高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.3平面向量的數(shù)量積課件 .ppt

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第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積,【知識梳理】 1.向量的夾角,AOB,同向,反向,垂直,2.平面向量的數(shù)量積,|a|b|cos,|a|cos,|b|cos,|b|cos,3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a,b都是非零向量,e是單位向量,為a與b(或e)的夾角.則 (1)ea=ae=|a|cos. (2)ab_. (3)當(dāng)a與b同向時,ab=|a|b|. 當(dāng)a與b反向時,ab=-|a|b|, 特別地,aa=_或者|a|=_. (4)cos=_. (5)ab_.,ab=0,|a|2,|a|b|,4.數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律:ab=ba. (2)數(shù)乘結(jié)合律:(a)b=_=_. (3)分配律:a(b+c)=_.,(ab),a(b),ab+ac,5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾角為,則,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,【考點(diǎn)自測】 1.(思考)給出下列結(jié)論: 向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量; 兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量; 由ab=0可得a=0或b=0; (ab)c=a(bc). 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選A.由向量投影的定義可知正確;由數(shù)量積及線性運(yùn)算的意義知正確;由ab=|a|b|cos知,當(dāng)兩個非零向量的夾角=90時,ab=0,而不必a=0或b=0,所以不正確;由向量數(shù)量積及向量的數(shù)乘的意義知,當(dāng)ab0時,(ab)c是與c方向相同或相反的向量,而當(dāng)bc0時a(bc)是與a方向相同或相反的向量,所以不正確.綜上應(yīng)選A.,2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4,且ab=2,則a與b的夾角為 ( ) 【解析】選C.設(shè)a與b的夾角為, 則 又因?yàn)?,所以,3.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a(a-b),則實(shí)數(shù)x等 于( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 【解析】選A.a-b=(1-x,4). 由a(a-b),得1-x+8=0. 所以x=9.,4.已知單位向量a,b的夾角是120,則|a+b|=( ) A. B.1 C. D. 【解析】選B.由題意,得|a|=|b|=1, 所以,5.已知|a|=2,向量a與b的夾角是 則a在b上的投影是 . 【解析】a在b上的投影是|a|cos 答案:,6.已知等邊三角形ABC的邊長為1,設(shè) 則ab+bc+ca= . 【解析】如圖,得a與b,b與c,c與a的夾角 都是120, 又|a|=|b|=|c|=1, 所以原式=11cos120+11cos120+11cos120 答案:,考點(diǎn)1 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【典例1】(1)(2013新課標(biāo)全國卷)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t= . (2)已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn).則 的值為 , 的最大值為 .,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解. (2)結(jié)合圖形建立平面直角坐標(biāo)系,用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解,或選取基向量,用基向量表示后再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式求解.,【規(guī)范解答】(1)由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化簡得 t+1-t=0,所以t=2. 答案:2,(2)方法一:如圖所示,以AB,AD所在的直線 分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)E(t,0), 0t1,則D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1), 所以 又因?yàn)?=(1,0),所以 =t1. 方法二:選取 作為基底,設(shè) 0t1, 則 答案:1 1,【互動探究】本例(2)中,當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時,試求 在 上的投影. 【解析】方法一:如圖,過點(diǎn)E作EFDC, 垂足為F,由投影的定義知, 在 上的投影是 . 方法二:如圖,向量 與 的夾角是EDC, 所以 在 上的投影是,【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種求法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos. (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. 運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題,解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解.,平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2ab+b2. (3)(a-b)2=a2-2ab+b2.,【變式訓(xùn)練】(2014舟山模擬)在ABC中，A=90，AB=1, AC=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足 R.若 =-2，則=( ),【解析】選B.由題意可得,【加固訓(xùn)練】 1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)滿足條件(8a-b)c=30,則x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】選C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)c=(6,3)(3,x)=30,即18+3x=30,解得x=4.,2.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為 若向量b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2,則b1b2= . 【解析】b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1e2-8|e2|2. 又因?yàn)閑1,e2的夾角為 |e1|=1,|e2|=1, 所以b1b2=3-2cos -8=3-1-8=-6. 答案:-6,考點(diǎn)2 平面向量的垂直與夾角問題 【典例2】(1)(2014九江模擬)若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,則a與b的夾角是( ) (2)(2014湖州模擬)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b與a-2b垂直,則實(shí)數(shù)的值為( ) (3)設(shè)兩個向量a,b,滿足|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為 ,若向量2ta+7b與a+tb的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的范圍.,【解題視點(diǎn)】(1)由向量的數(shù)量積公式知,只需根據(jù)(a+b)a求出ab即可. (2)根據(jù)向量垂直列方程求解. (3)把問題轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積小于0且兩向量不共線反向求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.根據(jù)題意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a, 則有(a+b)a=0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可 知a與b的夾角的余弦值為 則a與b的夾角是 (2)選A.a+b=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),因?yàn)橄蛄縜+b與 a-2b垂直,所以(a+b)(a-2b)=0,則3+1+4=0,解得,(3)由向量2ta+7b與a+tb的夾角為鈍角,得 即(2ta+7b)(a+tb)0, 化簡即得2t2+15t+70, 解得-7t 當(dāng)夾角為時,也有(2ta+7b)(a+tb)0, 但此時夾角不是鈍角, 設(shè)2ta+7b=(a+tb),0, 可求得 所以,所以 所以所求實(shí)數(shù)t的范圍是,【易錯警示】解答本例(3)易忽視向量2ta+7b與a+tb共線反向的情況,而得錯誤答案.,【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個應(yīng)用 (1)若a,b為非零向量,則由平面向量的數(shù)量積公式得cos= (夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題. (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.,【變式訓(xùn)練】(2013安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|= |a+2b|,則a與b夾角的余弦值為 . 【解析】由|a|=|a+2b|,設(shè)a與b的夾角為,等式兩邊平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以 答案:,【加固訓(xùn)練】 1.(2014株洲模擬)若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于( ) 【解析】選C.因?yàn)?a+b=(3,3),a-b=(0,3), 設(shè)2a+b與a-b的夾角為, 所以 又0,故,2.已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k= . 【解析】因?yàn)?a+b)(ka-b),所以(a+b)(ka-b)=0, 即ka2+(k-1)ab-b2=0.(*) 又因?yàn)閍,b為兩個不共線的單位向量, 所以(*)式可化為k-1=(1-k)ab, 若1-k0,則ab=-1,這與a,b不共線矛盾; 若1-k=0,則k-1=(1-k)ab恒成立.綜上可知,k=1時符合題意. 答案:1,3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求a與b的夾角. (2)求|a+b|和|a-b|. (3)若 作ABC,求ABC的面積. 【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61, 得4|a|2-4ab-3|b|2=61. 因?yàn)閨a|=4,|b|=3,代入上式求得ab=-6, 所以 又0,所以= .,(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2 =42+2(-6)+32=13, 所以|a+b|= 同理,|a-b|= (3)由(1)知BAC= 所以,考點(diǎn)3 平面向量的模及其應(yīng)用 【考情】有關(guān)平面向量的模的問題離不開平面向量的數(shù)量積,涉及平面向量模的問題是近幾年高考的熱點(diǎn).常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查求模的最值、求模的取值范圍等問題,具有一定的綜合性.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2013湖南高考)已知a,b是單位向量，ab=0. 若向量c滿足|cab|=1,則|c|的最大值為( ) (2)(2013浙江高考)設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2, x,yR.若e1,e2的夾角為 則 的最大值等于 .,【解題視點(diǎn)】(1)首先弄懂向量a,b是一組正交基底,且|a+b|= 由|c-(a+b)|=1利用圓的知識可求得結(jié)果,或利用代數(shù)運(yùn)算,轉(zhuǎn)化為不等式求解. (2)先求 的最大值,其處理方法是變形構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的最值解答.,【規(guī)范解答】(1)方法一：選C.條件|c-a-b|=1 可以理解成如圖的情況 而|a+b|= 向量c的終點(diǎn)在單位圓上，故|c| 的最大值為 +1.,方法二:選C.由題意,得|a|=|b|=1,ab=0, 所以|a+b|= 因?yàn)閨c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1. 設(shè)c與a+b的夾角為, 則|c|2-2|c| cos+2=1, 即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10, 解得 -1|c| +1. 故|c|的最大值為 +1.,(2) 所以 的最大值為2. 答案：2,【通關(guān)錦囊】,【通關(guān)題組】 1.(2013杭州模擬)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|= ab,則y=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】選D.因?yàn)閍=(1,1),b=(2,y), 所以a+b=(3,y+1),ab=2+y, 因?yàn)閨a+b|=ab,所以 所以y=3.,2.(2014西安模擬)已知單位向量a,b滿足|a-kb|= |ka+b|，其中k0,則下列與向量b垂直的向量可以是( ) A.6a+2b B.a+ b C.a- b D.a+ b 【解析】選D.因?yàn)閱挝幌蛄縜,b滿足|a-kb|= |ka+b|，其中 k0，所以(a-kb)2=3(ka+b)2， 即ab= 因?yàn)閗0,所以ab,b(6a+2b)=6ab+2b2=6ab+2-1, 即b與6a+2b不垂直，所以A不正確； 即b與 不垂直，所以B不正確； 即b與 不垂直，所以C不正確； 所以b與 的數(shù)量積可以為零， 即b與 可以垂直，故選D.,3. (2013重慶高考)在平面上， 的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【解析】選D.因?yàn)?所以 即,因?yàn)?所以 即 因?yàn)?所以 因?yàn)?所以 所以 所以 即,4.(2014麗水模擬)設(shè)x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且ac,bc,則|a+b|= . 【解析】因?yàn)閍c,所以2x-4=0,解得x=2,又bc,所以2y+4=0,所以y=-2,所以a+b=(x+1,1+y)=(3,-1),所以|a+b|= 答案:,【加固訓(xùn)練】 1.(2014嘉興模擬)已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=3, a(a-2b)=0,則|a-b|=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】選B.因?yàn)閨a|=2,|b|=3, 所以a(a-2b)=a2-2ab=4-2ab=0, 即ab=2, 所以|a-b|=,2.若a,b,c均為單位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,則|a+b-c|的最大值為( ) 【解析】選B.由向量a,b,c都是單位向量,可得a2=1,b2=1,c2=1,由ab=0及(a-c)(b-c)0,可以知道(a+b)cc2=1,因?yàn)閨a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc, 所以有|a+b-c|2=3-2(ac+bc)=3-2(a+b)c, 故|a+b-c|1.,【創(chuàng)新體驗(yàn)3】以平面向量的數(shù)量積為載體的創(chuàng)新問題 【典例】(2014福州模擬)對任意兩個非零向量 定義 若平面向量a,b滿足|a|b|0，a與b的夾角 且 都在集合 中，則 =( ) A. B.1 C. D.,【審題視點(diǎn)】,【解析】選C.根據(jù)題中的向量的新運(yùn)算及向量的數(shù)量積,可知 因?yàn)?,所以 又因?yàn)閨a|b|0, 所以0 1,所以0 cos1, 即 (0,1).又 所以,由得, 所以 所以 所以,【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.高考考情:以向量為背景的新定義問題,是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點(diǎn),考查頻次較高. 2.命題形式:常見的有新定義,新運(yùn)算等.,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決新定義問題時,一定要弄清新定義的含義,由此把問題轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的定義、運(yùn)算,切忌同已有的定義或運(yùn)算相混淆. 2.方法選取:成功轉(zhuǎn)化后,可結(jié)合特例法、推理法,并注意到向量的概念及數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn),根據(jù)題目的條件求解,要注意培養(yǎng)學(xué)生獲取新信息、利用新知識的能力.,【新題快遞】 1.(2014西安模擬)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面說法錯誤的是 ( ) A.若a與b共線,則ab=0 B.ab=ba C.對任意的R,有(a)b=(ab) D.(ab)2+(ab)2=a2b2,【解析】選B.對于A,由a與b共線,得mq-np=0,即ab=0,故A正確; 對于B,由新定義知,ab=mq-np,而ba=np-mq, 所以abba,故B錯誤; 對于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)= (ab),故C正確; 對于D,(ab)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+ n2q2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正確.,2.(2014合肥模擬)如圖,在平面斜坐標(biāo)系xOy中,xOy=,平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義:若 =xe1+ ye2(其中e1,e2分別是x軸,y軸同方向的單位向量),則P點(diǎn)的斜坐標(biāo)為(x,y),向量的斜坐標(biāo)為(x,y).給出以下結(jié)論:,若=60,P(2,-1),則 若P(x1,y1),Q(x2,y2),則 若 =(x1,y1), =(x2,y2),則 =x1x2+y1y2; 若=60,以O(shè)為圓心,1為半徑的圓的斜坐標(biāo)方程為x2+y2+xy-1=0. 其中所有正確的結(jié)論的序號是 .,【解析】中,OP是兩鄰邊長分別為2,1且一內(nèi)角為60的平行四邊形較短的對角線,解三角形可知 所以正確;結(jié)合向量的平行四邊形加法法則可知若P(x1,y1),Q(x2,y2),則 (x1+x2,y1+y2)是正確的; =(x1,y1), =(x2,y2).所以 =(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2),因?yàn)閑1e20,所以 x1x2+y1y2,所以錯誤;中設(shè)圓上任意一點(diǎn)為P(x,y),因?yàn)閨OP|=1,所以(xe1+ye2)2=1,即x2+y2+xy-1=0,所以正確. 答案:,