立體幾何復(fù)習(xí)專題(空間角).doc

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專題:空間角 一、基礎(chǔ)梳理 1.兩條異面直線所成的角 （1）異面直線所成的角的范圍：。 （2）異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線 垂直，記作。 （3）求異面直線所成的角的方法： （1）通過(guò)平移，在一條直線上（或空間）找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作另一（或兩條）直線的平行線； （2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。 平移技巧有：平行四邊形對(duì)邊平移、三角形中位線平移、補(bǔ)形平移技巧等。 1：三棱柱，平面⊥平面OAB， ，且 ，求異面直線與所成角的余弦。 2．直線和平面所成的角（簡(jiǎn)稱“線面角”） （1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。 一直線垂直于平面，所成的角是直角；一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角。 直線和平面所成角范圍：[0，]。 （2）最小角定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi) 經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成θ角， 且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角， 則有 。 由（3）中的公式同樣可以得到：平面的斜線和它在平面 內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直 線所成角中最小的角。 考點(diǎn)二：直線和平面所成的角 例2. 如圖，在三棱柱中，四 邊形是菱形，四邊形是矩形， ,， 求與平面所成角的正切。 3：（1）在的二面角的兩個(gè)面與內(nèi)分別有兩點(diǎn)，已知點(diǎn)和點(diǎn)到棱的距離分別為，且線段。求： ①直線和棱所成角的正弦值；②直線和平面所成角的正弦值。 （2）（08全國(guó)Ⅰ11）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． （3）如圖，在矩形中，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)移到點(diǎn)，且點(diǎn)在平面上的射影恰在上。求直線與平面所成角的大小。 （4）①為平面的斜線，則平面內(nèi)過(guò) 點(diǎn)的直線與所成的最小角為_(kāi)____________， 最大角為_(kāi)_________________。平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)的 直線與所成角的范圍為_(kāi)______________。 ②與平面內(nèi)不過(guò)點(diǎn)的直線所成的角的范圍 為_(kāi)______________________。 ③直線與平面所成的角為，直線與所成角為，則與平面所成角的取值范圍是______________________。 ④設(shè)直線平面，過(guò)平面外一點(diǎn)與都成角的直線有且只有 ( ) （Ａ）１條　　 （Ｂ）２條　 　（Ｃ）３條　　 （Ｄ）４條 ⑤過(guò)正方體的頂點(diǎn)作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等。試寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)截面________________________（注：只須任意寫(xiě)出一個(gè)），并證明。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。若棱為，兩個(gè)面分別為的二面角記為。 （2）二面角的平面角： 過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi) 作棱的兩條垂線，則叫做二面角 的平面角。 說(shuō)明：①二面角的平面角范圍是，因此二面 角有銳二面角、直二面角與鈍二面角之分。 ②二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角， 組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直。 （3） 二面角的求法： （4） （一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定義法；②棱的垂面法；③三垂線定理或逆定理法；（注意一些常見(jiàn)模型的二面角的平面角的作法） （二）間接法：面積射影定理的方法。 （4）面積射影定理： 面積射影定理：已知的邊在平面內(nèi)，頂點(diǎn)。設(shè)的面積為，它在平面內(nèi)的射影面積為，且平面與所在平面所成的二面角為，則 。 注：①面積射影定理反映了斜面面積、射影面積 和這兩個(gè)平面所成二面角的平面角間的關(guān)系； 可以推廣到任意的多邊形。 ②在二面角的平面角不易作時(shí)，經(jīng)常采用 “面積射影定理法”。 例3．如圖，在四棱錐中，底面為 正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn)。 （1）證明平面； （2）設(shè)，求二面角的大小?！? 如圖所示，在直三棱柱中， ，為側(cè)棱上一點(diǎn)， 。 （1）求證：； （2）求二面角的大小； （3）求點(diǎn)到平面的距離。 C D E A B 四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，。 ①證明：； ②設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小。 為直角梯形所在平面外一點(diǎn) 面，，求平面與平面 所成二面角的大小。 等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 。 例4．如圖所示，已知平行六面體 的底面 是矩形，且側(cè)面底面 ， 、分別是、的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，， 側(cè)棱與底面成的角。 （1）求證：底面； （2）求二面角的大小； （3）求與平面所成角的大小。 1．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，則 A1B與AC1所成的角為（　　?。? （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200 （2）（08全國(guó)Ⅱ10）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（ ） A． B． C． D． （3）的斜邊在平面內(nèi)，頂點(diǎn)在外，在平面內(nèi)的射影是，則的范圍是________________。 （4）從平面外一點(diǎn)向平面引垂線和斜線，為垂足，為斜足，射線，這時(shí)為鈍角，設(shè)，則（ ） A. B. C. D.的大小關(guān)系不確定 （5）相交成60°的兩條直線與一個(gè)平面所成的角都是45°，那么這兩條直線在平面內(nèi)的 射影所成的角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° （6）一條與平面相交的線段，其長(zhǎng)度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，這條線 段與平面a所成的角是 ；若一條線段與平面不相交，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段所在直線與平面a所成的角是 。 （7）PA、PB、PC是從P點(diǎn)引出的三條射線，每?jī)蓷l夾角都是60°，那么直線PC與平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． （8）如圖，在正方體中， 分別是上的點(diǎn)，若， 那么的大小是（ ） A.大于 B.小于 C. D.不能確定 （9）已知所在平面于點(diǎn)，且到三點(diǎn)等距離，若中，有 ，則點(diǎn)（ ） A.必在的某一邊上 B.必在外部（不含邊界） C.必在內(nèi)部（不含邊界） D.以上都不對(duì) （10）如果直角三角形的斜邊與平面平行，兩條直角邊所在直線與平面所成的角分別為 ，則（ ） A． B． C． D． A B a b l （11）如圖， 到的距離分別是和，與所成的角分別 是和，在內(nèi)的射影分別是和，若， 則（ ） A． B． C． D． （12）與正方形各面成相等的角且過(guò)正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面的個(gè)數(shù)是________。 2.已知直三棱柱為上一點(diǎn)，。 （1）若為的中點(diǎn)，為上不同于的任意一點(diǎn)，證明：； （2）若，求與平面所成角的正弦值。 3.已知直角三角形的兩直角邊，為斜邊上的一點(diǎn)，現(xiàn)沿將折起，使點(diǎn)到點(diǎn)，且在面內(nèi)的射影在上。當(dāng)時(shí)，求二面角 的大小。 4．如圖正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱 長(zhǎng)為，若經(jīng)過(guò)對(duì)角線且與對(duì)角線平行的平 \面交上底面于。（1）試確定點(diǎn)的位置，并證明你 的結(jié)論；（2）求平面與側(cè)面所成的角及平面 與底面所成的角；（3）求到平面的距離。 5．如圖, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足為E。 （I）求證：BD⊥A1C； （II）求二面角A 1－BD－C 1的大??； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小。 6.如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，，，。 （Ⅰ）證明：四點(diǎn)共面； （Ⅱ）設(shè)，求二面角的大小。 F A B C D E 7．（08江西20）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為 2。分別是的中點(diǎn)，H是的中點(diǎn)，過(guò)的一個(gè)平面與側(cè)棱或其延長(zhǎng)線分別相交于，已知。 （1）證明：平面； （2）求二面角的大小。 A B C H F O C1 A1 E B1 8．如圖，已知平行六面體的底面為正方形，、分別為上、下底面的中心，且在底面上的射影是。 （1）求證：平面平面； （2）若點(diǎn)分別在棱上，且，問(wèn)點(diǎn)在何處時(shí)，？ （3）若，求二面角的大小（用反三角函數(shù)表示）。 D1 O A1 B D A B1 C C1 9．如圖，正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)。 （1）求證：平面； （2）求二面角的大?。? （3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論。 D1 A1 B D A B1 C C1 10.如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn)。 （Ⅰ）證明：AE⊥PD； （Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值。 11