圓錐曲線知識點總結.doc

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圓錐曲線的方程與性質(zhì) 1．橢圓 （1）橢圓概念 平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。 橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。 注：①以上方程中的大小，其中； ②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。 （2）橢圓的性質(zhì) ①范圍：由標準方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里； ②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關于原點對稱。 所以，橢圓關于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心； ③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。 所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。 同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，，，且，即； ④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?！?，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 2．雙曲線 （1）雙曲線的概念 平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。 注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當時，表示兩條射線；③當時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。 （2）雙曲線的性質(zhì) ①范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。 ②對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 ③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。 令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。 1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。 2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。 ④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。 ⑤等軸雙曲線： 1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：； 2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。 注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。 3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上。 ⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。 3．拋物線 （1）拋物線的概念 平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。 方程叫做拋物線的標準方程。 注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是 ； （2）拋物線的性質(zhì) 一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表： 標準方程 圖形 焦點坐標 準線方程 范圍 對稱性 軸 軸 軸 軸 頂點 離心率 說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。 4. 高考數(shù)學圓錐曲線部分知識點梳理 1、 方程的曲線： 在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。 點與曲線的關系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0。 兩條曲線的交點：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點{方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點。 二、圓： 1、定義：點集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑. 2、方程：(1)標準方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2 (2)一般方程：①當D2+E2-4F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2= ②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-,-); ③當D2+E2-4F＜0時，方程不表示任何圖形. （3） 點與圓的位置關系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內(nèi)，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內(nèi)，其中｜MC｜=。 （4） 直線和圓的位置關系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。 ②直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關系來判定。 三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義： 平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率。當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。 四、橢圓、雙曲線、拋物線： 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡 2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（01） 與定點和直線的距離相等的點的軌跡. 軌跡條件 點集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}. 點集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 點集{M｜ ｜MF｜=點M到直線l的距離}. 圖形 方 程 標準方程 (>0) (a>0,b>0) 參數(shù)方程 (t為參數(shù)) 范圍 ─a￡x￡a，─b￡y￡b |x| 3 a，y?R x30 中心 原點O（0，0） 原點O（0，0） 頂點 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 對稱軸 x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長2b x軸，y軸; 實軸長2a, 虛軸長2b. x軸 焦點 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) 準 線 x=± 準線垂直于長軸，且在橢圓外. x=± 準線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi)側. x=- 準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等. 焦距 2c （c=） 2c （c=） 離心率 e=1 【備注1】雙曲線：⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率. ⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：. ⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為. 【備注2】拋物線：（1）拋物線=2px(p>0)的焦點坐標是(,0)，準線方程x=- ，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點坐標是(-,0)，準線方程x=，開口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點坐標是(0,)，準線方程y=-　，開口向上； 拋物線=-2py（p>0）的焦點坐標是（0,-），準線方程y=，開口向下. （2）拋物線=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離 （3）設拋物線的標準方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為，頂點到準線的距離，焦點到準線的距離為p. （4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(α為直線AB的傾斜角)，，(叫做焦半徑). 五、坐標的變換： （1）坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程. （2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。 （3）坐標軸的平移公式：設平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是.設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則 或 叫做平移(或移軸)公式. （4） 中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表： 方 程 焦 點 焦 線 對稱軸 橢圓 +=1 (±c+h,k) x=±+h x=h y=k + =1 (h,±c+k) y=±+k x=h y=k 雙曲線 -=1 (±c+h,k) x=±+k x=h y=k -=1 (h,±c+h) y=±+k x=h y=k 拋物線 (y-k)2=2p(x-h) (+h,k) x=-+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-+h,k) x=+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, +k) y=-+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y=+k x=h 六、橢圓的常用結論： 1. 點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角. 2. PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離. 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式,( ,). 9. 設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是； 【推論】： 1、若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2、過橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3、若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則. 4、設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. 6、P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立. 7、橢圓與直線有公共點的充要條件是. 8、已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9、過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10、已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則. 11、設P點是橢圓（ a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) . 12、設A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) . 13、已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直. 15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16、橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.） 17、橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e. 18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項. 七、雙曲線的常用結論： 1、點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角. 2、PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交. 4、以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支） 5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是. 6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是. 7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為. 8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( , ）當在右支上時，,；當在左支上時，,。 9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF. 10、過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11、AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是. 13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是. 【推論】：1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是. 2、過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3、若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）. 4、設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. 6、P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立. 7、雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是. 8、已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 9、過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10、已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或. 11、設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) . 12、設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). (2) .(3) . 13、已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直. 15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16、雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點). 17、雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e. 18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項. 拋物線的常用結論： ①頂點. ②則焦點半徑;則焦點半徑為. ③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的. ④（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）. 圖形 焦點 準線 范圍 對稱軸 軸 軸 頂點 （0,0） 離心率 焦點 圓錐曲線的性質(zhì)對比 圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 標準方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 范圍 x∈[-a,a] 　　y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) 　y∈R x∈[0,+∞) y∈R 對稱性 關于x軸,y軸,原點對稱 關于x軸,y軸,原點對稱 關于x軸對稱 頂點 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦點 (c,0),(-c,0) 　　【其中c^2=a^2-b^2】 (c,0),(-c,0) 　　【其中c^2=a^2+b^2】 (p/2,0) 準線 x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2 漸近線 —————————— y=±(b/a)x ————— 離心率 e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半徑 ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ ∣PF∣=x+p/2 焦準距 p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通徑 (2b^2)/a (2b^2)/a 2p 參數(shù)方程 x=a·cosθ 　y=b·sinθ，θ為參數(shù) x=a·secθ 　　y=b·tanθ,θ為參數(shù) x=2pt^2 y=2pt,t為參數(shù) 過圓錐曲線上一點 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 　(x0,y0)的切線方程 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) 斜率為k的切線方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 內(nèi)部資料，請勿外傳 星海中學：勤奮、自律、和諧、創(chuàng)新 17