, 公差為1的等差數(shù)列,且數(shù)列共有2n-1項(xiàng),…………………11分 所以,bn= = =3×22n-3-2n-2.③ ………………………………………14分,【點(diǎn)題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練,能力遷移 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=Sn·Sn-1(n≥2,Sn≠0), a1= (1)求證 為等差數(shù)列,并求出數(shù)列{Sn}的通項(xiàng). (2)求滿足anan-1的自然數(shù)n的集合.,【解析】(1),又n∈N*且a2a1,所以滿足題設(shè)的n的集合為{3,4,5,7}.,