高一數學（人教A版）必修2能力強化提升：2-3-2 平面與平面垂直的判定

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一、選擇題 1．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系，其中正確的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② [答案]　B [解析]　對①，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯誤的；對②，由于a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應是相等或互補，是正確的；對③，因為不垂直于棱，所以是錯誤的；④是正確的，故選B. [點評]　根據二面角的相關概念進行分析判定． 2．以下三個命題中，正確的命題有(　　) ①一個二面角的平面角只有一個；②二面角的棱垂直于這個二面角的平面角所在的平面；③分別在二面角的兩個半平面內，且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大小 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 [答案]　B [解析]　僅②正確． 3．正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與平面BC1垂直的面的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　與平面BC1垂直的面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1. 4．自二面角內任意一點分別向兩個面引垂線，則兩垂線的夾角與二面角的平面角的關系是(　　) A．相等 B．互補 C．互余 D．無法確定 [答案]　B [解析]　如圖，BD、CD為AB、AC所在平面與α、β的交線，則∠BDC為二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°. 5．已知α，β是平面，m、n是直線，給出下列表述： ①若m⊥α，m?β，則α⊥β； ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交； ④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β. 其中表述正確的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　B [解析]?、偈瞧矫媾c平面垂直的判定定理，所以①正確；②中，m，n不一定是相交直線，不符合兩個平面平行的判定定理，所以②不正確；③中，還可能n∥α，所以③不正確；④中，由于n∥m，n?α，m?α，則n∥α，同理n∥β，所以④正確． 6．正方體A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　設AC、BD交于O，連A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， ∴∠A1OA為二面角的平面角． tan∠A1OA＝＝，∴選C. 7．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° [答案]　D [解析]　如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC， 設平面ABC∩l＝D， 則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補角， ∵AB＝6，BC＝3， ∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°， ∴二面角大小為60°或120°. 8．四邊形ABCD是正方形，以BD為棱把它折成直二面角A－BD－C，E為CD的中點，則∠AED的大小為(　　) A．45° B．30° C．60° D．90° [答案]　D [解析]　設BD中點為F，則AF⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD. ∵E、F分別為CD、BD的中點， ∴EF∥BC， ∵BC⊥CD，∴CD⊥EF， 又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故選D. 二、填空題 9．下列四個命題中，正確的命題為________(填序號)． ①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ ②α∥β，β∥γ，則α∥γ ③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ ④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ [答案]?、佗? 10．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右圖所示，則在三棱錐P－ABC的四個面中，互相垂直的面有________對． [答案]　3 [解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P， ∴PA⊥平面PBC， ∵PA?平面PAB，PA?平面PAC， ∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC. 11．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分別在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，則BF＝________. [答案]　1 [解析]　∵AB⊥平面BC1，C1F?平面BC1，CF?平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB， ∴C1F⊥EF，CF⊥EF， ∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角， ∴∠C1FC＝45°， ∴△FCC1是等腰直角三角形， ∴CF＝CC1＝AA1＝1. 又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1. 12．如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a. (1)二面角A－PD－C的度數為________； (2)二面角B－PA－D的度數為________； (3)二面角B－PA－C的度數為________； (4)二面角B－PC－D的度數為________． [答案]　90°；90°；45°；120° [解析]　(1)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. 又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， 又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD， ∴二面角A－PD－C為90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA， ∴∠BAD為二面角B－AP－D的平面角． 又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D為90°. (3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA， ∴∠BAC為二面角B－PA－C的平面角， 又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°， 即二面角B－PA－C為45°. (4)作BE⊥PC于E，連DE， 則由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE， 從而△PBE≌△PDE， ∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE， ∴∠BED為二面角B－PC－D的平面角． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， ∴BE＝＝a，BD＝a， ∴取BD中點O，則sin∠BEO＝＝， ∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120° ∴二面角B－PC－D的度數為120°. 三、解答題 13．(2012·江西卷)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是線段AB上的兩點，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.現將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合與點G，得到多面體CDEFG. (1)求證：平面DEG⊥平面CFG； (2)求多面體CDEFG的體積． [解析]　(1)由已知可得AE＝3，BF＝4，則折疊完后EG＝3，GF＝4，又因為EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因為CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG. (2)過G作GO垂直于EF，GO即為四棱錐G－EFCD的高，所以所求體積為S矩DECF·GO＝×5×4×＝16. 14．在如下圖所示的四面體ABCD中，AB，BC，CD兩兩互相垂直，且BC＝CD. (1)求證：平面ACD⊥平面ABC； (2)求二面角C－AB－D的大?。? [分析]　(1)轉化為證明CD⊥平面ABC； (2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角． [解析]　(1)證明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面ABC. 又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC. (2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C， ∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD. ∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角． ∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°. ∴二面角C－AB－D的大小為45°. 15．已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA＝AD，M、N分別是AB、PC的中點，求證： (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. [解析]　(1)取PD的中點Q，連接AQ、QN， ∵PN＝NC，∴QN綊DC. ∵四邊形ABCD為矩形， ∴QN綊AM， ∴MN∥AQ， 又∵AQ?平面PAD，MN?平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°， ∴△PAD為等腰直角三角形， ∵Q為PD中點，∴AQ⊥PD， ∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD， ∵AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC 由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC， 又∵MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC. 16．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝. (1)證明：平面PBE⊥平面PAB； (2)求二面角A－BE－P的大小． [解析]　(1)證明：如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形． 因為E是CD的中點，所以BE⊥CD， 又AB∥CD，所以BE⊥AB， 又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE. 而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB. 又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角． 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°. 故二面角A－BE－P的大小是60°.