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集合的概念與集合的表示
集
合
概 念
把研究對象的總體稱為集合，把研究對象統稱為元素。
元素的性質
（1）確定性；（2）互異性；（3）無序性
表
示
方
法
列
舉
法
①元素不重復
②元素無順序
③元素間用“，”隔開
描
述
法
①寫清楚集合中元素的代號，如{x∈R|x>0}，不能寫成{x>2}；
②說明該集合中元素的性質；
③所有描述的內容都寫在大括號內。
元素與集合的關系
一般地，用大寫拉丁字母如A、B、C表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA。
常用數集及其記法
N為零和正整數組成的集合，即自然數集，N*或N+為正整數組成的集合；Z為整數組成的集合；Q為有理數組成的集合，R為實數組成的集合。
例題1 判斷下列命題是否正確，并說明理由。
（1）{R}=R；
（2）方程組的解集為{x=1，y=2}；
（3）{x|y=x2－1}={y|y=x2－1}={（x，y）|y=x2－1}；
（4）平面內線段MN的垂直平分線可表示為{P|PM=PN}。
答案：（1）{R}=R是不正確的，R通常為R={x|x為實數}，即R本身可表示為全體實數的集合，而{R}則表示含有一個字母R的集合，它不能為實數的集合。
（2）方程組的解集為{x=1，y=2}是不對的，因為解集的元素是有序實數對（x，y），正確答案應為{（x，y）|}={（1，2）}。
（3）{x|y=x2－1}={y|y=x2－1}={（x，y）|y=x2－1}是不正確的。
{x|y=x2－1}表示的是函數自變量的集合，它可以為{x|y=x2－1}={x|x∈R}=R。
{y|y=x2－1}表示的是函數因變量的集合，它可以為{y|y=x2－1}={y|y≥－1}。
{（x，y）|y=x2－1}表示點的集合，這些點在二次函數y=x2－1的圖象上。
（4）平面上線段MN的垂直平分線可表示為{P|PM=PN}，該命題是正確的。
知識點撥：正確理解集合的表示方法對以后的學習有極大幫助。特殊數集用特定字母表示有特別規(guī)定，不能亂用；二元一次方程組的解集必須為{（x，y）|}的形式；對描述法表示的集合一定要認清豎杠前面的元素是誰，豎杠后其特征又是什么。
例題2 已知a∈{1，－1，a2}，則a的值為______________________。
答案：∵a∈{1，－1，a2}，
∴a可以等于1，－1，a2。
（1）當a=1時，集合則為{1，－1，1}，不符合集合元素的互異性。故a≠1。
（2）同上，a=－1時也不成立。
（3）a=a2時，得a=0或1，a=1不滿足，舍去，a=0時集合為{1，－1，0}。
綜上，a=0。
知識點撥：集合元素的互異性指集合中的元素必須互不相同，無序性指集合中的元素與順序無關。因此在處理元素為字母的集合問題時，既要注意對字母進行討論，又要自覺注意集合元素的互異性、確定性。
隨堂練習：下列各組對象中不能構成集合的是……（ ）
A. 高一（1）班全體女生 B. 高一（1）班全體學生的家長
C. 高一（1）班開設的所有課程 D. 高一（1）班身高較高的男同學
知識點撥：根據集合的概念進行判斷。因為A、B、C中所給對象都是確定的，從而可以構成集合；而D中所給對象不確定，原因是找不到衡量學生身高較高的標準，故不能構成集合。若將D中“身高較高的男同學”改為“身高175 cm以上的男同學”，則能構成集合。
答案：D
判斷某組對象是否為集合必須同時滿足三個特征：（1）確定性，（2）互異性，（3）無序性，特別是確定性比較難理解，是指元素和集合的關系是非常明確的，要么該元素屬于集合，要么該元素不屬于集合，而不是模棱兩可。
例題 判斷以下對象能否組成集合。
（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的學生；
（2）高一（1）班的高個子學生。
答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的學生是確定的，因此身高大于1.75 m的學生可以組成集合。
（2）高一（1）班中的高個子學生沒有具體身高標準，因此高個子學生不能組成集合。
（答題時間：15分鐘）
1. 下列集合表示法正確的是（ ）
A. {1，2，3，3}
B. {全體有理數}
C. 0＝{0}
D. 不等式x－3>2的解集是{x|x>5}
2. 下列語句
①集合{x|0
0且y<0或x<0且y>0。因此集合M表示第二、四象限內的點集。
6. {（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}
集合的運算
子 集
真 子 集
定 義
對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集
若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，稱集合A是集合B的真子集
符號語言
若任意x∈A，有x∈B，則AB。
若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，則AB
表示方法
A為集合B的子集，記作AB或BA。
A不是B的子集時，記作AB或BA。
若集合A是集合B的真子集，記作AB或BA。
性 質
①AA ②A
③AB，BCAC
AB，且BCAC
子集個數
含n個元素的集合A的子集個數為
含n個元素的集合A的真子集個數為－1
空 集
不含任何元素的集合，記為?？占侨魏渭系淖蛹?，用符號語言表示為A；若A非空（即A≠），則有A。
集合的運算：
1. 并集的概念
（1）自然語言表示：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。
（2）符號語言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
（3）圖形語言（Venn圖）表示：。
2. 交集的概念
（1）自然語言表示：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集。
（2）符號語言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
（3）圖形語言表示（Venn圖）：。
3. 補集的概念
（1）自然語言表示：對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素所組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集。
（2）符號語言表示：A={x|x∈U，且xA}。
（3）圖形語言表示（Venn圖）：，陰影部分表示A。
例題1 判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正。
（1）{}表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；
（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；
（5）如果AB且A≠B，那么B必是A的真子集；
（6）AB與BA不能同時成立。
思路導航：對每個說法按照相關的定義進行分析，認真地與定義中的要素進行對比，即
答案：（1）不正確。應該改為：{}，表示這個集合的元素是。
（2）不正確?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?，也就是說空集不能是它自身的真子集。這是因為空集與空集相等，而兩個相等的集合不能說其中一個是另一個的真子集。由此也發(fā)現了，如果一個集合是另一個集合的真子集，那么這兩個集合必不相等。
（3）不正確。{1，2，3}與{3，2，1}表示同一集合。
（4）不正確。{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}，。
（5）正確。
（6）不正確。A=B時，AB與BA能同時成立
知識點撥：結合本題，要注意以下幾點：
（1）{}不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以（1）不正確?？占袑Ｓ玫姆枴啊?，不能寫成{}，也不能寫成{ }。
（2）分析空集、子集、真子集的區(qū)別與聯系。
（3）不正確。兩個集合是不是相同，要看其中一個集合的每個元素在另一個集合中是不是都有相同的元素與之對應，而不必考慮各元素的順序。
（4）不正確。注意到是每個集合的子集。所以這個說法不正確。
（5）正確。AB包括兩種情形：AB和A=B。
（6）不正確。A=B時，AB與BA能同時成立。
例題2 已知集合A={x|ax2－3x+2=0，a∈R}，若A中元素至多只有一個，求a的取值范圍。
知識點撥：對于方程ax2－3x+2=0，a∈R的解，要看這個方程左邊的二次項的系數，a=0或a≠0時，方程的根的情況是不一樣的。則集合A的元素也不相同，所以首先要分類討論。
答案：（1）a=0時，原方程為－3x+2=0x=，符合題意；
（2）a≠0時，方程ax2－3x+2=0為一元二次方程，Δ=9－8a≤0a≥。
∴當a≥時，方程ax2－3x+2=0無實根或有兩個相等實數根，這都符合題意。
綜合（1）（2），知a=0或a≥。
例題3 設集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|10，AE>0，CD>0，即解不等式組，得函數y的定義域為{x|0f（2a） B. f（a2）0，
∴a2+1>a。
∵f（x）在（－∞，+∞）上為減函數，
∴f（a2+1）0，
Δy=f（x2）－f（x1）=（－x23+1）－（－x13+1）
=x13－x23=（x1－x2）（x12+x1x2+x22）
=（x1－x2）［（x1+）2+x22］。
∵x1－x2=－Δx<0，
（x1+）2≥0，x22≥0且x1≠x2，
∴（x1+）2+x22>0，
∴Δy<0，即函數f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是遞減函數。
8. 解法一：∵令t=（t≥0），則x=，∴y=－1－t=－－t+=－（t+1）2+6。
∵t≥0，∴y=－（t+1）2+6在［0，+∞］上為減函數，
∴當t=0時，y有最大值。
解法二：函數的定義域為（－∞，）。
∵2x－1在（－∞，）上遞增，在（－∞，）上遞減，
∴y=2x－1－在（－∞，）上為增函數。
∴當x=時，y有最大值。
函數的奇偶性
性 質
定 義
偶函數
圖象關于y軸對稱；
定義域關于原點對稱。
如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（－x）=f（x），那么函數f（x）就叫偶函數
奇函數
圖象關于原點對稱；定義域關于原點對稱；定義域中有零，則其圖象必過原點，即f（0）=0。
如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（－x）=－f（x），那么函數f（x）就叫奇函數
注意：
在公共定義域內，
（1）奇函數與奇函數之積是偶函數；
（2）奇函數與偶函數之積是奇函數；
（3）偶函數與偶函數之積是偶函數；
（4）奇函數與奇函數的和（差）是奇函數；
（5）偶函數與偶函數的和（差）是偶函數。
例題1 已知f（x）是偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，判斷f（x）在（－∞，0）上是增函數還是減函數，并加以證明。
思路導航：利用函數奇偶性及圖象特征比較容易對函數單調性進行判斷，但是證明單調性必須用定義證明。
答案：f（x）在（－∞，0）上是增函數。證明如下：
設x1－x2>0，
∴f（－x1）
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