北京市石景山區(qū)2015-2016年八年級下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年北京市石景山區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P（﹣3，5）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（3，5） C．（3．﹣5） D．（5，﹣3） 2．如圖圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 3．一個凸多邊形的內(nèi)角和等于540°，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 4．菱形ABCD的邊長為4，有一個內(nèi)角為120°，則較長的對角線的長為（　　） A．4 B．4 C． D．2 5．如圖，利用平面直角坐標系畫出的正方形網(wǎng)格中，若A（0，2），B（1，1），則點C的坐標為（　?。? A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（1，﹣1） D．（2，﹣1） 6．如圖，D，E為△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，則AC的長是（　?。? A．10 B．8 C．6 D．4 7．若關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。? A．m＜1 B．m＜1且m≠0 C．m≤1 D．m≤1且m≠0 8．如圖，將邊長為3cm的等邊△ABC沿著邊BC向右平移2cm，得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（　?。? A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm 9．園林隊在某公園進行綠化，中間休息了一段時間．已知綠化面積S（單位：平方米）與工作時間t（單位：小時）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖，則休息后園林隊每小時綠化面積為（　?。? A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 10．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為矩形邊上的一個動點，運動路線是A→B→C→D→A，設(shè)P點經(jīng)過的路程為x，以A，P，B為頂點的三角形面積為y，則選項圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，BC的中點，若DE=3cm，則AC=　　cm． 12．已知一次函數(shù)y=（m+2）x+m，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是　?。? 13．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件　　，使△ACD∽△ABC（只填一個即可）． 14．如圖，在?ABCD中，BC=5，AB=3，BE平分∠ABC交AD于點E，交對角線AC于點F，則=　?。? 15．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，點E為DC邊上的一點，將△ADE沿直線AE折疊，點D剛好落在BC邊上的點F處，則CE的長是　?。? 16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+1與x、y 軸分別交于點A、B，在直線 AB上截取BB1=AB，過點B1分別作x、y 軸的垂線，垂足分別為點A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直線 AB上截取B1B2=BB1，過點B2分別作x、y 軸的垂線，垂足分別為點A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直線AB上截取B2B3=B1B2，過點B3分別作x、y 軸的垂線，垂足分別為點A3、C3，得到矩形OA3B3C3；…；則點B1的坐標是　??；第3個矩形OA3B3C3的面積是　?。坏趎個矩形OAnBnCn的面積是　?。ㄓ煤琻的式子表示，n是正整數(shù)）． 　 三、解答題（本題共52分，第17-24題，每小題5分；第25-26題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 17．用配方法解方程：x2﹣6x﹣1=0． 18．如圖，在?ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF，連接AE、CF，問：AE與CF相等嗎？并說明理由． 19．一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y2=mx交于點A（﹣1，2），與y軸交于點B（0，3）． （1）求這兩個函數(shù)的表達式； （2）求這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積． 20．如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上的一點，過C點作CF⊥CE交AB的延長線于點F． （1）求證：△CDE∽△CBF； （2）若B為AF的中點，CB=3，DE=1，求CD的長． 21．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6=0（m≠0）． （1）求證：方程總有兩個實數(shù)根； （2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值． 22．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，分別過點A，C作AE∥DC，CE∥AB，兩線交于點E． （1）求證：四邊形AECD是菱形； （2）若∠B=60°，BC=2，求四邊形AECD的面積． 23．列方程解應(yīng)用題： 某地區(qū)2013年的快遞業(yè)務(wù)量為2億件，受益于經(jīng)濟的快速增長及電子商務(wù)發(fā)展等多重因素，快遞業(yè)務(wù)迅猛發(fā)展，2015年的快遞業(yè)務(wù)量達到3.92億件．求該地區(qū)這兩年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率． 24．某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費，分兩檔收費：第一檔是當月用電量不超過240度時實行“基礎(chǔ)電價”；第二檔是當用電量超過240度時，其中的240度仍按照“基礎(chǔ)電價”計費，超過的部分按照“提高電價”收費．設(shè)每個家庭月用電量為x度時，應(yīng)交電費為y元．具體收費情況如折線圖所示，請根據(jù)圖象回答下列問題： （1）“基礎(chǔ)電價”是　　元/度； （2）求出當x＞240時，y與x的函數(shù)表達式； （3）小石家六月份繳納電費132元，求小石家這個月用電量為多少度？ 25．已知正方形ABCD中，點M是邊CB（或CB的延長線）上任意一點，AN平分∠MAD，交射線DC于點N． （1）如圖1，若點M在線段CB上 ①依題意補全圖1； ②用等式表示線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）如圖2，若點M在線段CB的延長線上，請直接寫出線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系． 26．在平面直角坐標系xOy中，過象限內(nèi)一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成的矩形的周長與面積相等，則這個點叫做“和諧點”．如圖，過點H（﹣3，6）分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形OAHB的周長與面積相等，則點H（3，6）是“和諧點”． （1）H1（1，2），H2（4，﹣4），H3（﹣2，5）這三個點中的“和諧點”為　??； （2）點C（﹣1，4）與點P（m，n）都在直線y=﹣x+b上，且點P是“和諧點”．若m＞0，求點P的坐標． 　  2015-2016學(xué)年北京市石景山區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P（﹣3，5）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（　?。? A．（﹣3，﹣5） B．（3，5） C．（3．﹣5） D．（5，﹣3） 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標． 【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)解答． 【解答】解：點P（﹣3，5）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（3，5）． 故選B． 【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律： （1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)； （2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)； （3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)． 　 2．如圖圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進行判斷． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形； B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形； C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形． 故選：A． 【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 3．一個凸多邊形的內(nèi)角和等于540°，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】n邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）180°，由此列方程求邊數(shù)n． 【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n， 則（n﹣2）180°=540°， 解得n=5， 故選A． 【點評】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理． 　 4．菱形ABCD的邊長為4，有一個內(nèi)角為120°，則較長的對角線的長為（　?。? A．4 B．4 C． D．2 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】利用菱形的每條對角線平分一組對角，則∠BAO=∠BAD=60°，即△ABC是等邊三角形，由此可求得AC=AB=4，再根據(jù)勾股定理即可求出BO的長，則BD也可求出． 【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAO=∠BAD=×120°=60°， 又在△ABC中，AB=BC， ∴∠BCA=∠BAC=60°， ∠ABC=180°﹣∠BCA﹣∠BAC=60°， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AC=AB=4， ∴AO=2， ∴BO==2， ∴BD=2BO=4， 故選：A． 【點評】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；對角線互相垂直平分；每條對角線平分一組對角． 　 5．如圖，利用平面直角坐標系畫出的正方形網(wǎng)格中，若A（0，2），B（1，1），則點C的坐標為（　?。? A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（1，﹣1） D．（2，﹣1） 【考點】坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】根據(jù)A、B點的坐標建立坐標系，繼而可得點C坐標． 【解答】解：由A（0，2），B（1，1）可建立如圖所示平面直角坐標系： ∴點C坐標為（2，﹣1）， 故選：D． 【點評】本題主要考查坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)A、B點的坐標還原平面直角坐標系是解題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，D，E為△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，則AC的長是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，然后求解即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴=． ∵AE=2， ∴AC=8 故選B 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟記定理并準確識圖準確確定出對應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵． 　 7．若關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。? A．m＜1 B．m＜1且m≠0 C．m≤1 D．m≤1且m≠0 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】這是根的判別式與一元二次方程的定義綜合試題，同時也是根的判別式的逆運算的應(yīng)用，若一個方程有實數(shù)根，那么它的△就是非負的，即b2﹣4ac≥0． 【解答】解：由題意可知方程mx2﹣2x+1=0的△=b2﹣4ac≥0， 即（﹣2）2﹣4×m×1≥0， 所以m≤1，同時m是二次項的系數(shù)，所以不能為0． 故選D． 【點評】當一元二次方程有兩個實數(shù)根時，它的△=b2﹣4ac≥0，同時一元二次方程的二次項系數(shù)不能是0． 　 8．如圖，將邊長為3cm的等邊△ABC沿著邊BC向右平移2cm，得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（　?。? A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF=AC，AD=CF=2cm，然后求出四邊形ABFD的周長=△ABC的周長+AD+CF，最后代入數(shù)據(jù)計算即可得解． 【解答】解：∵△ABC沿邊BC向右平移2cm得到△DEF， ∴DF=AC，AD=CF=2cm， ∴四邊形ABFD的周長=AB+BC+CF+DF+AD， =AB+BC+CF+AC+AD， =△ABC的周長+AD+CF， =9+2+2， =13cm． 故選C 【點評】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等． 　 9．園林隊在某公園進行綠化，中間休息了一段時間．已知綠化面積S（單位：平方米）與工作時間t（單位：小時）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖，則休息后園林隊每小時綠化面積為（　?。? A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 【考點】函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)圖象可得，休息后園林隊2小時綠化面積為160﹣60=100平方米，然后可得綠化速度． 【解答】解：根據(jù)圖象可得，休息后園林隊2小時綠化面積為160﹣60=100平方米， 每小時綠化面積為100÷2=50（平方米）． 故選：B． 【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象，關(guān)鍵是正確理解題意，從圖象中找出正確信息． 　 10．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為矩形邊上的一個動點，運動路線是A→B→C→D→A，設(shè)P點經(jīng)過的路程為x，以A，P，B為頂點的三角形面積為y，則選項圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數(shù)圖象． 【專題】函數(shù)及其圖象． 【分析】根據(jù)題意可以分別表示出各段的函數(shù)解析式，從而可以明確各段對應(yīng)的函數(shù)圖象，從而可以得到哪個選項是正確的． 【解答】解：由題意可得， 點P到A→B的過程中，y=0（0≤x≤2），故選項C錯誤； 點P到B→C的過程中，y==x﹣2（2＜x≤6），故選項A錯誤； 點P到C→D的過程中，y==4（6＜x≤8），故選項D錯誤； 點P到D→A的過程中，y==12﹣x， 由以上各段函數(shù)解析式可知，選項B正確， 故選B． 【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，寫出各段函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)解析式，明確各段的函數(shù)圖象． 　 二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，BC的中點，若DE=3cm，則AC=　6　cm． 【考點】三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線直接得出AC的長． 【解答】解：∵點D，E分別為△ABC的邊AB，BC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=AC， ∵DE=3cm， ∴AC=6cm； 故答案為：6． 【點評】本題考查了三角形中位線定理，比較簡單，知道三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半． 　 12．已知一次函數(shù)y=（m+2）x+m，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是　m＞﹣2?。? 【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知：m+2＞0． 【解答】解：∵函數(shù)y的值隨x值的增大而增大 ∴m+2＞0 ∴m＞﹣2． 故答案為：m＞﹣2 【點評】本題主要考查的知識點：當x的系數(shù)大于0時，函數(shù)y隨自變量x的增大而增大． 　 13．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件　∠ACD=∠B（或∠ADC=∠ACB或=）　，使△ACD∽△ABC（只填一個即可）． 【考點】相似三角形的判定． 【專題】計算題；圖形的相似． 【分析】利用相似三角形的判定方法判斷即可． 【解答】解：在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件∠ACD=∠B（或∠ADC=∠ACB或=），使△ACD∽△ABC， 故答案為：∠ACD=∠B（或∠ADC=∠ACB或=） 【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，在?ABCD中，BC=5，AB=3，BE平分∠ABC交AD于點E，交對角線AC于點F，則=　?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和BE平分∠ABC交AD于點E的條件可證明AB=AE，易證△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值，然后由相似三角形的面積之比等于相似比的平方求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=3， ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴==， ∴=（）2=． 故答案是：． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的難度不大，是中考常見題型． 　 15．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，點E為DC邊上的一點，將△ADE沿直線AE折疊，點D剛好落在BC邊上的點F處，則CE的長是　3?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】先利用矩形的性質(zhì)得CD=AB=8，BC=AD=10，∠B=∠D=∠C=90°，則根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=10，EF=DE，再利用勾股定理計算出BF=6，則CF=BC﹣BF=4，設(shè)CE=x，DE=EF=8﹣x，然后利用勾股定理得到42+x2=（8﹣x）2，再解方程求出x即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形， ∴CD=AB=8，BC=AD=10，∠B=∠D=∠C=90°， ∵△ADE沿直線AE折疊，點D剛好落在BC邊上的點F處， ∴AF=AD=10，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF===6， ∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4， 設(shè)CE=x，DE=EF=8﹣x， 在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2， ∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3， 即CE的長為3． 故答案為3． 【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解決本題的關(guān)鍵是求出CF和用CE表示EF． 　 16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+1與x、y 軸分別交于點A、B，在直線 AB上截取BB1=AB，過點B1分別作x、y 軸的垂線，垂足分別為點A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直線 AB上截取B1B2=BB1，過點B2分別作x、y 軸的垂線，垂足分別為點A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直線AB上截取B2B3=B1B2，過點B3分別作x、y 軸的垂線，垂足分別為點A3、C3，得到矩形OA3B3C3；…；則點B1的坐標是?。?，2）?。坏?個矩形OA3B3C3的面積是　12?。坏趎個矩形OAnBnCn的面積是　n2+n?。ㄓ煤琻的式子表示，n是正整數(shù)）． 【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先求出A、B兩點的坐標，再設(shè)B1（a，a+1），B2（b，b+1），B3（c，c+1），再求出a、b、c的值，利用矩形的面積公式得出其面積，找出規(guī)律即可． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=x+1與x、y 軸分別交于點A、B， ∴A（﹣1，0），B（0，1）， ∴AB==． 設(shè)B1（a，a+1），B2（b，b+1），B3（c，c+1）， ∵BB1=AB， ∴a2+（a+1﹣1）2=2，解得a1=1，a2=﹣1（舍去）， ∴B1（1，2）， 同理可得，B2（2，3），B3（3，4）， ∴S矩形OA3B3C3=3×4=12， ∴S矩形OAnBnCn=n（n+1）=n2+n． 故答案為：（1，2），12，n（n+1）或n2+n． 【點評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，根據(jù)題意得出B1，B2，B3的坐標，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（本題共52分，第17-24題，每小題5分；第25-26題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 17．用配方法解方程：x2﹣6x﹣1=0． 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題． 【分析】將方程的常數(shù)項移動方程右邊，兩邊都加上9，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：x2﹣6x﹣1=0， 移項得：x2﹣6x=1， 配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10， 開方得：x﹣3=±， 則x1=3+，x2=3﹣． 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程時，首先將二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移動方程右邊，然后兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解． 　 18．如圖，在?ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF，連接AE、CF，問：AE與CF相等嗎？并說明理由． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后利用平行線的性質(zhì)，求得∠ABE=∠CDF，又由BE=DF，即可證得△ABE≌△CDF，繼而可得AE=CF． 【解答】解：猜想：AE=CF． 理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE=CF． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握平行四邊形的對邊平行且相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 19．一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y2=mx交于點A（﹣1，2），與y軸交于點B（0，3）． （1）求這兩個函數(shù)的表達式； （2）求這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積． 【考點】兩條直線相交或平行問題． 【分析】（1）將A點代入正比例函數(shù)y2=mx，解得m，易得正比例函數(shù)的解析式，將A，B點代入一次函數(shù)y1=kx+b的圖解得k，b，解得一次函數(shù)解析式； （2）首先解得兩條直線與x軸的交點，利用三角形的面積公式解得結(jié)果． 【解答】解：（1）∵y2=mx過點A（﹣1，2）， ∴﹣m=2， ∴m=﹣2 ∵點A（﹣1，2）和點B（0，3）在直線y1=kx+b上， ∴， ∴， ∴這兩個函數(shù)的表達式為：y1=x+3和y2=﹣2x； （2）過點A作AD⊥x軸于點D，則AD=2， ∵y1=x+3交x軸于點C（﹣3，0） ∴==3 即這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積是3． 【點評】本題考查了兩條直線相交或平行問題：若直線y=k1x+b1與直線y=k2x+b2相交，則交點坐標同時滿足兩個解析式，利用代入法是解答此題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上的一點，過C點作CF⊥CE交AB的延長線于點F． （1）求證：△CDE∽△CBF； （2）若B為AF的中點，CB=3，DE=1，求CD的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】（1）先利用矩形的性質(zhì)得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠2=∠4，則可判斷△CDE∽△CBF； （2）先∴BF=AB，設(shè)CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，則可根據(jù)相似比得到，然后利用比例性質(zhì)求出x即可． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°， ∵CF⊥CE ∴∠4+∠3=90° ∴∠2=∠4， ∴△CDE∽△CBF； （2）解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴CD=AB， ∵B為AF的中點 ∴BF=AB， 設(shè)CD=BF=x ∵△CDE∽△CBF， ∴， ∴， ∵x＞0， ∴x=， 即CD的長為． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩個三角形相似對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了矩形的性質(zhì)． 　 21．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6=0（m≠0）． （1）求證：方程總有兩個實數(shù)根； （2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值． 【考點】根的判別式． 【分析】（1）求出△的值，再判斷出其符號即可； （2）先求出x的值，再由方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且m是正整數(shù)求出m的值即可． 【解答】（1）證明：∵m≠0， ∴mx2﹣（3m+2）x+6=0是關(guān)于x的一元二次方程 ∵△=[﹣（3m+2）]2﹣4m×6=9m2+12m+4﹣24m=9m2﹣12m+4=（3m﹣2）2≥0 ∴此方程總有兩個實數(shù)根． （2）解：∵（x﹣3）（mx﹣2）=0 ∴x1=3，x2=． ∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且m是正整數(shù)， ∴m=1或 m=2． 【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 　 22．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，分別過點A，C作AE∥DC，CE∥AB，兩線交于點E． （1）求證：四邊形AECD是菱形； （2）若∠B=60°，BC=2，求四邊形AECD的面積． 【考點】菱形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線． 【分析】（1）直接利用平行四邊形的判定方法得出四邊形AECD是平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出CD=AD，即可得出四邊形AECD是菱形； （2）利用菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得出AC，ED的長，進而得出菱形面積． 【解答】（1）證明：∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線， ∴CD=AD， ∴四邊形AECD是菱形； （2）解：連接DE． ∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=30° ∴AB=4，AC=2， ∵四邊形AECD是菱形， ∴EC=AD=DB， 又∵EC∥DB ∴四邊形ECBD是平行四邊形， ∴ED=CB=2， ∴S菱形AECD===2． 【點評】此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，正確利用菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 23．列方程解應(yīng)用題： 某地區(qū)2013年的快遞業(yè)務(wù)量為2億件，受益于經(jīng)濟的快速增長及電子商務(wù)發(fā)展等多重因素，快遞業(yè)務(wù)迅猛發(fā)展，2015年的快遞業(yè)務(wù)量達到3.92億件．求該地區(qū)這兩年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】增長率問題． 【分析】設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x，根據(jù)題意可得，2013年的快速的業(yè)務(wù)量×（1+平均增長率）2=2015年快遞業(yè)務(wù)量，據(jù)此列方程． 【解答】解：設(shè)該地區(qū)這兩年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為x．根據(jù)題意，得2（1+x）2=3.92 解得x1=0.4，x2=﹣2.4（不合題意，舍去） ∴x=0.4=40% 答：該地區(qū)這兩年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為40%． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程． 　 24．某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費，分兩檔收費：第一檔是當月用電量不超過240度時實行“基礎(chǔ)電價”；第二檔是當用電量超過240度時，其中的240度仍按照“基礎(chǔ)電價”計費，超過的部分按照“提高電價”收費．設(shè)每個家庭月用電量為x度時，應(yīng)交電費為y元．具體收費情況如折線圖所示，請根據(jù)圖象回答下列問題： （1）“基礎(chǔ)電價”是　0.5　元/度； （2）求出當x＞240時，y與x的函數(shù)表達式； （3）小石家六月份繳納電費132元，求小石家這個月用電量為多少度？ 【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）由用電240度費用為120元可得； （2）當x＞240時，待定系數(shù)法求解可得此時函數(shù)解析式； （3）由132＞120知，可將y=132代入（2）中函數(shù)解析式求解可得． 【解答】解：（1）“基礎(chǔ)電價”是=0.5元/度， 故答案為：0.5； （2）當x＞240時，設(shè)y=kx+b， 由圖象可得：， 解得：， ∴y=0.6x﹣24（x＞240）； （3）∵y=132＞120 ∴令0.6x﹣24=132， 得：x=260 答：小石家這個月用電量為260度． 【點評】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與待定系數(shù)求函數(shù)解析式，分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，理解每個區(qū)間的實際意義是解題關(guān)鍵． 　 25．已知正方形ABCD中，點M是邊CB（或CB的延長線）上任意一點，AN平分∠MAD，交射線DC于點N． （1）如圖1，若點M在線段CB上 ①依題意補全圖1； ②用等式表示線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）如圖2，若點M在線段CB的延長線上，請直接寫出線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系． 【考點】四邊形綜合題． 【專題】綜合題． 【分析】（1）①根據(jù)題意可以將圖形補充完整； ②根據(jù)①中補充完整的圖形可以構(gòu)造兩個全等的三角形，從而可以得到線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系； （2）寫出線段AM，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系，仿照（1）中②的證明方法可以證明． 【解答】解：（1）①補全圖形，如右圖1所示． ②數(shù)量關(guān)系：AM=BM+DN， 證明：在CD的延長線上截取DE=BM，連接AE， ∵四邊形ABCD是正方形 ∴∠1=∠B=90°，AD=AB，AB∥CD ∴∠6=∠BAN 在△ADE和△ABM中 ∴△ADE≌△ABM（SAS） ∴AE=AM，∠3=∠2 又∵AN平分∠MAD， ∴∠5=∠4， ∴∠EAN=∠BAN， 又∵∠6=∠BAN， ∴∠EAN=∠6， ∴AE=NE， 又∵AE=AM，NE=DE+DN=BM+DN， ∴AM=BM+DN； （2）數(shù)量關(guān)系：AM=DN﹣BM， 證明：在線段DC上截取線段DE=BM，如圖2所示， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABM=∠ADE=90°， ∴△ABM≌△ADE（SAS）， ∴∠1=∠4， 又∵AN平分∠DAM， ∴∠MAN=∠DAN， ∴∠2=∠3， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠ANE， ∴∠3=∠ANE， ∴AE=EN， ∵DN=DE+EN，AE=AM=EN，BM=DE， ∴DN=BM+AM， 即AM=DN﹣BM． 【點評】本題考查四邊形綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，做出合適的輔助線，構(gòu)造全等的三角形． 　 26．在平面直角坐標系xOy中，過象限內(nèi)一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成的矩形的周長與面積相等，則這個點叫做“和諧點”．如圖，過點H（﹣3，6）分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形OAHB的周長與面積相等，則點H（3，6）是“和諧點”． （1）H1（1，2），H2（4，﹣4），H3（﹣2，5）這三個點中的“和諧點”為　H2（4，﹣4）??； （2）點C（﹣1，4）與點P（m，n）都在直線y=﹣x+b上，且點P是“和諧點”．若m＞0，求點P的坐標． 【考點】一次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）分別以H1、H2、H3三點的橫縱坐標的絕對值為矩形的相鄰兩邊，求出其周長及面積，看哪點符合“和諧點”的定義，由此即可得出結(jié)論； （2）由點C的坐標利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出b值，從而得出直線的解析式，由點P在直線上，用含m的代數(shù)式表示出n，分點P在第一、四象限兩種情況考慮，根據(jù)“和諧點”的定義，找出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出m值，將其代入點P的坐標中即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵1×2=2，2×（1+2）=6，2≠6， ∴H1（1，2）不是“和諧點”； ∵4×4=16，2×（4+4）=16，16=16， ∴H2（4，﹣4）是“和諧點”； ∵2×5=10，2×（2+5）=14，10≠14， ∴H3（﹣2，5）不是“和諧點”． 故答案為：H2（4，﹣4）． （2）∵點C（﹣1，4）在直線y=﹣x+b上， ∴1+b=4，解得：b=3， ∴直線的解析式為y=﹣x+3． ∵點P（m，n）在直線y=﹣x+3上， ∴點P（m，﹣m+3）（m＞0）， ∴點P可能在第一象限或第四象限． 過點P作PD⊥x軸于點D，過點P作PE⊥y軸于點E． ①當點P在第一象限時，此時0＜m＜3，如圖1，則OD=m，PD=n=﹣m+3， ∴C矩形PEOD=2×（﹣m+3+m）=6，S矩形PEOD=m×（﹣m+3）， ∵點P是“和諧點”， ∴m×（﹣m+3）=6，即m2﹣3m+6=0， ∵△=（﹣3）2﹣4×6=﹣15＜0， ∴此方程無實根， ∴第一象限的直線上的點不可能是“和諧點”； ②當點P在第四象限時，此時m＞3，如圖2，則OD=m，PD=﹣n=﹣（﹣m+3）=m﹣3， ∴C矩形PEOD=2×（m﹣3+m）=4m﹣6，S矩形PEOD=m×（m﹣3）， ∵點P是“和諧點”， ∴m×（m﹣3）=4m﹣6，即m2﹣7m+6=0， 解得：m1=6，m2=1（舍去）， ∴點P（6，﹣3） 綜上所述，滿足條件的點P的坐標為P（6，﹣3）． 【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的面積、矩形的周長以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“和諧點”的定義驗證H1、H2、H3三點是否為“和諧點”；（2）分兩種情況考慮，根據(jù)“和諧點”的定義找出關(guān)于m的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點在直線上找出點的橫、縱坐標之間的關(guān)系，再根據(jù)“和諧點”的定義找出關(guān)于點的橫坐標的方程是關(guān)鍵． 　  第29頁（共29頁）