高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.6簡單的三角恒等變換課件 .ppt

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第六節(jié) 簡單的三角恒等變換,【知識梳理】 1.半角公式,2sin2,2cos2,2,2.輔助角公式 asin x+bcos x= sin(x+)， 其中sin = ,cos = .,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題： 當(dāng)是第一象限角時， ； 對任意角， 都成立； 半角的正余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的； 公式 中的取值與a,b的值無關(guān)； 函數(shù)y=sin x+cos x的最大值為2. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選C.錯誤.在第一象限時， 在第一或第三象限. 當(dāng) 在第一象限時， ,當(dāng) 在第三象限時， 錯誤.此式子必須使tan 有意義且1+cos 0.即 k + 且2k+,即(2k+1)(kZ). 正確.由半角公式推導(dǎo)過程可知正確. 錯誤.由 可知的取值與a,b的 值有關(guān). 錯誤. 故其最大值為 .,2.已知 (，2)，則cos 等于( ) 【解析】選B.因為 (，2)，所以 所以,3.化簡 等于( ) A.sin B.cos C.sin D.cos 【解析】選C.,4如果 ，且sin 那么 【解析】選D.因為 所以cos ， 而,5.函數(shù)y cos 4xsin 4x的最小正周期為_ 【解析】y cos 4xsin 4x 答案：,6.(2014湖州模擬)若 則 _. 【解析】 答案：2 014,考點1 利用三角恒等變換化簡求值 【典例1】(1)已知450540，則 的 值是( ) (2)化簡：sin 2sin 2+cos 2cos 2- cos 2 cos 2_.,【解題視點】(1)利用倍角公式化簡. (2)從角、名、形、次數(shù)統(tǒng)一等幾個方面入手進(jìn)行化簡.,【規(guī)范解答】(1)選A.原式 因為450540，所以225 270. 所以原式sin .故選A.,(2)方法一:(從“角”入手，復(fù)角單角) 原式=sin2sin2+cos2cos 2- (2cos2-1) (2cos2-1) =sin 2sin 2+cos 2cos 2- (4cos 2cos2 -2cos 2-2cos 2+1) =sin 2sin 2-cos 2cos 2+cos 2+cos 2- =sin 2sin 2+cos 2sin 2+cos 2- =sin 2+cos 2- =1- = .,方法二:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2 =cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2cos2 =cos2-sin2cos2- cos2cos2 =cos2-cos2(sin2+ cos 2),方法三(從“冪”入手，利用降冪公式先降次) 原式=,方法四:(從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方) 原式=(sin sin -cos cos )2+2sin sin cos cos - cos 2cos 2 =cos 2(+)+ sin 2sin 2- cos 2cos 2 =cos 2(+)- cos(2+2) =cos2(+)- 2cos 2(+)-1= . 答案：,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”等.,2.三角函數(shù)式化簡的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角;降冪或升冪. 提醒:在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次.,三角函數(shù)式化簡的要求 (1)能求出值的應(yīng)求出值. (2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少. (3)盡量使項數(shù)最少. (4)盡量使分母不含三角函數(shù). (5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).,【變式訓(xùn)練】化簡: 【解析】原式 因為0,所以 ,所以 所以原式=-cos . 答案：-cos ,【加固訓(xùn)練】 1.化簡： 【解析】原式 答案：,2.化簡： 【解析】原式 答案：,考點2 三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用 【典例2】如圖,現(xiàn)要在一塊半徑為1 m,圓心 角為 的扇形報紙AOB上剪出一個平行四邊 形MNPQ,使點P在弧AB上,點Q在OA上,點M，N 在OB上,設(shè)BOP,平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. (2)求S的最大值及相應(yīng)的角.,【解題視點】雖然P點變化但OP不變，通過構(gòu)造 與角所在 的直角三角形，將平行四邊形的底和高用角表示，從而求出 S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求解相關(guān)問題.,【規(guī)范解答】(1)分別過P，Q作PDOB于D，QEOB于E， 則四邊形QEDP為矩形. 由扇形半徑為1 m，得PD=sin ,OD=cos . 在RtOEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DEODOE cos sin , S=MNPD=(cos sin )sin =sin cos sin 2,(0, ).,(2)S= sin 2 (1cos 2) = sin 2+ cos 2 = sin(2+ ) , 因為 所以 當(dāng)= 時，Smax= (m2).,【互動探究】在本例中若點M與O重合，圖形變?yōu)橄聢D，記平行四邊形ONPQ的面積為S.求S的最大值.,【解析】如圖，過P作PDOB于D，則 由扇形半徑為1 m，得PD=sin ，OD=cos , 在RtPND中, 因為PND=AOB= , 所以 ONODNDcos sin ,S=ONPD=(cos sin )sin =sin cos sin 2= sin 2 (1cos 2) = sin 2+ cos 2 = sin(2+ ) ， 因為(0, )， 所以2+ ( )，sin(2+ )( ,1. 當(dāng)= 時,Smax= (m2).,【易錯警示】關(guān)注變量的范圍 本例在求解時容易忽略的范圍而直接求最值，導(dǎo)致錯解，在解決實際問題時，要關(guān)注變量的范圍，否則容易出錯.,【規(guī)律方法】三角函數(shù)應(yīng)用題的處理方法 (1)引進(jìn)角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理，解決最優(yōu)化問題. (2)解決三角函數(shù)應(yīng)用問題和解決一般應(yīng)用性問題一樣，先建模，再討論變量的性質(zhì)，最后作出結(jié)論并回答問題.,【變式訓(xùn)練】(2014吉安模擬)已知直線l1l2,A是l1,l2之間的一定點,并且A點到l1,l2的距離分別為h1,h2,B是直線l2上一動點,作ACAB,且使AC與直線l1交于點C,則ABC面積的最小值為 .,【解析】如圖，設(shè)ABD，則 CAE， 所以SABC ABAC (0 ). 當(dāng)2 ，即 時，SABC的最小值為h1h2. 答案：h1h2,【加固訓(xùn)練】 1.(2014臺州模擬)如圖，已知四邊形ABCD 中ABCD，ADAB，BPAC，BP=PC，CDAB， 則經(jīng)過某種翻折后以下線段可能會相互重合 的是( ) A.AB與AD B.AB與BC C.BD與BC D.AD與AP,【解析】選D.設(shè)AB=a,CAB=,則AP=acos ,PC=BP=asin , AC=a(cos +sin ),AD=ACsin =a(cos +sin )sin , CD=ACcos =a(cos +sin )cos ，因為CDAB,故 cos2+sin cos 1，即sin（2+ ） , 即 ，故0 . A選項：假設(shè)AB=AD，則有sin2+sin cos =1, 即 ，無解.,B選項：假設(shè)AB=BC，則有 sin =1,則sin = ，無解. C選項：假設(shè)BD=BC，則有 sin 即1+2sin3cos =sin2，無解. D選項：假設(shè)AD=AP，則有sin2+sin cos =cos ,令 f()=sin2+sin cos -cos = 則f(0)=-10, 故必存在0使得:f(0)=0， 故AD與AP可能重合.D選項正確.,2.(2013三亞模擬)如圖所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為 的扇形，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，B,C兩點在圓弧上，OE是 POQ的平分線，連接OC，記COE=，問：角為何值時矩 形ABCD面積最大，并求最大面積.,【解析】設(shè)OE交AD于M，交BC于N，顯然矩形ABCD關(guān)于OE對稱，而M，N均為AD，BC的中點，在 RtONC中，CN=sin ,ON=cos . 所以MN=ONOM=cos sin ， 即AB=cos sin ,所以BC=2CN=2sin ,故S矩形=ABBC=(cos sin )2sin =2sin cos 2 sin 2=sin 2 (1cos 2) =sin 2+ cos 2 =2sin（2+ ） . 因為0 ,所以02 , 2+ , 故當(dāng)2+ = ,即= 時，S矩形取得最大值，此時S矩形= 2 .,考點3 三角恒等變換在研究圖象性質(zhì)中的應(yīng)用 【考情】利用三角恒等變換將三角函數(shù)化簡后研究圖象及性質(zhì)是高考的熱點.在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對稱性等問題.,高頻考點 通 關(guān),【典例3】(1)(2013湖北高考)將函數(shù)y= cos x+sin x(xR) 的圖象向左平移m(m0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對 稱，則m的最小值是( ) (2)(2014杭州模擬)若函數(shù)f(x)= 則函數(shù)f(x)是( ) A.周期為的偶函數(shù) B.周期為2的偶函數(shù) C.周期為2的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù),【解題視點】(1)將函數(shù)化為y=Asin(x)的形式再求解. (2)降冪將角統(tǒng)一再化為y=Asin(x)的形式后進(jìn)行判斷,【規(guī)范解答】(1)選B.由已知 當(dāng)m= 時，平移后函數(shù)為y=2sin(x+ )=2cos x，其圖象關(guān)于 y軸對稱，且此時m最小. (2)選D.f(x)= = 因此f(x)的周期T= =，且f(x)是 奇函數(shù).,【通關(guān)錦囊】,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014舟山模擬)函數(shù)f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(xR)的 最小正周期為( ) 【解析】選C.f(x)=sin 2x-4sin3xcos x=2sin xcos x- 4sin3xcos x=2sin xcos x(1-2sin2x)=sin 2xcos 2x= sin 4x， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期,2.(2014鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)= 則f(x)( ) A.周期為,且圖象關(guān)于點( ,0)對稱 B.最大值為2，且圖象關(guān)于點( ,0)對稱 C.周期為2,且圖象關(guān)于點(- ,0)對稱 D.最大值為2，且圖象關(guān)于x= 對稱,【解析】選B.f(x)=,因為xR,所以 所以-1sin(x- )1,則f(x)的最大值為2. 因為=1,所以周期T= =2. 當(dāng)x- =k(kZ)時，f(x)圖象關(guān)于某一點對稱， 所以當(dāng)k=0時，求出x= ,即f(x)圖象關(guān)于( ,0)中心對稱， 故選B.,3.(2013新課標(biāo)全國卷)設(shè)當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,則cos= . 【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+)，其中tan = -2，當(dāng)x+=2k+ 時，函數(shù)f(x)取得最大值，即=2k+ -.所以cos =cos( -)=sin ，又因為tan =-2， 在第四象限，所以sin =- ，即cos =- . 答案：-,4.(2013溫州模擬)函數(shù)y=(acos x+bsin x)cos x有最大值 2，最小值-1，則實數(shù)(ab)2的值為_. 【解析】y=acos2x+bsin xcos x 所以 所以a=1,b2=8，所以(ab)2=8. 答案：8,【加固訓(xùn)練】 1.(2014泰安模擬)已知函數(shù)f(x)= sin x-cos x，xR， 若f(x)1，則x的取值范圍為( ),【解析】選B.根據(jù)題意，得f(x)2sin (x- )，f(x)1，所 以2sin (x- )1，即sin (x- ) ，由圖象可知滿足 解得 2kx2k (kZ),2.(2013南寧模擬)設(shè)a=sin 14+cos 14，b=sin 16 +cos 16，c= .則a，b，c按從小到大的順序排列為 【解析】a=sin 14+cos 14= sin 59， b=sin 16+cos 16 sin 61，c sin 60. 因為596061，所以sin 59sin 60sin 61， 所以acb. 答案：acb,3.(2011上海高考)函數(shù) 的最大值 為 . 【解析】 故函數(shù)的最大值是 答案：,4.(2012北京高考)已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)的定義域及最小正周期. (2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,【解析】(1)由sin x0，得xk,kZ，所以定義域為x|xk,kZ. f(x)= =2sin xcos x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1= 所以最小正周期T= =.,【規(guī)范解答3】三角變換在研究三角函數(shù)中的應(yīng)用 【典例】(14分)(2013陜西高考)已知向量a=(cos x, ), b=( sin x,cos 2x),xR,設(shè)函數(shù)f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)f(x)=ab=cos x sin x cos 2x2分 = =sin（2x ）,5分 最小正周期T= =. 所以f(x)=sin（2x ）的最小正周 期為.7分,(2) ,9分 由正弦曲線y=sin x在 上的圖象知， ,即x= 時，f(x)取得最大值1; 當(dāng) ,即x=0時，f(x)取得最小值- .13分 所以，f(x)在 上的 最大值和最小值分別為1, . 14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練，能力遷移 已知函數(shù)f(x)= (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間. (2)求函數(shù)f(x)在 上的最小值.,【解析】(1) 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2. 由 得 則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,(2)由 ，得 則當(dāng) 即x= 時，f(x)取得最小值 .,