高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2直接證明與間接證明課件 理 蘇教版.ppt

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數(shù)學(xué) 蘇 （理）,13.2 直接證明與間接證明,第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù),基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,思想方法感悟提高,練出高分,1.直接證明 (1)綜合法 定義：從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.,已知條件,思維過程：由因?qū)Ч?,(2)分析法 定義：從 出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.,思維過程：執(zhí)果索因.,問題的結(jié)論,2.間接證明,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.( ) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.( ) (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時，應(yīng)假設(shè)“ab”.( ) (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾.( ) (5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.( ) (6)證明不等式 最合適的方法是分析法.( ),pq,a0，b0且ab,解析,例1 對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： 對任意的x0,1，總有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,取特殊值代入計算即可證明；,例1 對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： 對任意的x0,1，總有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,證明 取x1x20，則x1x201，,f(00)f(0)f(0)，f(0)0.,又對任意的x0,1，總有f(x)0，,f(0)0.于是f(0)0.,例1 對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： 對任意的x0,1，總有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性.,例1 對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： 對任意的x0,1，總有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,對照新定義中的3個條件，逐一代入驗證，只有滿足所有條件，才能得出“是理想函數(shù)”的結(jié)論，否則得出“不是理想函數(shù)”的結(jié)論.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,解 對于f(x)2x，x0,1，f(1)2不滿足新定義中的條件，,f(x)2x，(x0,1)不是理想函數(shù).,對于f(x)x2，x0,1，顯然f(x)0，且f(1)1.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,任意的x1，x20,1，x1x21，,f(x1x2)f(x1)f(x2) (x1x2)2x x 2x1x20，,即f(x1)f(x2)f(x1x2).,f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,對于f(x) ，x0,1，顯然滿足條件.,對任意的x1，x20,1，x1x21，,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.,f(x1x2)f(x1)f(x2)，不滿足條件.,f(x) (x0,1)不是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,綜上，f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù)， f(x)2x(x0,1)與f(x) (x0,1)不是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函數(shù).,思維點撥,解析,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 (2013課標全國)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明： (1)abbcac ；,證明 由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca.,由題設(shè)得(abc)21，,即a2b2c22ab2bc2ca1.,所以3(abbcca)1，即abbcca .,跟蹤訓(xùn)練1 (2013課標全國)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明： (2) 1.,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,用分析法，移項，平方，化簡.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點撥,解析,思維升華,證明 因為a，b(0，)，所以要證原不等式成立，,即證(a3b3)2(a2b2)3，,即證a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，,只需證2a3b33a4b23a2b4.,因為a，b(0，)，,所以即證2ab3(a2b2).,而a2b22ab,3(a2b2)6ab2ab成立，,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (1)求數(shù)列an的通項公式；,題型三 反證法的應(yīng)用,解 當n1時，a1S12a12，則a11.,又anSn2，所以an1Sn12，,兩式相減得an1 an，,思維點撥,解析,思維升華,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,證明(2)用反證法，假設(shè)存在三項，符合條件推出矛盾.,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,證明 反證法：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，,又因為pqr，所以rq，rpN*.,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立.,所以假設(shè)不成立，原命題得證.,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,(1)當一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,(2)用反證法證明不等式要把握三點：必須否定結(jié)論；必須從否定結(jié)論進行推理；推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,例3 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,思維點撥,解析,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11 ，S393 . (1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；,(2)設(shè)bn (nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.,p，q，rN*，,pr，與pr矛盾.,假設(shè)不成立，即數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.,典例：(14分)已知數(shù)列xn滿足x1 ，xn1 ，求證： 0xn1xn .,思想與方法系列20 放縮有“度”，巧證不等式,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,思 維 點 撥,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,先證0xn1，再求xn1xn的表達式，利用不等式放縮得出結(jié)論.,規(guī) 范 解 答,證明 由條件可知數(shù)列xn的各項均為正數(shù)，,故由基本不等式，得xn1 1，,若xn11，則xn1，,這與已知條件x1 矛盾.,所以0xn1，,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,因上述兩個不等式中等號不可能同時成立，,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,(1)所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，根據(jù)證題目標進行合情合理的放大或縮小，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟.,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,(2)本題技巧性較強，經(jīng)過了兩次放縮，關(guān)鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩.第一次是利用基本不等式，將xn1xn轉(zhuǎn)化為常數(shù)，根據(jù)已知驗證可判定出0xn1；第二次放縮法是證明不等式經(jīng)常利用的方法，多采用添項或去項，分子、分母擴大或縮小，應(yīng)用基本不等式進行放縮，放縮時要注意放縮的方向保持一致.在此步驟中，因兩個等式中的等號不可能同時成立，所以兩式相乘后不取等號，這是易錯之處，必須加以警惕.,思 維 點 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,方 法 與 技 巧,1.分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知.,3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點.分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考.實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來.,2.綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知.,失 誤 與 防 范,1.用分析法證明時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即證”“只需證”等，逐步分析，直至一個明顯成立的結(jié)論.,2.利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)的命題進行推理，如果沒有用假設(shè)的命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,即ab.,答案 ab,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,P2Q2，PQ.,PQ,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,欲證a2b2(ab)22ab2，即證42ab2，,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,即ab1，由知成立.,答案 ,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,即ab1時，取“”.,答案 4,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,5.(2014山東改編)用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是_.,解析 方程x3axb0至少有一個實根的反面是方程x3axb0沒有實根.,方程x3axb0沒有實根,6.下列條件： ab0；ab0，b0；a0，b0. 其中能使 2成立的條件的個數(shù)是_.,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,3,7.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個“整數(shù)對”是_.,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,解析 依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知每組中每個“整數(shù)對”的和為n1，且每組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有 個“整數(shù)對”，,注意到 60 ，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各數(shù)對依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7).,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,答案 (5,7),2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,解析 f(x)sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，且A、B、C(0，).,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,證明 ab，ab0.,平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)， 只需證：|a|2|b|22|a|b|0， 即(|a|b|)20，顯然成立.故原不等式得證.,10.已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD ，SA1. (1)求證：SA平面ABCD；,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,證明 由已知得SA2AD2SD2， SAAD.同理SAAB. 又ABADA， SA平面ABCD.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由.,解 假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD. BCAD，BC平面SAD. BC平面SAD.而BCBFB， 平面FBC平面SAD. 這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾， 假設(shè)不成立. 故不存在這樣的點F，使得BF平面SAD.,2,3,4,5,1,ABC,2.(2013廣東)設(shè)整數(shù)n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三條件xyz，yzx，zxy恰有一個成立.若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，則下列選項正確的是_. (y，z，w)S，(x，y，w)S (y，z，w)S，(x，y，w)S (y，z，w)S，(x，y，w)S (y，z，w)S，(x，y，w)S,3,4,5,1,2,解析 因為(x，y，z)S，則x，y，z的大小關(guān)系有3種情況，同理，(z，w，x)S，則z，w，x的大小關(guān)系也有3種情況，如圖所示，由圖可知，x，y，w，z的大小關(guān)系有4種可能，均符合(y，z，w)S，(x，y，w)S.故正確.,答案 ,3,4,5,1,2,2,4,5,1,3,4.已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)0，且00. (1)證明： 是函數(shù)f(x)的一個零點；,2,3,5,1,4,證明 f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，,f(x)0有兩個不等實根x1，x2，,f(c)0，x1c是f(x)0的根，,2,3,5,1,4,(2)試用反證法證明 c.,2,3,5,1,4,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,(2)證明：數(shù)列bn中的任意三項不可能成等差數(shù)列.,證明 用反證法證明.,假設(shè)數(shù)列bn存在三項br，bs，bt(rst)按某種順序成等差數(shù)列，,于是有brbsbt，則只能有2bsbrbt成立.,2,3,4,1,5,兩邊同乘以3t121r，化簡得3tr2tr22sr3ts.,由于rst，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，,故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾.,故數(shù)列bn中任意三項不可能成等差數(shù)列.,2,3,4,1,5,