高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運算課件 .ppt

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第二節(jié) 平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運算,【知識梳理】 1.平面向量基本定理 (1)基底:平面內(nèi)_的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)的所 有向量的一組基底. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向 量,那么對于這個平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1, 2,使a=_.,不共線,1e1+2e2,2.平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位 向量i,j作為基底,由平面向量基本定理知,該平面內(nèi)的任一向量 a可表示成a=xi+yj,由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的,把有序數(shù) 對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=_,其中a在x軸上的坐標(biāo) 是x,a在y軸上的坐標(biāo)是y.,(x,y),3.平面向量的坐標(biāo)運算,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x,y),(x2-x1,y2-y1),x1y2-x2y1=0,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: 平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底; 在ABC中,向量 的夾角為ABC; 同一向量在不同基底下的表示是相同的; 設(shè)a,b是平面內(nèi)的一組基底,若實數(shù)1,1,2,2滿足1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選D.平面內(nèi)不共線的兩個向量可以組成一組基底,平面內(nèi)同一向量在不同基底下的表示形式是不同的,故不正確;向量是有方向的,故在ABC中, 與 的夾角應(yīng)是ABC的補(bǔ)角,故不正確;根據(jù)平面向量基本定理,同一向量在基底a,b下的表現(xiàn)形式是唯一的,故正確.,2.已知A(x,1),B(2,y), =(3,4),則x+y=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 【解析】選C.由題意,得 解得 所以x+y=4.,3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c=( ) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b 【解析】選B.設(shè)c=xa+yb,則 所以 故c=3a-b.,4.下列各組向量中,能作為基底的是( ) a=(1,2),b=(2,4); a=(1,1),b=(-1,-1); a=(2,-3),b=(-3,2); a=(5,6),b=(7,8). A. B. C. D. 【解析】選C.對于,顯然b=2a,對于,b=-a,故不能作為基底;對于,因為22-(-3)(-3)0,所以a,b不共線,故能作為基底;對于,因為58-670,所以a,b不共線,故能作為基底.綜上應(yīng)選C.,5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,則實數(shù)m= . 【解析】a+b=(1,m-1). 因為(a+b)c, 所以2-(-1)(m-1)=0,所以m=-1. 答案:-1,考點1 平面向量基本定理及其應(yīng)用 【典例1】(1)(2014紹興模擬)若a與b不共線,已知下列各組向量 a與-2b; a+b與a-b; a+b與a+2b; 其中可以作為基底的是 (只填序號即可).,(2)(2014萊蕪模擬)如圖,已知OCB中,A是CB的中點,D是將 分成21的一個內(nèi)分點,DC和OA交于點E,設(shè) 用a和b表示向量 若 求實數(shù)的值.,【解題視點】(1)由共線向量定理及基底的定義進(jìn)行判斷. (2)由向量加法的平行四邊形法則及三角形法則求解; 由平面向量基本定理及共線向量定理求解.,【規(guī)范解答】(1)因為a與b不共線,所以,對于,顯然a與-2b不共線;對于,假設(shè)a+b與a-b共線,則存在實數(shù),使a+b=(a-b),則=1且-=1,由此得=1且=-1矛盾,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線;同理,對于,a+b與a+2b也不共線;對于 故 與 共線.由基向量的定義知,都可以作為基底,不可以. 答案:,(2)由題意知,A是BC的中點,且 由平行四邊形法則,得 所以 由題意知, 故設(shè) 因為 所以,因為a與b不共線,由平面向量基本定理, 得 解得 故,【互動探究】本例(1)中,若將條件a與b不共線省去,則情況如何? 【解析】若a與b共線,不妨令a0,b=0,則所給4組向量都共線,故4組向量都不能作為基底.,【規(guī)律方法】 1.構(gòu)成平面一組基底的條件 (1)一組基底有兩個向量. (2)這兩個向量不共線(其中沒有零向量). 2.應(yīng)用平面向量基本定理的注意事項 (1)選定基底后,通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來.,(2)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質(zhì),如平行、相似等. (3)強(qiáng)化共線向量定理的應(yīng)用 提醒:在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便.,【變式訓(xùn)練】如圖所示,在ABC中,點M是AB的中點,且 BN與CM相交于點E,設(shè) 試用基底a,b表示向量,【解析】易得 由N,E,B三點共線知,存在實數(shù)m,滿足 由C,E,M三點共線知存在實數(shù)n, 滿足 所以 由于a,b為基底, 所以 解得 所以,【加固訓(xùn)練】 1.下列各組向量:e1=(-1,2),e2=(5,7); e1=(3,5),e2=(6,10); e1=(2,-3),e2= 能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( ) A. B. C. D.,2.如圖,在ABC中, DEBC交AC于E,BC邊上的中線AM 交DE于N.設(shè) 用a,b表示向量,【解析】1.選A.中的兩向量不共線;中e1= e2,故兩向量共 線;中e2= e1,故兩向量共線.綜上,只有中的兩向量可作為 平面的一組基底. 2.因為 DEBC, 所以 由ADEABC,得 又AM是ABC的中線,DEBC, 所以 又,因為ADNABM, 所以,考點2 平面向量的坐標(biāo)運算 【典例2】(1)(2014杭州模擬)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線, =(2,4), =(1,3),則 =( ) A.(2,4) B.(1,1) C.(-1,-1) D.(-2,-4) (2)(2013北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=a+b(,R),則 = .,【解題視點】(1)先將 用 表示,再利用向量坐標(biāo)運 算法則求解. (2)結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用平面向量的坐標(biāo) 運算及平面向量基本定理列方程組求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以 因此 =(1,3)-(2,4)=(-1,-1). (2)以向量a,b的交點為原點,原點向右的方向為x軸正方向,正 方形網(wǎng)格的邊長為單位長度建立直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),根據(jù)c=a+b得(-1,-3)=(-1,1)+ (6,2),即 解得=-2,=- ,所以 =4. 答案:4,【互動探究】在本例(2)中,試用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)規(guī)范解答中的平面直角坐標(biāo)系,則 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3), 設(shè)b=xa+yc, 則(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,【規(guī)律方法】平面向量坐標(biāo)運算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進(jìn)行求解的,若已知有向線段兩端點的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)來進(jìn)行求解,并注意方程思想的應(yīng)用.,【變式訓(xùn)練】已知點A(-1,2),B(2,8)以及 求點C,D的坐標(biāo)和 的坐標(biāo). 【解析】設(shè)點C,D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 得 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6). 因為 所以有 和 解得 和 所以點C,D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).,【加固訓(xùn)練】 1.設(shè)平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b=( ) A.(6,3) B.(7,3) C.(2,1) D.(7,2) 【解析】選B.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).,2.已知點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面的結(jié)論: 直線OC與直線BA平行; 其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,【解析】選C.由題意得 =(-2,1), =(2,-1),故 又 無公共點,故OCBA,正確; 因為 故錯誤; 因為 =(0,2)= 故正確; 因為 =(-4,0), =(-4,0),故正確.所以選C.,3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 則向量 = . 【解析】因為A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 所以 =(1,8), =(6,3). 所以 =3(1,8)=(3,24), 2(6,3)=(12,6). 所以 (12,6)-(3,24)=(9,-18). 答案:(9,-18),考點3 平面向量共線的坐標(biāo)表示及運算 【考情】平面向量共線的坐標(biāo)表示以其承前啟后的連接形式成為高考命題的亮點.作為一種重要的坐標(biāo)運算,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),作為載體有時也在解答題的某一步中出現(xiàn),考查解方程、函數(shù)式化簡等問題.,高頻考點 通 關(guān),【典例3】(1)(2013陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,則實數(shù)m等于( ) A. B. C. D.0 (2)(2014金華模擬)已知向量 =(1,3), =(3,-1),且 則點P的坐標(biāo)為( ) A.(2,-4) B. C. D.(-2,4),【解題視點】(1)根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示直接列方程 求解. (2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),由 可得(x-1,y-3)=2(3-x, -1-y),解出x,y的值,即可得到點P的坐標(biāo).,【規(guī)范解答】(1)選C.因為a=(1,m),b=(m,2),ab,所以12-m2=0,即m2=2,故 (2)選C.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y), 由 可得(x-1,y-3)=2(3-x,-1-y), 故有x-1=6-2x,且y-3=-2-2y, 解得 故點P的坐標(biāo)為,【通關(guān)錦囊】,【通關(guān)題組】 1.(2014舟山模擬)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且ab,則2a+3b等于( ) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 【解析】選B.因為ab,a=(1,2),b=(-2,m), 所以m-2(-2)=0,得m=-4, 所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).,2.(2011廣東高考)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為實數(shù),(a+b)c,則=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】選B.因為a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),c=(3,4),又(a+b)c,所以4(1+)-23=0.解得= .,3.(2014棗莊模擬)已知平面向量a=(1,x),b= 若a與b共線,則y=f(x)的最小值是( ) A. B.-4 C. D.-3 【解析】選C.因為a與b共線, 所以 即y= x2-3x+1= (x-3)2- , 所以當(dāng)x=3時,ymin=,【加固訓(xùn)練】 1.(2013鄭州模擬)已知向量 =(k,12), =(4,5), = (-k,10),且A,B,C三點共線,則k的值是( ) 【解析】選A. (4-k,-7), =(-2k,-2). 因為A,B,C三點共線, 所以 共線, 所以-2(4-k)=-7(-2k),解得,2.(2014濟(jì)寧模擬)已知向量a=(1-sin,1),b=( ,1+sin ), 若ab,則銳角等于( ) A.30 B.45 C.60 D.75 【解析】選B.由ab得, (1-sin)(1+sin)-1 =0,解得sin= 又為銳角,所以=45.,3.(2011北京高考)已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ).若a-2b與c共線,則k= . 【解析】因為a=( ,1),b=(0,-1), 所以a-2b=( ,1)-2(0,-1)=( ,3), 又c=(k, ),所以 -3k=0,解得k=1. 答案:1,【易錯誤區(qū)11】平面向量基本定理應(yīng)用的易錯點 【典例】(2013廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0,關(guān)于向量a的分解,有如下四個命題: 給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; 給定向量b和c,總存在實數(shù)和,使a=b+c; 給定單位向量b和正數(shù),總存在單位向量c和實數(shù),使a=b+c;,給定正數(shù)和,總存在單位向量b和單位向量c,使a=b+c. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選B.對于 因為a與b給定，所以a-b一定存在，可表示為c，即c=a-b， 故a=b+c成立，正確； 對于，因為b與c不共線， 由平面向量基本定理可知正確； 對于,以a的終點為圓心，以為半徑作圓， 這個圓必須和向量b有交點， 這個不一定滿足，故錯誤；,對于由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊)， 即必有|b|+|c|=+|a|，而給定的和不一定滿足此條件， 所以是假命題.,【誤區(qū)警示】 1.處想不到用a-b表示c,而直接根據(jù)平面向量基本定理判斷該結(jié)論錯誤. 2.處忽略平面向量基本定理成立的條件,而直觀認(rèn)為正確.,【規(guī)避策略】 1.明確給定和存在的關(guān)系,另外,注意向量加法三角形法則的應(yīng)用. 2.明確平面向量基本定理成立的條件,即(1)給定的向量a與b不共線.(2)對平面內(nèi)任一向量c存在唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(,)使c=a+b,其中,的正負(fù)及是否為0不確定.,【類題試解】在平面直角坐標(biāo)系中,若O為坐標(biāo)原點,則A,B,C三 點在同一直線上的充要條件為存在唯一的實數(shù),使得 成立,此時稱實數(shù)為“向量 關(guān)于 和 的終點共線分解系數(shù)”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三 點共線且向量 與向量a=(1,1)垂直,則“ 向量關(guān)于 和 的終點共線分解系數(shù)”為( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1,【解析】選D.由 與向量a=(1,1)垂直,可設(shè) =(t,-t)(t0), 由 得 (t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2), 所以 兩式相加得2+2=0,所以=-1.,