《幾何圖形初步》全章復習與鞏固(提高)知識講解.doc

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《幾何圖形初步》全章復習與鞏固（提高）知識講解 【學習目標】 1．認識一些簡單的幾何體的平面展開圖及三視圖，初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀； 2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質、表示方法和畫法； 3．初步學會應用圖形與幾何的知識解釋生活中的現象及解決簡單的實際問題； 4．逐步掌握學過的幾何圖形的表示方法，能根據語句畫出相應的圖形，會用語句描述簡單的圖形． 【知識網絡】 【要點梳理】 要點一、多姿多彩的圖形 1． 幾何圖形的分類 立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等. 平面圖形：三角形、四邊形、圓等. 幾何圖形 要點詮釋：在給幾何體分類時，不同的分類標準有不同的分類結果. 2．立體圖形與平面圖形的相互轉化 （1）立體圖形的平面展開圖： 把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進行折疊就會得到相應的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機地結合起來． 要點詮釋： ①對一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉，例如正方體的 11種展開圖，三棱柱，圓柱等的展開圖； ②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯系實物，展開想象，建立“模型”，整體構想，動手實踐. （2）從不同方向看： 主（正）視圖----------從正面看 幾何體的三視圖 左視圖----------------從左邊看 俯視圖----------------從上面看 要點詮釋： ①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖. ②能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型. （3）幾何體的構成元素及關系 幾何體是由點、線 、面構成的.點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成. 要點二、直線、射線、線段 1. 直線，射線與線段的區(qū)別與聯系 2. 基本性質 (1)直線的性質:兩點確定一條直線． (2)線段的性質:兩點之間，線段最短． 要點詮釋： ①本知識點可用來解釋很多生活中的現象. 如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線。 ②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離. 3.畫一條線段等于已知線段 （1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段. （2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖： 4．線段的比較與運算 （1）線段的比較： 比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法. （2）線段的和與差： 如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）線段的中點： 把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有： 要點詮釋： ①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點. ②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點. 要點三、角 1．角的度量 （1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形. (2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數字表示.例如下圖： 要點詮釋： ①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義； ②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示. （3）角度制及角度的換算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制. 要點詮釋： ①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同. ②度分秒之間的轉化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉化)時用除法逐級進行. ③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一 成60. （4）角的分類 ∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角 范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）畫一個角等于已知角 （1）借助三角尺能畫出15°的倍數的角，在0～180°之間共能畫出11個角. （2）借助量角器能畫出給定度數的角. （3）用尺規(guī)作圖法. 2．角的比較與運算 （1）角的比較方法: ①度量法；②疊合法. （2）角的平分線： 從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 類似地，還有角的三等分線等. 3．角的互余互補關系 余角補角 （1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角. （3）結論: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等. 要點詮釋： ①余角(或補角)是兩個角的關系，是成對出現的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角). ②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數是相同的. ③只考慮數量關系，與位置無關． ④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角” . 4．方位角 以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角. 要點詮釋： （1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小. （2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛. 【典型例題】 類型一、概念或性質的理解 1.下列判斷錯誤的有( ) ①延長射線OA；②直線比射線長，射線比線段長；③如果線段PA＝PB，則點P是線段AB的中點；④連接兩點間的線段，叫做兩點間的距離． A．0個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】D 【解析】①由于射線向一方無限延伸，因此，不能延長射線；②由于直線向兩方無限延伸，射線向一方無限延伸，因此它們都是不能度量的，所以它們不存在相等或不相等的關系，而線段是可以度量的，可以比較線段的長短；③線段PA＝PB，只有當點P在線段AB上時，才是線段AB的中點，否則就不是；④兩點間的距離是表示大小的量，而線段是圖形，二者的本質屬性不同． 【總結升華】本題考查的是基本概念，要抓住概念間的本質區(qū)別． 舉一反三： 【變式】下列說法正確的個數有( ) ①若∠1+∠2+∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余．②互補的兩個角一定是一個銳角和一個鈍角．③因為鈍角沒有余角，所以，只有當角為銳角時，“一個角的補角比這個角的余角大”這個說法才正確． A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】B 提示：③正確 類型二、立體圖形與平面圖形的相互轉化 1. 展開與折疊問題 2．如圖所示，它們的平面展開圖是由5個大小相同的正方形組成，其中沿正方形的邊不能折成無蓋小方盒的是( )． 【答案】B 【解析】圖形B無論怎樣折疊都有一個側面重合，這樣就缺少一個側面，所以圖形B不能折成無蓋小方盒． 【總結升華】解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形． 舉一反三： 【變式】已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面圓上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側面爬行，回到P點時，所爬過的最短路線的痕跡如圖所示．若沿OM將圓錐側面剪開并展平，所得側面展開圖(如圖)是( )． 【答案】D 2.從不同方向看 3. (河北)將正方體骰子(相對面上的點數分別為1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如圖1所示．在圖2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數是( )． A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解析】第一次變換：將骰子向右翻滾90°，正面向上的應當是5，右面的是3，正面是1，再在桌面上按逆時針方向旋轉90°，面向上的應當是5，右面的是1，正面是4；第二次變換：將骰子向右翻滾90°，正面向上的應當是6，右面的是5，正面是4，再在桌面上按逆時針方向旋轉90°，面向上的應當是6，右面的是4，正面是2；第三次變換：將骰子向右翻滾90°，正面向上的應當是3，右面的是6，正面是2，再在桌面上按逆時針方向旋轉90°，正面向上的應當是3，右面的是2，正面是1，就回到了初始狀態(tài)．所以每完成三次變換即可回到原來的位置，所以第十次變換后的狀態(tài)與第一次變換后的狀態(tài)相同，所以朝上一面的點數是5． 【總結升華】先找到規(guī)律再從上面看便得答案． 舉一反三： 【變式1】(南昌)沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示，它的俯視圖是( )． 【答案】D 【高清課堂：圖形認識初步章節(jié)復習399079 多姿多彩的圖形例2】 【變式2】如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數是（ ） A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個 【答案】D 類型三.互余互補的有關計算 4. (安徽蕪湖)如圖所示的4×4正方形網格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于( ) A．330° B．315° C．310° D．320° 【答案】B 【解析】通過網格的特征首先確定∠4＝45°．由圖形可知：∠l與∠7互余，∠2與∠6互余，∠3與∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°． 【總結升華】互余的兩個角只與數量有關，而與位置無關． 舉一反三： 【變式】如圖所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3＝∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2，∠3． 【答案】 解：因為∠AOE＝90°， 所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′． 又∠AOD＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD． 所以∠3＝∠AOD＝76°20′． 答：∠2為62°40′，∠3為76°20′． 類型四.方向角 5. (山東濰坊)用A、B、C分別表示學校、小明家、小紅家，已知學校在小明家的南偏東，小紅家在小明家正東，小紅家在學校北偏東35°，則∠ACB等于( ) A．35° B．55° C．60° D．84° 【思路點撥】根據方位角的概念，分清方向，正確地畫出圖形，即可求解． 【答案】B 【解析】根據題意畫出圖形如下： ∵∠ACB與35°互余，∴∠ACB=90°－35°＝55° 【總結升華】解答此類題需要從運動的角度，正確畫出方位角，找準中心是解答此類題的關鍵． 舉一反三： 【變式】(張家界模擬)考點辦公室設在校園中心O點，帶隊老師休息室A位于O點的北偏東45°，某考室B位于O點南偏東60°，請在圖(1)中畫出射線OA、OB，并計算∠AOB的度數． 【答案】 解：如圖(2)，以O為頂點，正北方向線為始邊向東旋轉45°，得OA；以O為頂點，正南方向線為始邊向東旋轉60°，得OB，則∠AOB＝180°-(45°+60°)＝75°． 類型五.利用數學思想方法解決有關線段或角的計算 1.方程的思想方法 6. 如圖所示，B、C是線段AD上的兩點，且，AC＝35cm，BD＝44cm，求線段AD的長． 【答案與解析】 解：設AB＝x cm，則 或 于是列方程，得 解得：x＝18，即AB＝18(cm) 所以BC＝35-x＝35-18＝17(cm) (cm) 所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62(cm) 【總結升華】根據題中的線段關系，巧設未知數，列方程求解． 2.分類的思想方法 7. 同一直線上有A、B、C、D四點，已知AD＝DB，AC＝CB，且CD＝4cm，求AB的長． 【思路點撥】先根據題意畫出圖形，再從圖上直觀的看出各線段的關系及大小． 【答案與解析】 解：利用條件中的AD＝DB，AC＝CB，設DB＝9x，CB＝5y， 則AD＝5x，AC＝9y，分類討論： （1）當點D，C均在線段AB上時，如圖所示： ∵ AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴ x＝y ∵ CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴ x＝1，∴ AB＝14x＝14(cm)． （2）當點D，C均不在線段AB上時，如圖所示：方法同上，解得(cm)． （3）如圖所示，當點D在線段AB上而點C不在線段AB上時，方法同上，解得(cm)． （4）如圖所示，當點C在線段AB上而點D不在線段AB上時，方法同上，解得(cm)． 綜上可得：AB的長為14cm，cm， cm． 【總結升華】解決沒有圖形的題目時，一要注意滿足條件下的圖形的多樣性；二要注意解決的方法，注意方程法在解決圖形問題中的應用. 在正確答案中，(3)與(4)的答案雖然相同，但作為圖形上的差別應了解． 類型六.鐘表上的角 8. 如圖所示，時鐘的時針由3點整的位置(順時針方向)轉過多少度時，與分針第一次重合． 【答案與解析】 解：設時針轉過的度數為x°時，與分針第一次重合，依題意有 12x＝90+x 解得 答：時針轉過時，與分針第一次重合． 【總結升華】在相同時間里，分針轉過的度數是時針的12倍，此外此問題可以轉化為追及問題來解決．