高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念課件 新人教版選修2-2.ppt

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§1.5 定積分的概念,第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,1.了解定積分的概念. 2.理解定積分的幾何意義. 3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想. 4.能用定積分的定義求簡單的定積分.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程,,答案,y＝f(x),1.曲邊梯形的面積 (1)曲邊梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示).,,答案,小曲邊梯形,(2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 ，對每個 “以直代曲”,即用 的面積近似代替 的面積，得到每個小曲邊梯形面積的 ，對這些近似值 ，就得到曲邊梯形面積的 (如圖②所示).,小曲邊梯形,小曲邊梯形,矩形,近似值,求和,近似值,(3)求曲邊梯形面積的步驟：① ，② ，③ ，④ . 2.求變速直線運動的(位移)路程 如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s.,,答案,分割,近似代替,求和,取極限,分割,近似代替,求和,取極限,,思考 (1)如何計算下列兩圖形的面積？,答案 ①直接利用梯形面積公式求解. ②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.,答案,,,,答案,,,(2)求曲邊梯形面積時，對曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？,答案 為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對每個小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越小.,知識點二 定積分的概念,,答案,定積分,,答案,積分下限,其中a與b分別叫做 與 ，區(qū)間[a，b]叫做 ，函數(shù)f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .,積分上限,積分區(qū)間,被積函數(shù),積分變量,被積式,,思考 (1)如何理解定積分？,答案 定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，,不同的積分區(qū)間，定積分的積分限不同，所得的值也不同，,答案,,答案 ①分割：將區(qū)間[a，b]n等分，記第i個小區(qū)間為[xi－1，xi]， 區(qū)間長度Δx＝xi－xi－1；,答案,知識點三 定積分的幾何意義與性質(zhì),,1.定積分的幾何意義 由直線x＝a，x＝b(ab)，x軸及一條曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有：,答案,,答案,,答案,,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求圖形的面積問題,,解析答案,反思與感悟,例1 用定積分的定義求曲線y＝x3＋1與x＝0，x＝1及y＝0所圍成的曲邊梯形的面積.,,解析答案,反思與感悟,過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形， 它們的面積分別記為ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.,,解析答案,反思與感悟,③求和：Sn＝ΔS1＋ΔS2＋…＋ΔSn,,反思與感悟,,反思與感悟,對圖形進(jìn)行分割實現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積，但這僅是近似值，分割得越細(xì)，近似程度就會越高，這就是“以直代曲”方法的應(yīng)用.,跟蹤訓(xùn)練1 求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積.,,解析答案,,解析答案,解 (1)分割： 將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，,,解析答案,過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形， 它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn. (2)近似代替： 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.,為了計算方便取xi為小區(qū)間的左端點，,,解析答案,(3)求和： 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值.即,(4)取極限： 當(dāng)分點數(shù)目愈多，即Δx愈小時，和式①的值就愈接近曲邊梯形的面積S， 因此，當(dāng)n→∞，即Δx→0時，和式①的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.,題型二 求汽車行駛的路程,,解析答案,例2 汽車以速度v做勻速直線運動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程為s＝vt.如果汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝t2＋2(v的單位：km/h，t的單位：h)，那么它在1≤t≤2這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？,反思與感悟,,解 將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,,利用類比轉(zhuǎn)化的思想，把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時間—速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積，再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g＝9.8 m/s2),,解析答案,解 自由落體的下落速度為v(t)＝gt.,以左端點函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.,故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.,題型三 由定積分的幾何意義求定積分,,解析答案,例3 利用定積分的幾何意義，求：,,解析答案,反思與感悟,解 在坐標(biāo)平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線.,x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖(2)所示.,,利用定積分的幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識求面積，求不規(guī)則圖形的面積常用分割法，注意分割點的選取.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 利用定積分的幾何意義計算.,解 如圖①所示，定積分為圖中陰影部分面積A減去B.,,解析答案,解 如圖②所示，定積分為圖中陰影部分面積，,,解析答案,因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤,例4 如圖所示，f(x)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的面積S為( ),返回,,易錯易混,防范措施,,錯解 錯選A或B或C. 錯因分析 錯誤的原因在于對定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.,若在[a，c]上，f (x)≤0，在[c，b]上，f (x)≥0，,故選D.,防范措施,,,定積分的幾何意義是在x軸上半部計算的面積取正值，在x軸下半部計算的面積取負(fù)值.,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,1.把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為( ),解析 區(qū)間[1,3]的長度為2，,B,解析答案,1,2,3,4,,A.與f (x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān) B.與f (x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān) C.與f (x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān) D.與f (x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān),A,答案,1,2,3,4,,,解析答案,1.02,1,2,3,4,,4.根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：,,,答案,,課堂小結(jié),1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟： (1)分割：n等分區(qū)間[a，b]； (2)近似代替：取點ξi∈[xi－1，xi]；,也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點，如區(qū)間的端點(或中點).,,返回,3.可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分. 4.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運算.,