人教版 七年級上 第一章有理數 知識點總結及易錯題.doc

《人教版 七年級上 第一章有理數 知識點總結及易錯題.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版 七年級上 第一章有理數 知識點總結及易錯題.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

新課標人教版數學七年級（上）知識要點概括 第一章 有理數 1.（1）正數：大于零的數； （2）負數：小于零的數（在正數前面加上負號“—”的數）； 注意：①0既不是正數也不是負數，它是正負數的分界點； ②對于正數和負數，不能簡單理解為帶“+”號的數是正數，帶“—”號的數是負數； ③字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。 ④正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。 2.有理數的概念 ⑴正整數、0、負整數統(tǒng)稱為整數； ⑵正分數和負分數統(tǒng)稱為分數； ⑶正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。 理解：只有能化成分數的數才是有理數。 ①π是無限不循環(huán)小數，不能寫成分數形式，不是有理數； ②有限小數和無限循環(huán)小數都可化成分數，都是有理數； ③-a不一定是負數，+a也不一定是正數； 3.有理數的分類 ⑴按有理數的定義分類 ⑵按性質符號來分 正整數 正整數 整數 0 正有理數 負整數 正分數 有理數 有理數 0 （0不能忽視） 正分數 負整數 分數 負有理數 負分數 負分數 總結：①正整數、0統(tǒng)稱為非負整數（也叫自然數） ②負整數、0統(tǒng)稱為非正整數 ③正有理數、0統(tǒng)稱為非負有理數 ④負有理數、0統(tǒng)稱為非正有理數 ⑤0是整數不是分數。 4. 規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。 注意：⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線； ⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可； ⑶同一數軸上的單位長度要統(tǒng)一。 （4） 數軸一般取右（或向上）為正方向，數軸的原點的選定，正方向的取向，單位長度大小的確定都是根據實際需要規(guī)定的。 5.數軸上的點與有理數的關系 ⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右側的點表示，負有理數可用原點左側的點表示，0用原點表示。 ⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一 一對應關系。（如，數軸上的點π不是有理數） 6. 數軸的畫法 （1）畫一條直線，在這條直線上任取一個點作為原點； （2）通常規(guī)定直線上從原點向右（或左）為正方向，從原點向左（或右）為負方向； （3）選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…. 7.利用數軸表示兩數大小 ⑴在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大； ⑵正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數； ⑶兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。 8.數軸上特殊的最大（?。? ⑴最小的自然數是0，無最大的自然數； ⑵最小的正整數是1，無最大的正整數； ⑶最大的負整數是-1，無最小的負整數 9.a可以表示什么數 ⑴a>0表示a是正數；反之，a是正數，則a>0； ⑵a<0表示a是負數；反之，a是負數，則a<0； ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0； 10.數軸上點的移動規(guī)律 根據點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。 11.歸納數軸上的點的意義： 一般地，設a是一個正數，則數軸上表示a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示－a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度. 12.只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數。 注意：⑴相反數是成對出現的； ⑵相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負； ⑶0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。 13.相反數的性質與判定 ⑴任何數都有相反數，且只有一個； ⑵0的相反數是0； ⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=0 14.相反數的幾何意義 在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數對應原點。 說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。 15.相反數的求法 ⑴求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數是-5）； ⑵求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b）。化簡得-5a-b）； ⑶求前面帶“-”的單個數，也應先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數是-（-5），化簡得5) 16.相反數的表示方法 ⑴一般地，數a 的相反數是-a ，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。 當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數） 當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數） 當a=0時，-a=0，（0的相反數是0） 17.多重符號的化簡 多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數決定最后化簡結果；即：“-”的個數是奇數時，結果為負，“-”的個數是偶數時，結果為正。 18.一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|，讀作：a的絕對值. 19.因為數的絕對值是表示兩點之間的距離，如：|a-b|表示數軸上a點到b點的距離。 所以一個數的絕對值不可能是負數。即：任何數的絕對值都是非負數（0的絕對值是0） 20. 絕對值的計算規(guī)律： （1） 互為相反數的兩個數的絕對值相等 （2） 若，則a=b或a=-b； （3） 若 21.絕對值的代數定義 1）一個正數的絕對值是它本身 2）一個負數的絕對值是它的相反數 3）0的絕對值是0 22.可用字母表示為： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可歸納為①：a≥0<═> |a|=a （非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數是非負數。） ②a≤0<═> |a|=-a （非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數。） 23.絕對值的性質 任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。 ⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|≥0； ⑶任何數的絕對值都不小于原數。即：即：|a|≥a； ； ； ⑷絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a； ⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；注意：|a|·|b|=|a·b|, ； ⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b； ⑺若幾個數的絕對值的和等于0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0） 24.有理數大小的比較 ⑴利用數軸比較兩個數的大?。簲递S上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的??； ⑵利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而?。划愄杻蓴当容^大小，正數大于負數。 （3）正數的絕對值越大，這個數越大； （4）正數永遠比0大，負數永遠比0小； （5）正數大于一切負數； （6）大數-小數 ＞ 0，小數-大數 ＜ 0. 25.已知一個數的絕對值，求這個數 一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離。 一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。 26.有理數的加法法則 ⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加； ⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； ⑶互為相反數的兩數相加，和為零； ⑷一個數與0相加，仍得這個數。 27.有理數加法的運算律 ⑴加法交換律：a+b=b+a ⑵加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c) 28.在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律： ①互為相反數的兩個數先相加——“相反數結合法”； ②符號相同的兩個數先相加——“同號結合法”； ③分母相同的數先相加——“同分母結合法”； ④幾個數相加得到整數，先相加——“湊整法”； ⑤整數與整數、小數與小數相加——“同形結合法”。 29.有理數減法法則 減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為：a-b=a+(-b)。 30.有理數加減法統(tǒng)一成加法的意義 在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。 在和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 31.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧： Ⅰ.把符號相同的加數相結合（同號結合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （將減法轉換成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加號和括號） =(-33-15-1)+(18+23) （把符號相同的加數相結合） =-49+41 （運用加法法則一進行運算） =-8 （運用加法法則二進行運算） Ⅱ.把和為整數的加數相結合 （湊整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （將減法轉換成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加號和括號） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和為整數的加數相結合） =4-10+3.8 （運用加法法則進行運算） =7.8-10 （把符號相同的加數相結合，并進行運算） =-2.2 （得出結論） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數相結合（同分母結合法） --+-+- 原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1 Ⅳ.既有小數又有分數的運算要統(tǒng)一后再結合（先統(tǒng)一后結合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1 =(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10 Ⅴ.把帶分數拆分后再結合（先拆分后結合） -3+10-12+4 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++ =- Ⅵ.分組結合 2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0 Ⅶ.先拆項后結合 （1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 32.有理數的乘法法則 ①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三） ②任何數同0相乘，都得0； ③幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數； ④幾個數相乘，如果其中有因數為0,則積等于0. 33.乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒數，即a是的倒數，是a的倒數。 ①0沒有倒數； ②求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置； ③正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。（求一個數的倒數，不改變這個數的性質）； ④倒數等于它本身的數是1或-1,不包括0。 ⑤若ab=1? a、b互為倒數；若ab=-1? a、b互為負倒數. 34.有理數的乘法運算律 ⑴乘法交換律：ab=ba ⑵乘法結合律：(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 35. 有理數的除法法則 （1）除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數；注意：零不能做除數，. （2）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 （3）0除以任何一個不等于0的數，都得0。 36..有理數的乘除混合運算 （1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。 （2）有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照‘先乘除，后加減’的順序進行。 37.有理數的乘方 求n 個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在 中，a 叫做底數，n 叫做指數。 （1）a2是重要的非負數，即a2≥0；若a2+|b|=0 ? a=0,b=0； （2） 據規(guī)律 底數的小數點移動一位，平方數的小數點移動二位 （3） 的結果：n為奇數時，=-1；n為偶數時，=1。 38.乘方的性質 （1）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數；注意：當n為正奇數時: (-a)n=-an, 當n為正偶數時: (-a)n =an . （2）正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。 39.有理數的混合運算，應注意以下運算順序： 1.先乘方，再乘除，最后加減； 2.同級運算，從左到右進行； 3.如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。 40. 科學記數法 把一個大于10的數表示成 的形式（其中， n是正整數），這種記數法是科學記數法 41.近似數的精確位：一個近似數，四舍五入到那一位，就說這個近似數的精確到那一位. 42.有效數字：從左邊第一個不為零的數字起，到精確的位數止，所有數字，都叫這個近似數的有效數字. 有理數運算中的常見錯誤示例 一、概念不清 例1 計算:15+(-6)-|-5|. 錯解:原式=15-6+5=14. 錯解分析：錯在沒有弄清-(-5)與-|-5|的區(qū)別.-(-5)表示-5的相反數,為5;而-|-5|表示-5的絕對值的相反數,-5的絕對值為5,5的相反數是-5. 正解:原式=15-6-5=4. 例2 計算:. 錯解:原式=. 錯解分析：此解錯在混淆了乘方和有理數乘法的概念.需知表示,其結果為-8,因此,絕不是指數和底數相乘. 正解:原式=. 二、錯用符號 例3 計算:-5-8×(-2). 錯解:原式=-5-16=-21. 錯解分析：錯在先將8前面的“-”當成性質符號,后來又當成運算符號重復使用,切記不可這樣重復用. 正解1:若把-8中的“-”當成性質符號,則可得以下過程: 原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11. 正解2:若把-8中的“-”當成運算符號,則可得以下過程: 原式=-5-(-16)=-5+16=11. 三、項動符號不動 例4 計算:. 錯解:原式= ===. 錯解分析：在解答本題時,應先觀察數字的特點,將小數進行轉化,并使分母相同的分數合并計算.在運用加法交換律時一定要記住,項動其符號也一定要隨之而動.錯解在移動一項時,漏掉了其符號. 正解:原式= ==-12+11=-1. 四、對負帶分數理解不清 例5 計算: 錯解:原式= = ==. 錯解分析：錯在把負帶分數理解為,而負帶分數中的“-”是整個帶分數的性質符號,把看成才是正確的.與之類似,也不等于. 正解:原式= ===. 五、考慮不全面 例6 已知|ɑ-1|=5,則ɑ的值為( ). A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4 錯解:由|ɑ-1|=5可得ɑ-1=5,解得ɑ=6.選A. 錯解分析：一個數的絕對值等于5,則這個數可能為正,也可能為負,所以ɑ-1=±5,解得ɑ=6或-4. 正解:選C. 六、錯用運算律 例7 計算: . 錯解:原式= ===. 錯解分析：由于受乘法分配律ɑ(b+c)=ɑb+ɑc的影響,錯誤地認為ɑ÷(b+c)=ɑ÷b+ɑ÷c,這是不正確的. 正解:原式===. 七、違背運算順序 例8 計算:. 錯解:原式=4÷(-2)=-2. 錯解分析：本題是乘除運算,應按從左到右的順序進行,而錯解是先計算,這樣就違背了運算順序. 正解:原式=4×(-8)×16=-512. 例9 計算:. 錯解:原式=25-(-2)2=25-4=21. 錯解分析：在計算時,錯誤地先進行乘法運算.事實上應該先算乘方,再算乘除. 正解:原式==25-64=-39. 有理數典型錯題示例 一、例1　計算：(1）-19.3＋0.7；(2) 錯解：（1）-19.3＋0.7＝-20； (2)＝． 錯解分析：（1）這是沒有掌握有理數加法法則的常見錯誤．對于絕對值不同的異號兩數相加，如何定符號和取和的絕對值，初學時要特別小心．(2）混合運算中，同級運算應從左往右依次進行．本題應先除后乘，這里先算了，是不按法則造成的計算錯誤． 正解：(1) -19.3十0.7＝-18.6； (2)． 二、例2　計算：(1)；(2)． 錯解：（1）＝（-4) （-4)＝16；(2)＝-0.8． 錯解分析：（1），表示4的平方的相反數，即＝-（4×4），它與不同，兩者不能混淆． (2)表示-0.2的三次方．小數乘方運算應注意運算結果的小數點位置． 正解：（l）＝-16；(2)＝-0.008． 三、例3　計算：(1)；(2)． 錯解：（1)＝； (2)＝． 錯解分析：：帶分數相乘（或乘方）必須先把帶分數化成假分數后再計算． 正解：（1）原式＝； (2）原式＝． 四、例4　已知：＝2，＝3，求． 錯解：因為＝2，＝3，所以＝±2，＝±3． 所以＝±5． 錯解分析：本題錯在最后一步，本題應有四個解．錯解中只注意同號兩數相加，忽略了還有異號兩數相加的情況． 正解：前兩步同上，所以＝±5，或＝±1． 五、例5　下列說法正確的是（　?。? (A)0是正整數　　 （B)0是最小的整數　　 (C)0是最小的有理數　?。―)0是絕對值最小的有理數 錯解：選A 錯解分析： 0不是正數，也不是負數，0當然不在正整數之列；再則，在有理數范圍之內，沒有最小的數． 正解：選D 六、例6　按括號中的要求，用四舍五入法取下列各數的近似值： (l)57.898（精確到O.01)； (2)0.057988（保留三個有效數字）． 錯解：（1)57.898≈57.9； (2)0.057988≈0.058 錯解分析：（1)57.898精確到0.01，在百分位應有數字0，不能認為這個小數部分末尾的O是無用的．正確的答案應為57.90．注意57.9和57.90是精確度不同的兩個近似數． (2）發(fā)生錯解的原因是對“有效數字”概念不清．有效數字是指一個由四舍五入得來的近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到末位數字為止的所有數字，都叫這個數的有效數字．因此0.057988保留三個有效數字的近似值應為0.0580，而0.058只有兩個有效數字． 七、例7　選擇題： (l)絕對值大于10而小于50的整數共有（　?。? (A)39個　?。˙)40個　?。–)78個　　（D)80個 (2)不大于10的非負整數共有（　?。? (A)8個　?。˙)9個　?。–)10個　?。―)11個 錯解：（1)D (2)C 錯解分析： (l)10到50之間的整數（不包括10和50在內）共39個，-50到-10之間的整數也有39個，故共有78個．本題錯在考慮不周密．(2)這里有兩個概念：一是“不大于”，二是“非負整數”．前一概念不清，會誤以為是0至9十個數字；后一概念不清，會誤解為是1至10十個數字，都會錯選（C)． 正解：(l)C (2)D 八、例8　計算：． 錯解：原式＝ 　　　　?。剑? 錯解分析：絕對值符號有括號的功能，但不是括號．絕對值符號的展開必須按絕對值意義進行；特別是絕對值號內是負值時，展開后應取它的相反數．這是一個難點，應格外小心． 正解：因為，，，…， 所以原式＝… 　　?。健剑? 有理數的乘方錯解示例 一、例1用乘方表示下列各式： （1）； （2） 錯解：（1）； （2）. 錯解分析：求n個相同因數的積的運算叫做乘方. （1）錯在混淆了與所表示的意義. 的底數是-5，表示4個-5相乘，即，而表示. （2）錯在最后結果沒有加上括號.實際上與的意義是不同的，表示，而表示. 正解：（1）； （2）. 二、例2計算：（1）；（2）. 錯解：（1）；（2）. 錯解分析：錯解（1）（2）的原因都是沒有真正理解乘方的意義，把指數與底數相乘了.實際上，表示2 008個-1相乘，表示3個-2相乘. 正解：（1）；（2）. 三、例3計算：（1）；（2）；（3）；（4）. 錯解：（1）；（2）；（3）；（4）. 錯解分析：以上錯誤都是由于沒有按照正確的運算順序進行運算造成的.有理數的運算應先算乘方，再算乘除，最后算加減. 正解：（1）；（2）；（3）； （4）. 四、例4計算：. 錯解： . 錯解分析：錯解中出現了以下錯誤：實際上， 正解： 科學記數法、近似數和有效數字的失誤點示例. 一、將一個數用科學記數法表示時出現錯誤 例1.生物學家發(fā)現一種病毒的長度約為0.000 043mm.用科學記數法表示這個數的結果為（ ）A. B. C. D. 錯解：選A或選D. 錯解分析：小于1的很小的數用科學記數法來表示成時，的范圍仍是.n的值等于從左到右第一個不是零的數字前所有零的個數,正確答案應該選B. 二、與近似數有關的錯誤 1.近似數精確度的確定 例2.精確到 位. 錯解：精確到百分位. 錯解分析：這種應用科學記數法表示的數在確定其精確到哪一位時, 應看其最后一位有效數字在原數中的位置.由，知原數中6在十位上，故精確到十位.錯誤的原因主要是忽略了所表示的數位, 其實, 表示的是千位, 所以整數2在千位上, 8在百位上, 6在十位上. 2.近似數的取舍 例3.用四舍五入法求精確到千分位的近似數. 錯解：. 錯解分析： 錯誤的原因是兩次使用四舍五入法求近似數, 即將先四舍五入得, 精確到萬分位, 然后再四舍五入得0.852 , 精確到千分位，實際上正確結果應為0.851. 四、科學記數法ɑ×10n中ɑ和n值的確定 例4 據統(tǒng)計，全球每分鐘約有8 480 000 t污水排入江河湖海，將這個排污量用科學記數法表示應是 t． 錯解：8 480 000 t=848×104t． 錯解分析：848×104不符合科學記數法的表示形式，即ɑ必須滿足1≤ɑ＜10這一條件． 正解：8 480 000 t=8.48×106 t． 點撥：解答這道題的關鍵在于正確確定科學記數法ɑ×10n中ɑ和n的值．ɑ是整數位數只有1位的數，而n的確定方法為n=原數的整數位數－1. 14