高三數(shù)學一輪復習 3.5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課件 .ppt

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第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【知識梳理】 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(-):cos(-)=_. (2)C(+):cos(+)=_. (3)S(+):sin(+)=_. (4)S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,(5)T(+):tan(+)=_(,+ +k, kZ). (6)T(-):tan(-)= _(,- + k,kZ).,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2:sin2=_. (2)C2:cos2=_=_=_. (3)T2：tan 2= _( +k,kZ).,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題： 兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的; 存在實數(shù),使等式sin(+)=sin +sin 成立; 在銳角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定; 公式tan(+)= 可以變形為tan +tan =tan(+)(1-tan tan ),且對任意角,都成立; 存在實數(shù)，使tan 2=2tan . 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.正確.對于任意的實數(shù), ,兩角和與差的正 弦、余弦公式都成立. 正確.如取=0，因為sin 0=0, 所以sin(+0)=sin =sin +sin 0. 錯誤.因為 A+B, 所以cos(A+B)0,即cos Acos B-sin Asin B0. 所以sin Asin Bcos Acos B. 錯誤.變形可以，但不是對任意角,都成立. ,+k+ ,kZ. 正確.當=k(kZ)時，tan 2=2tan .,2.計算sin 68sin 67-sin 23cos 68的結果等于( ) 【解析】選B.原式=sin 68cos 23-cos 68sin 23 =sin(68-23)=sin 45=,3.下列各式中，值為 的是( ) A2sin 15cos 15 B.cos215sin215 C2sin215-1 D.sin215cos215 【解析】選A.2sin 15cos 15sin 30 cos215-sin215cos 30 2sin215-1-cos 30 sin215+cos215=1.,4.(2014寧波模擬)已知銳角滿足cos 2=cos( -)，則 sin 2等于( ) 【解析】選A.由cos 2=cos( -), 得(cos -sin )(cos +sin )= (cos +sin ), 由為銳角知cos +sin 0. 所以cos -sin = ，平方得1-sin 2= 所以sin 2=,5.計算： =_. 【解析】 = = 答案：,6.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan 2=_. 【解析】因為2=(+)+(-)， 所以tan 2=tan(+)+(-) = = 答案：,考點1 三角函數(shù)公式的逆用與變形應用 【典例1】(1)計算： =_. (2)計算：tan 20+tan 40+ tan 20tan 40_. (3) 的化簡結果是_,【解題視點】(1)觀察式子的特點，利用特殊角的三角函數(shù)值，逆用和差角的正切公式求解. (2)所求式子中有兩個正切的和與積，故可逆用和角的正切公式求解. (3)逆用二倍角公式將根號內配方化簡.,【規(guī)范解答】(1) =tan 45=1. 答案：1 (2)因為tan 60tan(20+40) 所以tan 20+tan 40tan 60(1-tan 20tan 40) 答案：,(3)原式 2|cos 4|2|sin 4cos 4|， 因為 所以cos 40，且sin 4cos 4, 所以原式-2cos 4-2(sin 4cos 4)-2sin 4. 答案：-2sin 4,【易錯警示】注意角的范圍 本例第(3)題容易忽略討論cos 4的符號及sin 4與cos 4的大小而直接求解導致錯誤，在涉及開方時，一定要討論被開方數(shù)的符號.,【規(guī)律方法】三種常見公式變形 (1)正切和差角公式變形：tan xtan ytan(xy)(1 tan xtan y). (2)倍角公式變形：降冪公式 (3)升冪變形：,特殊角的三角函數(shù)的逆用 當式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時，往 往就是“由值變角”的一種提示.可以根據問題的需要，將常 用三角函數(shù)式表示出來， 構成適合公式的形式，從而達到化 簡的目的.,【變式訓練】化簡： =_. 【解析】 答案：,【加固訓練】 1.化簡 的結果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】選C.原式=,2.(2014西寧模擬)計算： =_. 【解析】 =tan(45-15)=tan 30= 答案：,考點2 給角求值 【典例2】(1)(2013重慶高考)計算：4cos 50tan 40 =( ) (2)(2014杭州模擬)計算： _,【解題視點】(1)先切化弦,然后通分化簡求解即可. (2)綜合運用二倍角公式，兩角和與差的正余弦公式求解.,【規(guī)范解答】(1)選C. 4cos 50tan 40=4cos 50-,(2)原式= 答案：,【規(guī)律方法】給角求值應注意的三個問題 (1)變角：分析角之間的差異，巧用誘導公式或拆分. (2)變名：盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱. (3)變式：觀察結構，利用公式，整體化簡. 提醒：“變式”時常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,【變式訓練】(2014舟山模擬)求值： =_. 【解析】原式= 答案：,【加固訓練】 1.(2014伊寧模擬)計算： =_. 【解析】 答案：2,2.(2014宜昌模擬)計算： _. 【解析】因為sin 50(1+ tan 10) = = 所以 答案：,考點3 有限制條件的求值、證明問題 【考情】有限制條件的求值問題是高考的熱點.在高考中以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的靈活應用等問題.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2014嘉興模擬)已知sin( -x)= ,0x ，則 =_. (2)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x)= xR 求 的值. 若,【解題視點】(1)先求出 -x的范圍，再求出cos( -x)的值， 最后根據2x, +x與已知角 -x的聯(lián)系求解. (2)根據兩角和與差的余弦公式展開，轉化為特殊角和已知角 求解,【規(guī)范解答】(1)因為x(0, ),所以 -x(0, ). 又因為 所以 又 = 所以原式= 答案：,【通關錦囊】,【特別提醒】解答有限制條件的求值問題時,要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件角的聯(lián)系,一般方法是拼角與拆角.,【關注題型】,【通關題組】 1.(2013江西高考)若 ，則cos =( ) 【解析】選C.cos =,2.(2014金華模擬)設，為鈍角，且sin = ， cos =- ，則+的值為( ),【解析】選C.因為，為鈍角，所以cos = = sin = 故cos(+)= cos cos -sin sin = 又+2，因此+=,3.(2013四川高考)設 ，則tan 2的 值是_ 【解析】根據題意sin 2=-sin ，可得2sin cos = -sin ，可得cos = ，tan = 所以 答案：,4.(2014杭州模擬)已知 cos(-)= ， sin(+)=- ，則sin +cos 的值為_.,【解析】因為 所以 sin(-)= cos(+)= 故sin 2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-) +cos(+)sin(-)=,因此(sin +cos )2=1+2sin cos =1+sin 2= 又sin +cos 0，所以sin +cos = 答案：,【加固訓練】 1.(2014石家莊模擬)已知向量a=(4,5cos )，b=(3， -4tan ).若ab，且(0, )，則cos(2- )=_. 【解析】因為ab， 所以ab=0， 即12-20cos tan =0， 所以12-20sin =0，即 因為(0， )，所以,所以sin 2=2sin cos = cos 2=1-2sin2= 所以cos(2- )=cos 2cos +sin 2sin 答案：,2.(2013蘭州模擬)已知sin和cos是關于x的方程 x2-2xsin+sin2=0的兩個根. 求證:2cos2=cos2. 【證明】因為sin,cos是方程x2-2xsin+sin2=0的兩根, 所以sin+cos=2sin,sincos=sin2. 因為(sin+cos)2=1+2sincos, 所以(2sin)2=1+2sin2,即4sin2=1+2sin2, 所以2(1-cos2)=1+1-cos2, 所以2cos2=cos2.,【易錯誤區(qū)9】給值求角問題的易錯點 【典例】(2014無錫模擬)已知，為三角形的兩個內角， cos ，sin() ，則=_.,【解析】因為0，cos ， 所以sin 故 又因為0，sin(+) 所以0+ ，或 +， 由 ，,所以cos(+) 所以cos cos() cos(+)cos +sin()sin 又因為0，所以 . 答案：,【誤區(qū)警示】 1.處不能縮小角+的范圍,導致求cos(+)時不能正確判斷符號,產生兩解. 2.所求函數(shù)值不是cos,而是sin,導致在(0,)中角有兩解的錯誤.,【規(guī)避策略】 1.在利用平方關系求sin,cos時開方需要判斷符號,若所給范圍過大,此時應注意縮小角的范圍,方法是把所給角的函數(shù)值和特殊角的函數(shù)值比較,再結合單調性判斷.,2.通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,遵照以下 原則:已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值, 選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是 選正、余弦皆可;若角 的范圍是(0,),選余弦較好;若角的范圍為 選正弦較好.,【類題試解】已知0 , (1)求sin 的值. (2)求的值.,【解析】(1)因為 所以,(2)因為0 ,sin = ,所以cos = 又0 ,所以0-. 由cos(-)= ,得0- . 所以sin(-)= 所以sin =sin(-)+=sin(-)cos +cos(- )sin 由 得= .（或求cos = ,得= ）,