圓錐曲線求圓錐曲線方程.doc

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第九章 求曲線（或直線）方程 解析幾何 求曲線（或直線）的方程 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、求曲線（或直線）方程的思考方向大體有兩種，一個(gè)方向是題目中含幾何意義的條件較多（例如斜率，焦距，半軸長(zhǎng)，半徑等），那么可以考慮利用幾何意義求出曲線方程中的要素的值，從而按定義確定方程；另一個(gè)方向是若題目中沒(méi)有明顯的幾何條件，主要依靠代數(shù)運(yùn)算，那么就考慮先用待定系數(shù)法設(shè)出方程（未知的部分用字母代替），從而該方程便可參與題目中的運(yùn)算，再利用題目條件求出參數(shù)的值，即可確定方程?？梢哉f(shuō)兩個(gè)方向各有側(cè)重，一個(gè)傾向于幾何意義，另一個(gè)傾向于代數(shù)運(yùn)算，下面將對(duì)兩個(gè)方向涉及到的知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)梳理 2、所學(xué)方程中字母的幾何意義 （1）直線：：斜率；：直線所過(guò)的定點(diǎn) （2）圓：:圓心的坐標(biāo)； 圓的半徑 （3）橢圓：：長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦半徑的和； 短軸長(zhǎng)；：焦距 （4）雙曲線：：實(shí)軸長(zhǎng)，焦半徑差的絕對(duì)值； 虛軸長(zhǎng)；：焦距 注：在橢圓和雙曲線中，很多幾何性質(zhì)也圍繞著展開(kāi)，通過(guò)這些條件也可以求出的值，從而確定曲線方程。例如（橢圓與雙曲線共有的）： 離心率：；通徑（焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值）：等 （5）拋物線： 焦準(zhǔn)距 3、待定系數(shù)法中方程的形式： （1）直線與曲線方程通式： ① 直線：， ② 圓： ③ 橢圓： 標(biāo)準(zhǔn)方程：（或，視焦點(diǎn)所在軸來(lái)決定） 橢圓方程通式： ④ 雙曲線： 標(biāo)準(zhǔn)方程：（或，視焦點(diǎn)所在軸決定） 雙曲線方程通式： ⑤ 拋物線： 標(biāo)準(zhǔn)方程：等 拋物線方程通式：， （2）曲線系方程：具有一類特征的曲線的集合，通常曲線方程中含有參數(shù)。曲線系方程的一大好處在于若根據(jù)題目條件設(shè)出合適的曲線系方程，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用條件求解參數(shù)，讓解題目標(biāo)更為明確，曲線系方程也是待定系數(shù)法求方程的一種方法。常見(jiàn)的曲線系方程如下： ① 過(guò)相交直線的交點(diǎn)的直線系方程為： 即（其中為參數(shù)） ② 與直線平行的直線系方程為：（其中為參數(shù)） ③ 與直線垂直的直線系方程為：（其中為參數(shù)） ④ 過(guò)相交兩圓交點(diǎn)的圓系方程為： 即 ⑤ 若直線與圓有公共點(diǎn)，則過(guò)公共點(diǎn)的圓系方程為： 即 ⑥ 相同漸進(jìn)線的雙曲線系方程：與雙曲線漸近線相同的雙曲線系方程為： 二、典型例題： 例1：已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，且，則橢圓的方程為（ ） A. B. C. D. 思路：由已知可得，所以只需利用條件求出的值即可，設(shè)，，則。則，從而，由分子分母平方差的特點(diǎn)及在橢圓上聯(lián)想到點(diǎn)差法，得：，所以 即，所以橢圓方程為 答案：D 例2：橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為，且 （1）求橢圓的離心率 （2）若斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，，求直線的方程及橢圓的方程 解：（1）由橢圓方程可得： （2）由（1）可得橢圓方程為： ， 由已知可得，直線的方程為 聯(lián)立方程：，消去可得：，即： ，解得： 經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)，滿足直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以符合條件 橢圓方程為 例3：已知直線，橢圓， （1）若無(wú)論為何值，直線與橢圓均有公共點(diǎn)，試求的取值范圍及橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式 （2）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，求橢圓的方程 解：（1）由可知直線過(guò)定點(diǎn) 與恒有公共點(diǎn) 在橢圓上或橢圓內(nèi) 的范圍為 若，則 若，則 綜上所述： （2）由已知可得：， 設(shè) 聯(lián)立直線與橢圓方程可得： ，消去可得：，整理后可得： 可得： ，即，解得： 或（舍） 橢圓方程為 例4：過(guò)點(diǎn)，向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，且為正三角形，則最大時(shí)橢圓的方程為（ ） A. B. C. D. 思路：由題意可知本題確定值的關(guān)鍵在于達(dá)到最大值時(shí)，的取值，那么需要得到關(guān)于的關(guān)系（等式或不等式），作出圖形可知，若為正三角形，則的斜率為，進(jìn)而能夠得到的方程。以為例：，與橢圓方程聯(lián)立并消元可得到：，所以，則考慮利用均值不等式得到，等號(hào)成立條件為，再結(jié)合即可求出的值，從而確定橢圓方程 解：依圖可知： 的方程為： ，聯(lián)立方程： ，消去：，整理后可得： 與橢圓相切 即 由均值不等式可得： （等號(hào)成立條件為：） 的最大值為，此時(shí) 橢圓方程為： 答案：D 例5：已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且是正三角形 （1）求橢圓的離心率 （2）直線與以為直徑的圓相切，并且被橢圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解：（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由是正三角形 可得：，因?yàn)? 解得： （2）由（1）可得橢圓的方程為：， 設(shè)與橢圓的交點(diǎn)為 若斜率不存在，可得弦長(zhǎng) 若斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程： ，整理可得： 與圓相切 ， 代入到上式可得： （等號(hào)成立條件：） 橢圓方程為： 例6：設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為 （1）求的離心率 （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的方程 解（1）由在線段上和可得： （2）由（1）中，可設(shè) 由可得：，設(shè)的對(duì)稱點(diǎn) 依題意可得： 可解得： 橢圓方程為 例7：已知橢圓 的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的距離為 （1）求橢圓的離心率 （2）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓的方程 解：（1）過(guò)的直線的方程為： ，由可得： （2）由（1）可得： 橢圓方程為： 由圓方程可得： 設(shè) 設(shè)，聯(lián)立方程： 消去可得：，整理后可得： 橢圓方程為： 例8：已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，其中一條漸近線方程為，為雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，若成等比數(shù)列，則雙曲線的方程為_(kāi)_________ 解：成等比數(shù)列 由漸近線方程可知：，不妨設(shè)在右支上 即 由中線定理可知： 即 由可知 雙曲線方程為： 答案： 小煉有話說(shuō)： 中線定理：已知為中底邊的中線，則有，證明如下：在中，由余弦定理可知： ① 同理，在中，有： ② 且由是中點(diǎn)可知： 可得： ，即 例9：（2014，福建）已知雙曲線的兩條漸近線分別為， （1）求雙曲線的離心率 （2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一、四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（1）由雙曲線方程可知，漸近線方程為 （2）若直線不與軸垂直，設(shè) 聯(lián)立方程： ，同理可得 設(shè)直線與軸交于 即 由直線與漸近線的交點(diǎn)分別在第一、四象限可知： 由（1）可得雙曲線方程為： 聯(lián)立與雙曲線方程： 因?yàn)榕c雙曲線相切 整理可得： 所以 雙曲線方程為： 存在一個(gè)總與相切的雙曲線，其方程為 例10：已知分別為曲線與軸的左，右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與軸垂直，為上異于點(diǎn)的點(diǎn)，且在第一象限，連結(jié)與曲線交于點(diǎn) （1）若曲線為圓，且，求弦的長(zhǎng) （2）設(shè)是以為直徑的圓與線段的交點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，求曲線的方程 解：（1）若曲線為圓，則可知 的方程： （2）由已知可得：，設(shè)直線 聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，整理后可得： 可知該方程的兩根為：，由韋達(dá)定理可得： ，即 共線，且為圓的直徑 ，即解得： 曲線的方程：