十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明.doc

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。 高中平面幾何定理匯總及證明 1. 共邊比例定理 有公共邊AB的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點(diǎn)M，則有以下比例式成立：△ PAB的面積：△ QAB的面積＝PM：QM.? 證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共線，面積比=底長比） 同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比） 定理得證！ 特殊情況：當(dāng)PB∥AQ時(shí)，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，則PB∥AQ。 2. 正弦定理 在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA?=?b/sinB?=c/sinC?= 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑） 證明： 現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設(shè)AB長度為c。 若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。 ∵??（特殊角正弦函數(shù)值） ∴? 若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`交 ⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。 若∠C為銳角，則C'與C落于AB的同側(cè)， 此時(shí)∠C'=∠C（同弧所對的圓周角相等） ∴在Rt△ABC'中有 若∠C為鈍角，則C'與C落于AB的異側(cè)，BC的對邊為a，此時(shí)∠C'=∠A，亦可推出??。 考慮同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)角及三條邊，同理，分別列式可得 ??。 3. 分角定理 在△ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 證明： S△ABD/S△ACD=BD/CD…………?(1.1) S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)?…………(1.2) 由1.1式和1.2式得 BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) 4. 張角定理 在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么sin∠BADAC+sin∠CADAB=sin∠BACAD。 證明： 設(shè)∠1=∠BAD，∠2=∠CAD 由分角定理， S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5. 帕普斯定理 直線l1上依次有點(diǎn)A,B,C，直線l2上依次有點(diǎn)D,E,F，設(shè)AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。 6. 蝴蝶定理 設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過S作弦CF和DE。設(shè)CF和DE各相交AB于點(diǎn)M和N，則S是MN的中點(diǎn)。 證明： 過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T， 連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF ∴ES/CS=ED/FC 根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點(diǎn)所以O(shè)S⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90° ∴O，S，N，L四點(diǎn)共圓，（一中同長） 同理，O，T，M，S四點(diǎn)共圓 ∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS 7. 西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。 證明： 若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點(diǎn)共圓，有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP. 故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。 若A、P、B、C四點(diǎn)共圓，則 ∠NBP= ∠MCP。 因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L四點(diǎn)共圓，有 ∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 西姆松逆定理：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 證明：PM⊥AC，PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圓 8. 清宮定理 設(shè)P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上. 證明： A、B、P、C四點(diǎn)共圓，因此 ∠PCE=∠ABP 點(diǎn)P和V關(guān)于CA對稱 所以∠PCV=2∠PCE 又因?yàn)镻和W關(guān)于AB對稱，所以 ∠PBW=2∠ABP 從這三個(gè)式子，有 ∠PCV=∠PBW 另一方面，因?yàn)椤螾CQ和∠PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以 ∠PCQ=∠PBQ 兩式相加，有 ∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ 即∠QCV=∠QBW 即△QCV和△QBW有一個(gè)頂角相等，因此 但是，，所以 同理 ?， 于是 根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點(diǎn)在同一直線上。  9. 密克定理 三圓定理：設(shè)三個(gè)圓C1, C2, C3交于一點(diǎn)O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點(diǎn)。設(shè)A為C1的點(diǎn)，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B, N, C這三點(diǎn)共線。 逆定理：如果是三角形，M, N, P三點(diǎn)分別在邊AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圓交于一點(diǎn)O。 完全四線形定理 如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點(diǎn) O，稱為密克點(diǎn)。 四圓定理 設(shè)C1, C2,C3, C4為四個(gè)圓，A1和B1是C1和C2的交點(diǎn)， A2和B2是C2 和C3的交點(diǎn)，A3和B3是C3和C4的交點(diǎn)， A4和B4是C1和C4的交點(diǎn)。那么A1, A2, A3, A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1, B2, B3, B4四點(diǎn)共圓。 證明：在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點(diǎn)W,M,N，對AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓，則這三個(gè)外接圓共點(diǎn)。 該定理的證明很簡單，利用“圓內(nèi)接四邊形對角和為180度”及其逆定理。 現(xiàn)在已知U是和的公共點(diǎn)。連接UM和UN， ∵四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是和的內(nèi)接四邊形， ∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度 ∴∠UWB=∠UNA。 同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度 ∴∠UWB=∠UMC。 ∵∠UMC+∠UMA=180度 ∴∠UNA+∠UMA=180度， 這正說明四邊形ANUM是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是，U必在上。 10. 婆羅摩笈多定理 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足為M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是A D的中點(diǎn)。 證明： ∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CBD=∠CME ∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF ∴∠CAD=∠AMF ∴AF=MF ∵∠AMD=90°，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM ∴MF=DF，即F是AD中點(diǎn) 逆定理： 若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點(diǎn)與對角線交點(diǎn)的連線垂直于對邊。 證明： ∵M(jìn)A⊥MD，F(xiàn)是AD中點(diǎn) ∴AF=MF ∴∠CAD=∠AMF ∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME ∴∠CBD=∠CME ∵∠CME+∠BME=∠BMC=90° ∴∠CBD+∠BME=90° ∴EF⊥BC  11. 托勒密定理 圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC． 證明：過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， ∴△ACD∽△BCP． 得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。 又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6， ∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。 ① +②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC． 即AC·BD=AB·CD+AD·BC． 12. 梅涅勞斯定理 當(dāng)直線交三邊所在直線于點(diǎn)時(shí)，。 證明：過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則 兩式相乘得 梅涅勞斯逆定理：若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。 證明：先假設(shè)E、F、D三點(diǎn)不共線，直線DE與AB交于P。 由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段成比例的證明方法）得： (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∴ AP/PB=AF/FB ； ∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； ∴ AB/PB=AB/FB ； ∴ PB=FB；即P與F重合。 ∴ D、E、F三點(diǎn)共線。 13. 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 ∵△ADC被直線BOE所截， ∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1① ∵△ABD被直線COF所截， ∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ② /①約分得： (DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1 14. 圓冪定理 相交弦定理：如圖Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。 割線定理：如圖Ⅱ，連接AD、BC?？芍螧=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有 ，同上證得。 切割線定理：如圖Ⅲ，連接AC、AD?！螾AC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有 ?，易證 ? 圖Ⅳ，PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此 ?。所以PA=PC，所以 ?。 綜上可知， ?是普遍成立的。 弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。 點(diǎn)對圓的冪 P點(diǎn)對圓O的冪定義為? 點(diǎn)P在圓O內(nèi)→P對圓O的冪為負(fù)數(shù)； 點(diǎn)P在圓O外→P對圓O的冪為正數(shù)； 點(diǎn)P在圓O上→P對圓O的冪為0。 三角形五心： 內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 外心：三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn) 重心：三角形三邊中線的交點(diǎn) 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn) 旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心 九點(diǎn)圓心：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)〔連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)〕九點(diǎn)共圓的圓心 15. 根心定理 三個(gè)兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一： （1） 三根軸兩兩平行； （2） 三根軸完全重合； （3） 三根軸兩兩相交，此時(shí)三根軸必匯于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三圓的根心。 平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。 根軸定義： A與B的根軸L1：到A與B的切線相等的點(diǎn)。 B與C的根軸L2：到B與C的切線相等的點(diǎn)。 證明 設(shè)A、B、C三個(gè)圓，圓心不重合也不共線。 考察L1與L2的交點(diǎn)P。 因?yàn)镻在L1上，所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離。 因?yàn)镻在L2上，所以：P到B的切線距離=P到C的切線距離。 所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離。 也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離。所以：P在A與C的根軸上。 所以：三個(gè)根軸交于一點(diǎn)。  16. 雞爪定理 設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。 證明： 由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180° ∴IBJC四點(diǎn)共圓，且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等） 又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI 由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點(diǎn) ∴KB=KI=KJ=KC 逆定理：設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。 證明： 利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。 取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分別是內(nèi)心和旁心 17. 費(fèi)爾巴哈定理 三角形的九點(diǎn)圓與其內(nèi)切圓以及三個(gè)旁切圓相切 設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，九點(diǎn)圓的圓心為V。三邊中點(diǎn)分別為L，M，N，內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F(xiàn)。 不妨設(shè)AB>AC。 假設(shè)⊙I與⊙V相切于點(diǎn)T，那么LT與⊙I相交，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為S。 過點(diǎn)S作⊙I的切線，分別交AB和BC于V，U，連接AU。 又作兩圓的公切線TX，使其與邊AB位于LT的同側(cè)。 由假設(shè)知 ∠XTL=∠LDT 而TX和SV都是⊙I的切線，且與弦ST所夾的圓弧相同，于是 ∠XTL=∠VST 因此 ∠LDT=∠VST 則 ∠UDT+∠UST=180° 這就是說，S，T，D，U共圓。 而這等價(jià)于：LU×LD=LS×LT 又 LP2=LS×LT 故有 LP2=LU×LD 另一方面，T是公共的切點(diǎn)，自然在⊙V上， 因此 L，D，T，N共圓，進(jìn)而有 ∠LTD=∠LND 由已導(dǎo)出的S，T，D，U共圓，得 ∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB =∠AVU-∠B 而 ∠LND=∠NLB-∠NDB =∠ACB-∠NBD =∠C-∠B （這里用了LN∥AC，以及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半） 所以，就得到 ∠AVU=∠C 注意到AV，AC，CU，UV均與⊙I相切，于是有 ∠AIR=∠AIQ ∠UIS=∠UIP ∠RIS=∠QIS 三式相加，即知 ∠AIU=180° 也即是說，A，I，U三點(diǎn)共線。 另外，AV=AC，這可由△AIV≌△AIC得到。 （這說明，公切點(diǎn)T可如下得到： 連接AI，并延長交BC于點(diǎn)U， 過點(diǎn)U作⊙I的切線，切點(diǎn)為S，交AB于V， 最后連接LS，其延長線與⊙I的交點(diǎn)即是所謂的公切點(diǎn)T。） 連接CV，與AU交于點(diǎn)K， 則K是VC的中點(diǎn)。 前面已得到：LP2=LU×LD 而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP) =BP-CP =BR-CQ =(BR+AR)-(CQ+AQ) =AB-AC =AB-AV =BV 即 LP=BV 然而 LK是△CBV的中位線 于是 LK=BV 因之 LP=LK 故 LK2=LU×LD 由于以上推導(dǎo)均可逆轉(zhuǎn)，因此我們只需證明： LK2=LU×LD。往證之 這等價(jià)于：LK與圓KUD相切 于是只需證：∠LKU=∠KDU 再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位線），即有 ∠LKU=∠BAU 又AU是角平分線，于是 ∠LKU=∠CAU=∠CAK 于是又只需證：∠CAK=∠KDU 即證：∠CAK+∠CDK=180° 這即是證：A，C，D，K四點(diǎn)共圓 由于 AK⊥KC（易得），AD⊥DC 所以 A，C，D，K確實(shí)共圓。 這就證明了⊙I與⊙V內(nèi)切。 旁切圓的情形是類似的。 證畢 另略證： OI2=R2-2Rr IH2=2r2-2Rr' OH2=R2-4Rr'(其中r‘是垂心H的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑) FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2 FI=1/2R-r這就證明了九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切（九點(diǎn)圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點(diǎn)圓圓心，I為內(nèi)心） 18. 莫利定理 將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形 證明：設(shè)△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內(nèi)角為3α，3β，3γ，則α+β+γ=60°。 在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。 不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以 AF=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ) = [sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)] = 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ） = 4sinβsinγsin（60°+γ）. 同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β) ∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)] =sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE ∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，∠CED=60°+α ∠FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60° ∴△FED為正三角形 19. 拿破侖定理 若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，則它們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△ACD，等邊△BCE。 證明：設(shè)等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交于O；連AO、CO、BO。 ∴ ∠AFB=∠ADC=60°； ∵ A、F、B、O四點(diǎn)共圓；A、D、C、O四點(diǎn)共圓； ∴ ∠AOB=∠AOC=120°； ∴ ∠BOC=120°； ∵ △BCE是等邊三角形 ∴ ∠BEC=60°； ∴ B、E、C、O四點(diǎn)共圓； ∴ 這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)。 ∵ A、D、B、O四點(diǎn)共圓 A、F、C、O四點(diǎn)共圓 B、E、C、O四點(diǎn)共圓 ∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°； ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°； ∵ NP、MP、MN是連心線； BO、CO、AO是公共弦； ∴ BO⊥NP于X； CO⊥MP于Y； AO⊥NM于Z。 ∴ X、P、Y、O四點(diǎn)共圓； Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓； Z、N、X、O四點(diǎn)共圓； ∴ ∠N=∠M=∠P=60°； 即△MNP是等邊三角形。  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個(gè)人提供合同協(xié)議，策劃案計(jì)劃書，學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-