高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題課件.ppt

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熱點(diǎn)專題突破系列(五) 圓錐曲線的綜合問題,考點(diǎn)一 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題 【考情分析】以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過巧妙設(shè)計(jì)和整合命題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯考查.,【典例1】(2014西安模擬)已知橢圓C: 經(jīng)過點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn)是F(0,-1). (1)求橢圓C的方程. (2)設(shè)橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1,A2,點(diǎn)P在直線y=a2上,直線PA1,PA2 分別與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).試問:當(dāng)點(diǎn)P在直線y=a2上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線MN是 否恒過定點(diǎn)Q?證明你的結(jié)論.,【解題提示】(1)由點(diǎn) 在橢圓C上及F(0,-1)可求橢圓C的方程. (2)先利用P的特殊位置，即P在y軸上時(shí)，確定若直線MN恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在y軸上，然后利用三點(diǎn)共線的條件解決.,【規(guī)范解答】(1)由題意知c=1,可設(shè)橢圓方程為 因?yàn)?在橢圓上，所以 解得b2=3, 所以橢圓的方程為 (2)假設(shè)存在定點(diǎn)Q. 當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),M,N分別與A1,A2重合, 若直線MN經(jīng)過定點(diǎn)Q,則Q必在y軸上,設(shè)Q(0,m), 當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí), 設(shè)P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),因?yàn)锳1(0,2),A2(0,-2), 所以直線PA1的方程為 直線PA2的方程為 將 代入 得(3+t2)x2+6tx=0, 解得 所以 將 代入 得(27+t2)x2-18tx=0,解得 所以 因?yàn)?所以 所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1, 所以當(dāng)點(diǎn)P在直線y=a2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN恒經(jīng)過定點(diǎn)Q(0,1).,【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系,找到定點(diǎn). (2)特殊到一般法:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).,【變式訓(xùn)練】(2015南京模擬)如圖，已知 橢圓C: 的上頂點(diǎn)為A，右焦 點(diǎn)為F，直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切. (1)求橢圓C的方程. (2)若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且 求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).,【解析】(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2 +(y-1)2=3, 圓M的圓心為M(3,1),半徑 由A(0,1),F(c,0) 得直線AF: 即x+cy-c=0, 由直線AF與圓M相切，得 (舍去). 當(dāng) 時(shí),a2=c2+1=3,故橢圓C的方程為C:,(2)由 知APAQ, 從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直， 由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1, 直線AQ的方程為 將y=kx+1代入橢圓C的方程 并整理得： (1+3k2)x2+6kx=0, 解得x=0或,因此P的坐標(biāo)為 即 將上式中的k換成 得 直線l的方程為 化簡(jiǎn)得直線l的方程為 因此直線l過定點(diǎn),【加固訓(xùn)練】(2015保定模擬)設(shè)橢圓E： 的離心率為 且過點(diǎn) (1)求橢圓E的方程. (2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l:x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，試判定直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).,【解析】(1)由 可得a2=2b2， 橢圓方程為 代入點(diǎn) 可得b2=2,a2=4, 故橢圓E的方程為 (2)由x-my-t=0得x=my+t, 把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0, 設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)得：,x1+x2=m(y1+y2)+2t= x1x2=(my1+t)(my2+t) =m2y1y2+tm(y1+y2)+t2= 因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A， 所以AMAN, 所以 =(x1+2,y1)(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2,因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t-2, 所以 直線l的方程是 直線l過定點(diǎn) 由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0， 所以直線l過定點(diǎn),考點(diǎn)二 圓錐曲線中的定值問題 【考情分析】該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題,是高考熱點(diǎn): (1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力. (2)解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式為定值.,【典例2】(2013江西高考)橢圓C: 的離心率 (1)求橢圓C的方程. (2)如圖，A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明:2m-k為定值.,【解題提示】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程,分別聯(lián)立橢圓方程及AD的方程表示出點(diǎn)P,M的坐標(biāo),再利用DP與x軸表示點(diǎn)N的坐標(biāo),最終把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),把k與m都用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示.,【規(guī)范解答】(1) 因?yàn)?所以 又由a2=b2+c2得 代入a+b=3， 得 故橢圓C的方程為 (2)因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)， 則直線BP的方程為 ， 將代入 解得 直線AD的方程為： .,聯(lián)立解得 由D(0,1), N(x,0)三點(diǎn)共線可知 即 所以點(diǎn) 所以MN的斜率為 則 (定值).,【一題多解】解決本例(2)，你知道幾種解法？ 解答本題，還有如下方法： 設(shè)P(x0,y0)(x00,2)， 則 直線AD的方程為 直線BP的方程為 直線DP的方程為 令y=0，由于y01，可得 解,所以MN的斜率為 故,【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法 (1)特點(diǎn):待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值. (2)兩大解法:從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān). 引進(jìn)變量法:其解題流程為,【變式訓(xùn)練】(2015廣州模擬)已知橢圓C： 的短半軸長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t0)在直線 (c為半焦距)上. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程. (3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.,【解析】(1)由點(diǎn)M(2,t)在直線 上，得 故 所以c=1,從而 所以橢圓方程為,(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0. 即 其圓心為 半徑 因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2， 所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離 所以 解得t=4. 所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.,(3)設(shè)N(x0,y0), 則 因?yàn)?所以2(x0-1)+ty0=0,所以2x0+ty0=2. 又因?yàn)?所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0, 所以x02+y02=2x0+ty0=2, 所以 為定值.,【加固訓(xùn)練】已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng) 點(diǎn)，且 過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn) 為M. (1)證明： 為定值. (2)設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值,【解析】(1)由已知條件，得F(0,1)，0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由 即得(x1,1y1)(x2，y21) 所以 將式兩邊平方并把 代入得y12y2， 解式得 且有x1x2x224y24. 拋物線方程為,求導(dǎo)得 所以過拋物線上A，B兩點(diǎn)的切線方程分別是 即 解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為 所以， 所以 為定值，其值為0.,(2)由(1)知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而,因?yàn)閨AF|，|BF|分別等于A，B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離， 所以|AB|AF|BF|y1y22 于是 由 知S4， 且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值4.,考點(diǎn)三 圓錐曲線中的最值與取值范圍問題 【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問題,是高考熱點(diǎn): (1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對(duì)值不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立,求參數(shù)取值范圍. (2)求函數(shù)的值域,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解,有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解. (3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式.,【典例3】(2014浙江高考)如圖，設(shè)橢圓C: 動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限. (1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo) (2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.,【解題提示】(1)將直線與橢圓方程聯(lián)立,解得P點(diǎn)坐標(biāo). (2)表示出點(diǎn)到直線的距離,利用a,b,k之間的關(guān)系和基本不等式求出最大值.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k0), 由 消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0, 由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故=0, 即b2-m2+a2k2=0, 所以,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的 坐標(biāo)為,(2)由于直線l1過原點(diǎn)O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0， 所以點(diǎn)P到直線l1的距離d= 因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立. 所以，點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.,【規(guī)律方法】 1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍. (2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.,(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.,2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法 (1)兩類最值問題:涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題. (2)兩種常見解法:幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.,提醒:求最值問題時(shí),一定要注意對(duì)特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等.,【變式訓(xùn)練】(2015杭州模擬)已知圓M： 若橢圓C： 的右頂點(diǎn)為圓M的圓心， 離心率為 (1)求橢圓C的方程. (2)若存在直線l:y=kx,使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c, 因?yàn)?所以c=1,所以b=1, 所以橢圓C：,(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則 所以(1+2k2)x2-2=0, 則x1+x2=0, 所以|AB|= 點(diǎn) 到直線l的距離 則|GH|=,顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對(duì)稱性可知，直線y=kx就是y軸， 矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|， 所以 當(dāng)k=0時(shí)， 當(dāng)k0時(shí)，,又顯然 所以 綜上，,【加固訓(xùn)練】已知拋物線C:y=x2.過點(diǎn)M(1,2)的直線l交C于A,B兩點(diǎn).拋物線C在點(diǎn)A處的切線與在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)P. (1)若直線l的斜率為1,求|AB|. (2)求PAB的面積的最小值.,【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意知，直線l的方程為y=x+1, 由 消去y得x2-x-1=0,解得, 所以|AB|=,(2)易知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)+2, 設(shè)點(diǎn)A(x3,y3),B(x4,y4). 由 消去y, 整理得x2-kx+k-2=0, x3+x4=k,x3x4=k-2, 又y=(x2)=2x, 所以拋物線y=x2在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為y=2x3x-x32,y=2x4x-x42.,得兩切線的交點(diǎn) 所以點(diǎn)P到直線l的距離 又|AB|= = 設(shè)PAB的面積為S， 所以 (當(dāng)k=2時(shí)取得等號(hào)). 所以PAB面積的最小值為2.,