十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明.doc

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。 高中平面幾何定理匯總及證明 1. 共邊比例定理 有公共邊AB的兩個三角形的頂點分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點M，則有以下比例式成立：△ PAB的面積：△ QAB的面積＝PM：QM.? 證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共線，面積比=底長比） 同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比） 定理得證！ 特殊情況：當(dāng)PB∥AQ時，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，則PB∥AQ。 2. 正弦定理 在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA?=?b/sinB?=c/sinC?= 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑） 證明： 現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設(shè)AB長度為c。 若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。 ∵??（特殊角正弦函數(shù)值） ∴? 若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`交 ⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。 若∠C為銳角，則C'與C落于AB的同側(cè)， 此時∠C'=∠C（同弧所對的圓周角相等） ∴在Rt△ABC'中有 若∠C為鈍角，則C'與C落于AB的異側(cè)，BC的對邊為a，此時∠C'=∠A，亦可推出??。 考慮同一個三角形內(nèi)的三個角及三條邊，同理，分別列式可得 ??。 3. 分角定理 在△ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點，連結(jié)AD，則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 證明： S△ABD/S△ACD=BD/CD…………?(1.1) S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)?…………(1.2) 由1.1式和1.2式得 BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) 4. 張角定理 在△ABC中，D是BC上的一點，連結(jié)AD。那么sin∠BADAC+sin∠CADAB=sin∠BACAD。 證明： 設(shè)∠1=∠BAD，∠2=∠CAD 由分角定理， S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5. 帕普斯定理 直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設(shè)AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。 6. 蝴蝶定理 設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點，過S作弦CF和DE。設(shè)CF和DE各相交AB于點M和N，則S是MN的中點。 證明： 過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T， 連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF ∴ES/CS=ED/FC 根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點所以O(shè)S⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90° ∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長） 同理，O，T，M，S四點共圓 ∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS 7. 西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。 證明： 若L、M、N三點共線，連結(jié)BP，CP，則因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點共圓，有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP. 故A、B、P、C四點共圓。 若A、P、B、C四點共圓，則 ∠NBP= ∠MCP。 因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L四點共圓，有 ∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP. 故L、M、N三點共線。 西姆松逆定理：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 證明：PM⊥AC，PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圓 8. 清宮定理 設(shè)P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上. 證明： A、B、P、C四點共圓，因此 ∠PCE=∠ABP 點P和V關(guān)于CA對稱 所以∠PCV=2∠PCE 又因為P和W關(guān)于AB對稱，所以 ∠PBW=2∠ABP 從這三個式子，有 ∠PCV=∠PBW 另一方面，因為∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以 ∠PCQ=∠PBQ 兩式相加，有 ∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ 即∠QCV=∠QBW 即△QCV和△QBW有一個頂角相等，因此 但是，，所以 同理 ?， 于是 根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點在同一直線上。  9. 密克定理 三圓定理：設(shè)三個圓C1, C2, C3交于一點O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點。設(shè)A為C1的點，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B, N, C這三點共線。 逆定理：如果是三角形，M, N, P三點分別在邊AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圓交于一點O。 完全四線形定理 如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點 O，稱為密克點。 四圓定理 設(shè)C1, C2,C3, C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點， A2和B2是C2 和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點， A4和B4是C1和C4的交點。那么A1, A2, A3, A4四點共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1, B2, B3, B4四點共圓。 證明：在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點W,M,N，對AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓，則這三個外接圓共點。 該定理的證明很簡單，利用“圓內(nèi)接四邊形對角和為180度”及其逆定理。 現(xiàn)在已知U是和的公共點。連接UM和UN， ∵四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是和的內(nèi)接四邊形， ∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度 ∴∠UWB=∠UNA。 同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度 ∴∠UWB=∠UMC。 ∵∠UMC+∠UMA=180度 ∴∠UNA+∠UMA=180度， 這正說明四邊形ANUM是一個圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是，U必在上。 10. 婆羅摩笈多定理 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足為M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是A D的中點。 證明： ∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CBD=∠CME ∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF ∴∠CAD=∠AMF ∴AF=MF ∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM ∴MF=DF，即F是AD中點 逆定理： 若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊。 證明： ∵MA⊥MD，F(xiàn)是AD中點 ∴AF=MF ∴∠CAD=∠AMF ∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME ∴∠CBD=∠CME ∵∠CME+∠BME=∠BMC=90° ∴∠CBD+∠BME=90° ∴EF⊥BC  11. 托勒密定理 圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC． 證明：過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， ∴△ACD∽△BCP． 得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。 又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6， ∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。 ① +②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC． 即AC·BD=AB·CD+AD·BC． 12. 梅涅勞斯定理 當(dāng)直線交三邊所在直線于點時，。 證明：過點C作CP∥DF交AB于P，則 兩式相乘得 梅涅勞斯逆定理：若有三點F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。 證明：先假設(shè)E、F、D三點不共線，直線DE與AB交于P。 由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段成比例的證明方法）得： (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∴ AP/PB=AF/FB ； ∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； ∴ AB/PB=AB/FB ； ∴ PB=FB；即P與F重合。 ∴ D、E、F三點共線。 13. 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 ∵△ADC被直線BOE所截， ∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1① ∵△ABD被直線COF所截， ∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ② /①約分得： (DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1 14. 圓冪定理 相交弦定理：如圖Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。 割線定理：如圖Ⅱ，連接AD、BC。可知∠B=∠D，又因為∠P為公共角，所以有 ，同上證得。 切割線定理：如圖Ⅲ，連接AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因為∠P為公共角，所以有 ?，易證 ? 圖Ⅳ，PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此 ?。所以PA=PC，所以 ?。 綜上可知， ?是普遍成立的。 弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。 點對圓的冪 P點對圓O的冪定義為? 點P在圓O內(nèi)→P對圓O的冪為負數(shù)； 點P在圓O外→P對圓O的冪為正數(shù)； 點P在圓O上→P對圓O的冪為0。 三角形五心： 內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點 外心：三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點 重心：三角形三邊中線的交點 垂心：三角形的三條高線的交點 旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心 九點圓心：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點〔連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點〕九點共圓的圓心 15. 根心定理 三個兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一： （1） 三根軸兩兩平行； （2） 三根軸完全重合； （3） 三根軸兩兩相交，此時三根軸必匯于一點，該點稱為三圓的根心。 平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。 根軸定義： A與B的根軸L1：到A與B的切線相等的點。 B與C的根軸L2：到B與C的切線相等的點。 證明 設(shè)A、B、C三個圓，圓心不重合也不共線。 考察L1與L2的交點P。 因為P在L1上，所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離。 因為P在L2上，所以：P到B的切線距離=P到C的切線距離。 所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離。 也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離。所以：P在A與C的根軸上。 所以：三個根軸交于一點。  16. 雞爪定理 設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。 證明： 由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180° ∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等） 又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI 由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點 ∴KB=KI=KJ=KC 逆定理：設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。 證明： 利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。 取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分別是內(nèi)心和旁心 17. 費爾巴哈定理 三角形的九點圓與其內(nèi)切圓以及三個旁切圓相切 設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，九點圓的圓心為V。三邊中點分別為L，M，N，內(nèi)切圓與三邊的切點分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F(xiàn)。 不妨設(shè)AB>AC。 假設(shè)⊙I與⊙V相切于點T，那么LT與⊙I相交，設(shè)另一個交點為S。 過點S作⊙I的切線，分別交AB和BC于V，U，連接AU。 又作兩圓的公切線TX，使其與邊AB位于LT的同側(cè)。 由假設(shè)知 ∠XTL=∠LDT 而TX和SV都是⊙I的切線，且與弦ST所夾的圓弧相同，于是 ∠XTL=∠VST 因此 ∠LDT=∠VST 則 ∠UDT+∠UST=180° 這就是說，S，T，D，U共圓。 而這等價于：LU×LD=LS×LT 又 LP2=LS×LT 故有 LP2=LU×LD 另一方面，T是公共的切點，自然在⊙V上， 因此 L，D，T，N共圓，進而有 ∠LTD=∠LND 由已導(dǎo)出的S，T，D，U共圓，得 ∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB =∠AVU-∠B 而 ∠LND=∠NLB-∠NDB =∠ACB-∠NBD =∠C-∠B （這里用了LN∥AC，以及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半） 所以，就得到 ∠AVU=∠C 注意到AV，AC，CU，UV均與⊙I相切，于是有 ∠AIR=∠AIQ ∠UIS=∠UIP ∠RIS=∠QIS 三式相加，即知 ∠AIU=180° 也即是說，A，I，U三點共線。 另外，AV=AC，這可由△AIV≌△AIC得到。 （這說明，公切點T可如下得到： 連接AI，并延長交BC于點U， 過點U作⊙I的切線，切點為S，交AB于V， 最后連接LS，其延長線與⊙I的交點即是所謂的公切點T。） 連接CV，與AU交于點K， 則K是VC的中點。 前面已得到：LP2=LU×LD 而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP) =BP-CP =BR-CQ =(BR+AR)-(CQ+AQ) =AB-AC =AB-AV =BV 即 LP=BV 然而 LK是△CBV的中位線 于是 LK=BV 因之 LP=LK 故 LK2=LU×LD 由于以上推導(dǎo)均可逆轉(zhuǎn)，因此我們只需證明： LK2=LU×LD。往證之 這等價于：LK與圓KUD相切 于是只需證：∠LKU=∠KDU 再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位線），即有 ∠LKU=∠BAU 又AU是角平分線，于是 ∠LKU=∠CAU=∠CAK 于是又只需證：∠CAK=∠KDU 即證：∠CAK+∠CDK=180° 這即是證：A，C，D，K四點共圓 由于 AK⊥KC（易得），AD⊥DC 所以 A，C，D，K確實共圓。 這就證明了⊙I與⊙V內(nèi)切。 旁切圓的情形是類似的。 證畢 另略證： OI2=R2-2Rr IH2=2r2-2Rr' OH2=R2-4Rr'(其中r‘是垂心H的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑) FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2 FI=1/2R-r這就證明了九點圓與內(nèi)切圓內(nèi)切（九點圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點圓圓心，I為內(nèi)心） 18. 莫利定理 將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形 證明：設(shè)△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內(nèi)角為3α，3β，3γ，則α+β+γ=60°。 在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。 不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以 AF=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ) = [sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)] = 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ） = 4sinβsinγsin（60°+γ）. 同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β) ∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)] =sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE ∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，∠CED=60°+α ∠FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60° ∴△FED為正三角形 19. 拿破侖定理 若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△ACD，等邊△BCE。 證明：設(shè)等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交于O；連AO、CO、BO。 ∴ ∠AFB=∠ADC=60°； ∵ A、F、B、O四點共圓；A、D、C、O四點共圓； ∴ ∠AOB=∠AOC=120°； ∴ ∠BOC=120°； ∵ △BCE是等邊三角形 ∴ ∠BEC=60°； ∴ B、E、C、O四點共圓； ∴ 這3個等邊三角形的外接圓共點。 ∵ A、D、B、O四點共圓 A、F、C、O四點共圓 B、E、C、O四點共圓 ∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°； ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°； ∵ NP、MP、MN是連心線； BO、CO、AO是公共弦； ∴ BO⊥NP于X； CO⊥MP于Y； AO⊥NM于Z。 ∴ X、P、Y、O四點共圓； Y、M、Z、O四點共圓； Z、N、X、O四點共圓； ∴ ∠N=∠M=∠P=60°； 即△MNP是等邊三角形。  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-