高中數學 4.1.2圓的一般方程課件 新人教A版必修2.ppt

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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,人教版 · 必修2,圓的方程,第四章,4.1 圓的方程,第四章,4.1.2 圓的一般方程,1．圓的標準方程為__________________________ ． 2．用待定系數法求圓的標準方程步驟如下： (1)由題意設出標準方程；(2)列出關于a、b、r的方程(或方程組)；(3)解出a、b、r代入標準方程． 3．由幾何意義求圓的標準方程步驟如下： (1)由題意確定圓心和半徑長；(2)寫出標準方程． 4．平面幾何中的結論：不共線的________確定一個圓．,●知識銜接,(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0),三點,[答案] C,●自主預習,D2＋E2－4F0,(3)用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟： ①根據題意，選擇__________或__________； ②根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的__________； ③解出a，b，r或D，E，F，代入標準方程或一般方程． [破疑點] 若一個二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，應滿足的條件是：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F0.,標準方程,一般方程,方程組,[拓展] 1.圓的標準方程和一般方程的對比 (1)由圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圓心坐標(a，b)和半徑r，圓的幾何特征明顯． (2)由圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程，圓的代數特征明顯． (3)相互轉化，如圖所示．,,2．由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系 剖析：已知點M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，則其位置關系如下表：,2.軌跡方程 點M的坐標(x，y)滿足的__________稱為點M的軌跡方程． [拓展] 當動點M的變化是由點P的變化引起的，并且點P在某一曲線C上運動時，常用中間量法(又稱為相關點法)來求動點M的軌跡方程，其步驟是：(1)設動點M(x，y)；(2)用點M的坐標來表示點P的坐標；(3)將所得點P的坐標代入曲線C的方程，即得動點M的軌跡方程．,關系式,●預習自測,[答案] B,2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實數k的取值范圍是( ) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) [答案] B [解析] ∵D2＋E2－4F0，∴16＋4－20k0， ∴k1，故選B．,3．點P(x0，y0)是圓x2＋y2＝4上的動點，點M是OP(O是原點)的中點，則動點M的軌跡方程是________. [答案] x2＋y2＝1,(1)(2015·荊州高二檢測)圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心坐標為( ) A．(1,2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(－1，－2),二元二次方程與圓的關系,●互動探究,[探究] (1)怎樣由圓的一般方程得出其圓心和半徑？ (2)題2中二元二次方程在什么件下表示圓？,[答案] (1)B (2)A,規(guī)律總結：(1)判斷一個二元二次方程是否表示圓的步驟是：先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，即①x2與y2的系數相等；②不含xy項；當它具有圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓，此時有兩種途徑，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方變形，看右端是否為大于零的常數即可． (2)圓的標準方程指出了圓心坐標與半徑的大小，幾何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯．,(1)過三點A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圓的方程是( ) A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0 C．x2＋y2－4x－2y－20＝0 D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0,用待定系數法求圓的方程,[探究] (1)題1中三點與圓心、半徑無直接聯系，應怎樣設出圓的方程？ (2)圓的一般方程中含有幾個待定系數，在求圓的方程時如何求出待定系數？,[答案] (1)C,規(guī)律總結：求圓的方程有以下兩種方法． (1)幾何法．利用圓的幾何性質確定出圓心和半徑． (2)待定系數法．大致步驟為： ①根據題意，選擇標準方程或一般方程； ②根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F，代入標準方程或一般方程．,注：不論是圓的標準方程還是一般方程，必須具備三個獨立條件，才能確定一個圓．在選擇圓的標準方程或一般方程時：如果由已知條件容易知圓心坐標、半徑長或可用圓心、半徑長列方程，通常設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑長都無直接關系，通常選擇一般方程．而利用圓的幾何性質及數形結合思想又易于尋找解題思路．,(1)已知圓經過A(2，－3)和B(－2，－5)，若圓心在直線x－2y－3＝0上，求圓的方程． (2)求過點A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圓的方程． [分析] 由題設三個條件，可利用待定系數法求方程，也可利用弦的中垂線過圓心，先確定圓心，再求圓的半徑．,規(guī)律總結：1.第(1)題中，容易發(fā)現，利用圓的性質的解法3比用待定系數法的解法1和解法2計算量小，充分利用圓的性質可簡化解題過程． 2．用待定系數法求圓的方程時，①如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，求出a、b、r即可．②如果給出圓上三個點坐標或已知條件與圓心或半徑都無直接關系，一般采用一般方程，求出D、E、F即可．,已知點P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程． [探究] 求動點的軌跡方程即求動點的坐標(x，y)滿足的關系式．可以建立點P與點M的坐標之間的關系，由點P的坐標滿足方程x2＋y2－8x－6y＋21＝0，得點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程．也可以根據圖形的幾何特征，直接利用圓的定義求解．,求軌跡方程,●探索延拓,[點評] 本題解法一為代入法：它用于處理一個主動點與一個被動點問題，只需找出這兩點坐標之間的關系，然后代入主動點滿足的軌跡方程即可．本題解法二為定義法：動點的軌跡滿足某種曲線的定義，然后根據定義直接寫出動點的軌跡方程．,規(guī)律總結：求軌跡方程的常用方法： (1)直接法：能直接根據題目提供的條件列出方程．步驟如下： 說明：因為除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，所以證明時步驟可以不寫，如果有特殊情況，可適當予以說明．,,(2)代入法(也稱相關點代入法)：找到所求動點與已知動點的關系，代入已知動點的所在的方程．具體步驟如下： ①設所求軌跡上任意一點Q(x，y)，與點Q相關的動點P(x0，y0)； ②根據條件列出x，y與x0，y0的關系式，求得x0，y0(即用x，y表示出來)； ③將x0，y0代入已知曲線的方程，從而得到點Q(x，y)滿足的關系式即為所求的軌跡方程．,等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊一個端點是B(3,5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么． [分析] 先設出點C的坐標(x，y)，根據|AB|＝|AC|列方程化簡整理，即可得點C的軌跡方程，然后由軌跡方程指明軌跡．,,已知點O(0,0)在圓x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范圍．,易錯點 忽視圓的方程成立的條件,●誤區(qū)警示,[錯因分析] 本題忽視了圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件為D2＋E2－4F＞0，而導致錯誤．,[思路分析] 方程是否滿足表示圓的條件，這是將二元二次方程按圓的方程處理時應首先考慮的問題．,當m是什么實數時，關于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的圖形是一個圓？ [錯解] 形如Ax2＋By2＋F＝0的方程表示一個圓，只要A＝B≠0， 所以2m2＋m－1＝m2－m＋2，即m2＋2m－3＝0， 解得m1＝1，m2＝－3. 所以當m＝1，或m＝－3時，原方程表示的圖形是一個圓．,1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是( ) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) [答案] D [解析] 圓的一般程化成標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，可知圓心坐標為(2，－3)．,2．過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為( ) A．x2＋y2－2x－3y＝0 B．x2＋y2＋2x－3y＝0 C．x2＋y2－2x＋3y＝0 D．x2＋y2＋2x＋3y＝0 [答案] A,3．動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離是2倍，則動點P的軌跡方程為( ) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 [答案] B,4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－1,2)為圓心，2為半徑的圓，則F＝________. [答案] 1,5．判斷下列方程是否表示圓，若是，化成標準方程． (1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.,