北師大版八上第1章 測試卷（3）

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第一章 勾股定理 章末測試卷一、選擇題（每題4分，共28分）1（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5B6C7D82（4分）（2017興安盟）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A6，8，14B6，8，12C6，8，10D6，8，83（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為（）A2B3C4D54（4分）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米5（4分）滿足下列條件的ABC中，不是直角三角形的是（）Aa：b：c=3：4：5BA：B：C=1：2：3Ca2：b2：c2=1：2：3Da2：b2：c2=3：4：56（4分）若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為（）A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm7（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC的形狀為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D以上答案都不對二、填空：（每空4分，共計28分）8（4分）已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為9（4分）求如圖中直角三角形中未知的長度：b=，c=10（4分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm211（4分）小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：（填“能”、或“不能”）12（4分）（2018襄陽）已知CD是ABC的邊AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，則BC的長為13（4分）（2018福建）把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上若AB，則CD14（4分）（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）三、解答題：（每題11分，共計44分）15（11分）一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答）16（11分）小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？17（11分）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90；（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積18（11分）如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？四、附加題19如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積20如圖，ABC是直角三角形，BAC=90，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF（1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2；（2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面積參考答案一、選擇題（每題4分，共28分）1（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5B6C7D8【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾為3，股為4，弦為5故選：A【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方2（4分）（2017興安盟）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A6，8，14B6，8，12C6，8，10D6，8，8【考點】KS：勾股定理的逆定理 【專題】55：幾何圖形【分析】根據(jù)勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長度，然后與較長的邊進行比較作出判斷即可【解答】解：A、6+814，不能組成三角形；B、1012，6+812，不能組成銳角三角形；C、10是直角三角形，不能組成銳角三角形；D、108，6+88，能組成銳角三角形故選：D【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊是解題的關(guān)鍵3（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為（）A2B3C4D5【考點】算術(shù)平方根 【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC的長，再根據(jù)乘方運算，可得答案【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故選：A【點評】本題考查了算術(shù)平方根，先求出AC的長，再求出正方形的面積4（4分）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米【考點】勾股定理的應用 【專題】應用題【分析】根據(jù)梯子、地面、墻正好構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可【解答】解：如圖所示，AB=13米，BC=5米，根據(jù)勾股定理AC=12米故選A【點評】此題是勾股定理在實際生活中的運用，比較簡單5（4分）滿足下列條件的ABC中，不是直角三角形的是（）Aa：b：c=3：4：5BA：B：C=1：2：3Ca2：b2：c2=1：2：3Da2：b2：c2=3：4：5【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理 【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形內(nèi)角和定理得出B是直角三角形；即可得出結(jié)果【解答】解：a：b：c=3：4：5，32+42=52，這個三角形是直角三角形，A是直角三角形；A：B：C=1：2：3，C=90，B是直角三角形；a2：b2：c2=1：2：3，a2+b2=c2，三角形是直角三角形，C是直角三角形；a2：b2：c2=3：4：5，a2+b2c2，三角形不是直角三角形；故選：D【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，通過計算得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵6（4分）若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為（）A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)先求出BD，然后在RTABD中，可根據(jù)勾股定理進行求解【解答】解：如圖：由題意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，作ADBC于點D，則有DB=BC=8cm，在RtABD中，AD=6cm故選D【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識，關(guān)鍵是掌握等腰三角形底邊上的高平分底邊，及利用勾股定理直角三角形的邊長7（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC的形狀為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D以上答案都不對【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理 【專題】網(wǎng)格型【分析】根據(jù)勾股定理求得ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定，從而不難得到其形狀【解答】解：正方形小方格邊長為1，BC=2，AC=，AB=，在ABC中，BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，BC2+AC2=AB2，ABC是直角三角形故選：A【點評】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形二、填空：（每空4分，共計28分）8（4分）已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為7或25【考點】勾股定理 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進行討論解答【解答】解：分兩種情況：當3、4都為直角邊時，第三邊長的平方=32+42=25；當3為直角邊，4為斜邊時，第三邊長的平方=4232=7故答案為：7或25【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵9（4分）求如圖中直角三角形中未知的長度：b=12，c=10【考點】勾股定理 【分析】根據(jù)勾股定理進行計算即可【解答】解：b=12；c=10，故答案為：12；10【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方10（4分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為49cm2【考點】勾股定理 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2故答案為：49cm2【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉(zhuǎn)換11（4分）小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：能（填“能”、或“不能”）【考點】勾股定理的應用 【分析】能，在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據(jù)木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進行比較即可【解答】解：能，理由如下：可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm，根據(jù)題意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因為49005000，所以能放進去故答案為能【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是求出木箱內(nèi)木棒的最大長度12（4分）（2018襄陽）已知CD是ABC的邊AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，則BC的長為2或2【考點】KQ：勾股定理 【專題】552：三角形【分析】分兩種情況：當ABC是銳角三角形，如圖1，當ABC是鈍角三角形，如圖2，分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可【解答】解：分兩種情況：當ABC是銳角三角形，如圖1，CDAB，CDA90，CD，AD1，AC2，AB2AC，AB4，BD413，BC2；當ABC是鈍角三角形，如圖2，同理得：AC2，AB4，BC2；綜上所述，BC的長為2或2故答案為：2或2【點評】本題考查了三角形的高、勾股定理的應用，在直角三角形中常利用勾股定理計算線段的長，要熟練掌握13（4分）（2018福建）把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上若AB，則CD1【考點】勾股定理【專題】11：計算題【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC2，BFAF1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論【解答】解：如圖，過點A作AFBC于F，在RtABC中，B45，BCAB2，BFAFAB1，兩個同樣大小的含45角的三角尺，ADBC2，在RtADF中，根據(jù)勾股定理得，DFCDBF+DFBC1+21，故答案為：1【點評】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵14（4分）（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm（杯壁厚度不計）【考點】KV：平面展開最短路徑問題 【專題】27：圖表型【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，AB20（cm）故答案為20【點評】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力三、解答題：（每題11分，共計44分）15（11分）一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答）【考點】勾股定理的應用 【分析】根據(jù)勾股定理，計算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9=24米【解答】解：如圖所示：因為AB=9米，AC=12米，根據(jù)勾股定理得BC=15米，于是折斷前樹的高度是15+9=24米【點評】本題考查正確運用勾股定理善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵16（11分）小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？【考點】勾股定理的應用 【分析】根據(jù)題意求出小東與哥哥各自行走的距離，根據(jù)勾股定理計算即可【解答】解：由題意得，AC=6=3km，BC=8=4km，ACB=90，則AB=5km【點評】本題考查的是勾股定理的應用，正確構(gòu)造直角三角形、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵17（11分）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90；（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理 【分析】（1）在RtABD中，利用勾股定理可求出BD的長度；（2）利用勾股定理的逆定理判斷出BDC為直角三角形，根據(jù)S四邊形ABCD=SABD+SBDC，即可得出答案【解答】解：（1）A=90，ABD為直角三角形，則BD2=AB2+AD2=25，解得：BD=5（2）BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，BD2+CD2=BC2，BDCD，故S四邊形ABCD=SABD+SBDC=ABAD+BDDC=6+30=36【點評】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不規(guī)則圖形的面積時，我們可以利用分解法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積之和18（11分）如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？【考點】翻折變換（折疊問題） 【專題】應用題；操作型【分析】由折疊的性質(zhì)得到三角形BDC與三角形BDE全等，進而得到對應邊相等，對應角相等，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等，等量代換及等角對等邊得到FD=FB，設FD=FB=xcm，則AF=（8x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出FD的長，進而求出三角形BDF面積【解答】解：由折疊可得：BDCBDE，CBD=EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，ADBC，ADB=DBC，ADB=EBD，F(xiàn)D=FB，設FD=FB=xcm，則有AF=ADFD=（8x）cm，在RtABF中，根據(jù)勾股定理得：x2=（8x）2+62，解得：x=，即FD=cm，則SBDF=FDAB=cm2【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題），涉及的知識有：折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵四、附加題19如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積【考點】勾股定理的應用；三角形的面積；勾股定理的逆定理 【專題】應用題【分析】連接AC，運用勾股定理逆定理可證ACD，ABC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差【解答】解：連接AC，則在RtADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，AC=15，在ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，AB2=AC2+BC2，ACB=90，SABCSACD=ACBCADCD=1536129=27054=216答：這塊地的面積是216平方米【點評】解答此題的關(guān)鍵是通過作輔助線使圖形轉(zhuǎn)化成特殊的三角形，可使復雜的求解過程變得簡單20如圖，ABC是直角三角形，BAC=90，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF（1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2；（2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面積【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】（1）延長ED至點G，使得EG=DE，連接FG，CG，易證EF=FG和BDECDG，可得BE=CG，DCG=DBE，即可求得FCG=90，根據(jù)勾股定理即可解題；（2）連接AD，易證ADE=CDF，即可證明ADECDF，可得AE=CF，BE=AF，S四邊形AEDF=SABC，再根據(jù)DEF的面積=SABCSAEF，即可解題【解答】（1）證明：延長ED至點G，使得DG=DE，連接FG，CG，DE=DG，DFDE，DF垂直平分DE，EF=FG，D是BC中點，BD=CD，在BDE和CDG中，BDECDG（SAS），BE=CG，DCG=DBE，ACB+DBE=90，ACB+DCG=90，即FCG=90，CG2+CF2=FG2，BE2+CF2=EF2；（2）解：連接AD，AB=AC，D是BC中點，BAD=C=45，AD=BD=CD，ADE+ADF=90，ADF+CDF=90，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF（ASA），AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，S四邊形AEDF=SABC，SAEF=512=30，DEF的面積=SABCSAEF=【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證BDECDG和ADECDF是解題的關(guān)鍵第20頁（共20頁）